matan3 (Хорошие лекции в ворде), страница 2

_y’=1/x

y =log_ax=lnx/lna (log_ax)’=1/xlna

^y=lgx

_y’=1/xln10

y=arcsinx обратная функция x=siny x[-1;1] y[-/2;/2]

(arcsinx)’_x=x0=1/(siny)’_y0=y=1/cosy_y0=y=

y[-/2;/2], cosy0 cosy>0, если y[-/2;/2] то есть x1

=1/(1-sin²y)_y=y0=1/(1-(sinarccosx)²)_x=x0=1/(1-x₀²)

(arcsinx)’=1/(1-x²)

^y=arcsinx

_{y’=1/(1-x^2)}

y=acrcosx, обратная x=cosy x[-1;1] y[0;]

(arcosx)’=1/(cosy)’_y=y0=1/-siny_y=y0=-1/(1-cos²y)_y=y0=-1/(1-(cosarccosy)²)_x=x0=-1/(1-x₀²)

(arcosx)’=-1/(1-x²)

^y=arccosx

_{y’=--1/(1-x^2)}

y=arctgx обратная функция x=tgy y(-/2;/2)

(arctgy)’=1/(tgy)’=cos²y= / 1+tg²y=1/cos²y \ =1/(1+x²)

(arctgy)’=1/(1+x²)

( arcctgy)’=-1/(1+x²)

^y=arctgsx

_{y’=-1/ (1+x^2)}

^y=arcctgx

_{y’=--1/ (1+x^2)}

Гиперболические функции.

chx=(e^x+e^-x)/2

shx=(e^x-e^-x)/2

chx²-shx²=1

chx²+shx²=ch2x

ch(-x)=chx

sh(-x)=-shx

chx shx

^{c thx=chx/shx}

^{t hx=shx/chx}

(chx)’=sh(x)

(shx)’=ch(x)

(thx)=1

Лекция №12

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 25 октября 2000 г.

Тема: «Линеаризация»

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

f’(x₀)=tg

уравнение прямой : Y=kx+b

y₀=f(x₀)=kx₀+b

k-угловой коэффициент прямой

k=tg=f’(x₀)

Y=f(x₀)+f(x₀)-f’(x₀)x₀

b=f(x₀)-kx₀

Y=f(x)+f’(x₀)(x-x₀)

∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0  в некоторой

O(x₀) f(x₀)=f’(x₀)+f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0

Y¹=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)^a=f’(x₀)+f’(x₀)∆x

df(x₀)=f’(x₀)∆x

Геометрический смысл дифференциала:

df(x₀) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х₀;f(x₀).

Замечание: Часто говорят о касательной проведённой в точке х₀.

Линеаризация функции.

Определение: Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х₀) заменяется отрезком касательной в точке х₀.

( *) f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀), xx₀

Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) – уравнение касательной в точке х₀

Формула получена из определения дифференциала в точке х₀ функции

f(x)=f(x₀)+f(x₀)∆x+o∆x при ∆х0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х₀.

Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.

Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки.

³8,001=1

х₀=8

х=8,000

f(x)=³x

f(x₀)=f(8)=2

Проведём линеаризацию выбранного корня.

f’(x)_х=8=(³x)’_x=8=1/3x^-2/3_x=8=1/12

³x2+1/12(x-8), x8

³x2+0,001/12

Y_кас=2+1/12(x-8)

³x=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х8

Погрешности вычисления.

f(x)-f(x₀)=df(x₀)+o(x-x₀) при хх₀

∆f(x₀)df(x₀), xx₀

∆¹=∆f(x₀)df(x₀)

f(x)=10^x в точке х₀=4, если ∆х=0,001 х=40,001

10⁴∆=10⁴23

f’(x)=10^xln10; f’(4)=10⁴ln10=23000; ln102,2

∆230000,001=23

Изучение поведения функции при помощи первой производной.

Слева от М₀ tg >0; Справа от М₀ tg <0

tg f’(x)>0 слева от М₀

tg f’(x)<0 справа от М₀

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема  x(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

_a( |_x1 |_x2 )_b

x₁,x₂(a,b) x₁<x₂

Надо доказать: f(x₁)<f(x₂)

Применим теорему Лангранджа на отрезке (х₁,x₂)^{Теорема}.

f(x₂)-f(x₁)=f’(c)(x₂-x₁) где c(x₁,x₂)

f(x₂)-f(x₁)>0  f(x₂)>f(x₁)

Экстремумы функции.

М ожно указать О(х₁) в которой все значения функции

f(x)<f(x₁) b и О_1(х₁) анологично для точки х₂

f(x)>f(x₁) b и О_2(х₁). Значенгие функции в точке М₁, М₃ и М₅ –

max; M₂ и М₄ – min – такие точки назавыются точкками

экстремума или точками локального max и min.

