ОТВЕТЫ К МАТАНУ (Много всякого и полезного по матану), страница 2

Док-во Пусть f(x) ББВ,то , если любое E>0 и любое D>0 есть хотябы 1 х: 0<|x-x₀|<E => f(x) >1/E=>|1/f(x)|<E

-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.

-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.

-частное от деления 2х б.б.в = неопределенность

В6.Предел последовательности.Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предел монотонной функции.

Последовательность- функция целочисленного аргумента.

Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁,U₂,...U_n, а U_n=n/(n²+1)

П редел: число а называется пределом переменной x_n, если для каждого “+” как угодно малого числа (эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |x_n-a|<

limx_n=a

n -<X_n-a< a-<X_n<a+

Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (x_n+1>x_n)

Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что x_n<=M.

Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел.

Lim a_n=a n->беск возмем m и M любое n => m<=a_n<=M любое E>0 есть хоть 1 N любое n>N=> |a_n-a|<E=>-E<a_n-a<E=>a-E<a_n<a+E m₁-min из послед a_n M-max из послед a_n m=min{m₁,a-E} M=max{M₁,a+E} m<a_n<M чтд

Функция монотонно возрастающей, если из -строго монотонно возрастающей, если из - монотонно убывающей, если из -строго монотонно убывающей, если из . Докажем одну из возможных здесь теорем. Теорема. Если монотонно возрастает и ограниченна сверху при , то существует конечный предел слева . Доказательство. Рассмотрим множество значений функции при . По условию теоремы, это множество ограниченно сверху, т.е. . По теореме о существовании супремума(1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то .) отсюда следует, что существует конечный . Покажем, что . По свойствам супремума 1. 2. Обозначим . Возьмем любое x, для которого , но . Как видно из рисунка, из этого следует, что . Но тогда, в силу монотонности а) б) Поэтому имеем Выбрасывая лишнее получим, что или, что то же самое, . По определению предела функции это означает, что .

В7.Предельный переход в равенствах в неравенства. Теорема о “двух милиционерах.”

Теорема.Пусть во всех точках некого мн-ва f(x)<=g(x) и при этом есть конечные пределы, тогда a<b….f(x)<=g(x) Lim f(x)=a Lim g(x)=b при x->x₀ получаем a<=b.

Док-во.Пусть a>b и E=(a-b)/4 есть хоть1 D₁ и любой х: |x-x₀|-D₁=>|f(x)-a|<E=(a-b)/4=> -(a-b)/4< f(x)-a<(a-b)/4 (3a+b)/4<f(x)<(5a-b)/4

есть хоть1 D₂ и любой х: 0<|x-x₀|<D₁=>|g(x)-b|<E=(a-b)/4

Теорема о “двух милиционерах”: Пусть нам заданы 3 функции на определенном промежутке, связанные следующим образом f(x)<=g(x)<=h(x) и еще выполняется Lim f(x)=a Lim h(x)=a при x->x_{0 ,}то получаем, что Lim g(x)=a при x->x₀.

Док-во: берем E₁ и D₁ для h хоть одно E>0 любое D>0 любое х: 0<|x-x₀|<D => |f(x)-a|<D и |h(x)-a| <D => -D<f(x)-a<D -D<h(x)-a<D a-D<f(x)<D+a a-D<h(x)<D+a a-D<f(x)<=g(x)<=h(x)<a+D a-D<g(x)<a+D =>|g(x)-a|<E

В8.Первый замечательный предел.

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x0

Д оказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMN<S_секOMN< S_∆OKN

1/2sin(x)<1/2(x)<tg(x)

sin(x)<x<tg(x)

1<x/sin(x)<1/cos(x)

lim (1-cos(1/n))=0

^n+

lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

^{x0 x0}

lim (x/sin(x))=0

^x0

x>0 lim (x/sin(x))=1

^x0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^{x0 x0}

В8.Первый замечательный передел

Первым замечательным пределом называется предел

        Теорема 2.14   Первый замечательный предел равен

        Доказательство.     Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел также будет равняться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью ( ). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг

Пусть  -- площадь треугольника ,  -- площадь кругового сектора , а  -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

при , получаем, что

Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит,

но (  -- нечётная функция), и поэтому Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы

В9.Второй замечательный предел

Теорема lim(1+1/x)^x=e

^x+

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] nx<n+1

[1+1/(n+1)]ⁿ(1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ⁺¹

Если x+, то n+

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)](1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ(1+1/n)  lim(1+1/x)^x=e

^x+

В10.Пределы, связанные со вторым замечательным пределом.

В11.Арифиметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.

В12.Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями

Определение: функция f(x) непрерывна, если: 1)она определена в х₀ и некоторой ее окресности.2.Lim f(x)=f(x) при x->x₀

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.в качестве примера y=x­­².

Арифметические опрерации: f(x)+-/*g(x) если функции непрерывны в х₀

В13.Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных и принадлежащих классу элеменетарных функции.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функция f(x) не равная g(x), f(x)g(x) и (если g(x) не равно 0) непрерывны в точке x0.

Доказательство.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀. Это значит, что . Но тогда, по свойствам пределов

Последнее свойство верно, если . 

Пусть y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=(t). Тогда комбинация y=f((t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функции (t).

Примеры:

а) y=sin(x), x=e^t => y=sin(e^t)

б) y= e^x , x=sin(t) => y= e^sin(t)

Целая и дробная рациональные функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно ясна. На основании теоремы о произведении непрерывных функций вытекает непрерывность любого одночленного выражения ax^m, по теореме о сумме непрерывных функций - непрерывность многочлена a₀xⁿ + a₁x_n-1 + ... +a_n-1 + a_n. Непрерывность данных функций имеет место на всем интервале . Частное двух многочленов непрерывно всюду, кроме точек b₀x^m + b₁x^m-1 +...+ b_m-1x + b_m = 0 (в этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо устранимый разрыв).

Показательная функция y=a^x(a>1) монотонно возрастает на всем интервале . Ее значения заполняют весь интервал . Из существования логарифма следует непрерывность данной функции.

Логарифмическая функция . Рассмотрим случай a>1. Эта функция возрастает при , и принимает любое значение из . Отсюда следует ее непрерывность.