Определение: (точки экстремума)

Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х₀) и f(x)>f(x₀) в

О(х₀) или f(x)<f(x₀) в этом случае точка х₀ – называется точкой локального max (min).

З амечание:

f(x)f(x₁) в О_1(х₁)

f(x)f(x₂) в О_2(х₂)

говорят, что точки х₁ и х₂ точки не строгого локального

экстремума.

Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х₀ и точка х₀ – точка экстремума, тогда f(x₀)=0

Доказательсто: Заметим, что х₀ точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x₀) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)(x-x₀)+o(x-x₀)

f(x)-f(x₀)=(x-x₀)[f(x₀)+(x-x₀)] то при х – достаточно близких к х₀ знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x₀)0 (x-x₀) – меняет знак при переходе черех точку х₀  f’(x₀)=0

Лекция №13

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 31 октября 2000 г.

Тема: «Экстремумы»

Замечание:

О братное утверждение неверно. Из-за того, что произведение в данной точки равно нулю, не следует, что это экстремум.

y=(x-1)³

y’=3(x-1)²

y’(1)=0

x₀=1

xO^-_(1)f(x)<0

xO⁺_(1)f(x)<0

x=1 – не точка экстремума.

Теорема (Ролля):

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)const (x[a,b]) (const)’=0.

Пусть m<M, тогда либо m, либо М отлична от значений на концах отрезка. Пусть например Mf(a): c(a,b):f(c)=M, то есть точка с точка экстремума максимума следовательно по теореме Ферма f’(c)=0

Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.

непрерывна на отрезке [a,b]

Геометрический смысл.

f’(x)=0, то касательная  оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.

Теорема Лангранджа:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доказательство:

F(x)=f(x)+x где  - пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число , так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.

F(a)=f(a)+a

F(b)=f(b)+b

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =[f(b)-f(a)]/[b-a]

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b]   c(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+

0 =f’(c)+  f’(c)=-=[f(b)-f(a)]/[b-a]

То есть на кривой которая наклонена

к оси х под таким же углом как и секущая

[f(b)-f(a)]/[b-a]=tg=f(x)  c(a,b)

Замечание:

Часто точку с можно представить в

нужном виде:

с=х₀+∆х

0<(c-x₀)/(x-x₀)= <1

c-x₀=(x-x₀)

c=x₀+(x-x₀)¹

f(x)-f(x₀)=f’(x₀+∆x)(x-x₀)

0<<1

∆f(x₀)=f’(x₀+∆x)∆x

Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной)

Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в О(х₀). Если f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, то точка х₀ – точка экстремума. Если меняет знак:

с + на – то это точка максимума

с – на + то это точка минимума

Доказательство:  х₁  О^-(х₀) на [x₁,x₀];  c₁(x₁,x₀) f(x₀)-f(x₁)=f’(c₁)(x₀-x₁)  f(x₀)>f(x₁) x₁O^-(x₀)

 х₂  О⁺(х₀) на [x₀,x₂];  c₂(x₀,x₂) f(x₂)-f(x₀)=f’(c₂)(x₂-x₀)  f(x₂)<f(x₀) x₂O⁺(x₀)

f(x₀)>f(x) xO(x₀)  точка х точка максимума.

Если в точке х₀ существует производная то она обязательно равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут быть точки в которых f(x) существует, а f’(x) не существует.

Принцип решения подобных задач:

Условие: найти наибольшее и наименьшее значение функции не отрезке [a,b].

Ход решения:

1. Находим точки в которых производная либо равна 0 либо не существует f’(x)=0 или f’(x)  x₁, x_n

2. Вычисляем знак функции на концах отрезка и в этих точках f(a), f(b), f(x₁)….f(x_n)

3. Выбираем наибольшее и наименьшее mf(x)<M

Определение: точки в которых функция определена, а производная либо равняется нулю, либо не существует называют критическими точками.

Производная функции высшего порядка.

Существует f’(x)  x(a,b), тогда эта производная сама является функцией х (х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует ’(x)  x(a,b), то мы называем её второй производной ’(x)f’’(x)

Лекция №14

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 8 ноября 2000 г.

Тема: Производная функции высшего порядка.

f⁽ⁿ⁾=^def=(f^(n-1)(x))’

’’’ – [dⁿf(x)]/dxⁿ=(d/dx)([d^n-1f(x)]/dxⁿ)

Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа¹)

Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и g’(x)0, x(a,b), тогда  с  (a,b) такая, что [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’’(c)/g’(c)

Доказательство: Отметим прежде всего, что g(b)g(a), так как по теореме Лангранджа¹ для функции g(x)

g(b)-g(a)=g’(c₁)^II (b-a)^III0 (c₁(a,b)) Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-g(X) где  -неизвестное число

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b)