Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

екция №5

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 25 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности

Теорема:

lim(1-1/n)ⁿ=1/e e=2,7183

^n+

0a_n=1-1/n1 nN, то есть a_n=(1-1/n)ⁿ- ограниченна.

ⁿ⁺¹a_n=ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ1=ⁿ⁺¹(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ<1-1/n+1

(1-1/n)ⁿ<(1-1/n+1)ⁿ⁺¹

a_n<a_n+1 nN  последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)ⁿ – имеет конечный предел

lim(1-1/n)ⁿ=1/e

^n+

Следствие

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

lim1/(1+1/n)ⁿ=(n/n+1)ⁿ=[1-1/(n+1)]ⁿ⁺¹/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

^n+

lim[1/(1+1/n)ⁿ]=1/e

^n+

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

Определение под последовательности

Пусть дана a_n зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n₁<n₂<n₃<…<n_k<….

a_n1,a_n2,…,a_nk,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.

a_n=(-1)ⁿ

{a_n}={-1;1;-1;1….}

n₁=2;n₂=4,….,n_k=2k

{a_nk}={1,1,1,1…}

Теорема

Пусть последовательность a_n сходится, тогда последовательности

 lim a_n=a {a_nk} – гас и lim

^n+

lim a_nk=0

^n+

Доказательство так как a_n – сходиться, то ε>0 N: n>N  a_n-a<ε

a_nk; n_k>N то есть a_nk-a<ε

Пример

a_n=(-1)ⁿ – не имеет предела

{a_2n}={1,…,1,…,}

{a_2n-1}={-1,….,-1,…}

имели бы тот же самый предел.

Предел функции.

Определение

Пусть y=f(x) определена в O(x₀). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при хх₀ если ε>0  >0

x:0<x-x₀< f(x)-b<ε

lim f(x)=b

^xx_

Через окрестности это определение записывается следующим образом

ε>0 >0 x0_(x₀)f(x)0_ε(b)

Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при xx₀.

^xx_

Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу  а.

f(x)=x-1

1.x1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x1

^x1

2 .x2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x2

^x1

Пример

f(x)=2x+1 x1

Докажем lim(2x+1)=3

^x1

ε>0 >0 x:0<x-1< (2x+1)-3<ε

(2x+1)-3<ε

|x-1<ε/2

x1

Положим =ε/2

Теорема о бесконечно малом

1)(x);(x) – бесконечно малое xx₀  (x)+(x) – бесконечно малое при xx₀

2)(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

3)Если f(x) – ограниченна в O(x₀) и (x) – бесконечно малое при xx₀, то f(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

Доказательство (3)

Так как f(x) – ограниченна в O(x₀), то  С>0: xO(x₀)|f(x)C;

Так как (x) – бесконечно малое при хх₀, то ε>0 >0 x: 0<x-x₀<  (x)<ε ε₁>0

Положим ε=ε₁/c

>0 x: 0<x-x₀|< f(x)(x)=f(x)a(x)<Cε=ε₁ lim f(x)(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при xx₀

^xx_

Лекция №6

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 26 сентября 2000 г.

Тема: Замечательные пределы

Теорема

f(x)>g(x) в O(x₀) и  lim (f(x))=b и  lim (g(x))=c. Тогда bc

^xx_ ^xx_

Доказательство:

Рассмотрим функцию (x)=f(x)-g(x)>0 в O(x₀)  lim ((x))= lim (f(x)) - lim (g(x))= b-c и в силу предыдущей

^xx_ ^xx_ ^xx_

теоремы b-c0, то есть b0 что и требовалось доказать.

Теорема

f(x)(x)g(x)  xO(x₀) и  lim (f(x))=b и  lim (g (x))=b.  lim ( (x))=b

^xx_ ^xx_ ^xx_

Доказательство:

f(x)=b+(x)

g(x)=b+(x)

где (x) и (x) – бесконечно малые при хх₀

b+(x)(x)b+(x)

Так как (х) и (х) – бесконечно малые то ε>0 ₁>0:  xO_1(x₀)  (x)<ε

₂>0:  xO_2(x₀)  (x)<ε

Положим =min{₁;₂}

Т огда  xO_(x₀)  (x)<ε

(x)<ε

-ε<(x)<ε

-ε<(x)<ε

b-ε<b+(x)(x)b+(x)<b+ε

-ε<(x)-b<ε

(x)-b<ε  xO_(x₀)

 ε>0  =min{₁;₂}  (x)-b<ε xO_(x₀) то есть lim ( (x))=b

^xx_

Первый замечательные пределы.

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x0

Д оказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMN<S_секOMN< S_∆OKN

1/2sin(x)<1/2(x)<tg(x)

sin(x)<x<tg(x)

1<x/sin(x)<1/cos(x)

lim (1-cos(1/n))=0

^n+

lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

^{x0 x0}

lim (x/sin(x))=0

^x0

x>0

lim (x/sin(x))=1

^x0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^{x0 x0}

Определение бесконечного предела и пределов при х+.

lim (f (x))=+  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(+)

^xx_

(x): 0<x-x₀<

(////////// x

ε

lim (f (x))=-  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(-)

^xx_

(x): 0<x-x₀<

lim (f (x))=  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε()

^xx_

f(x)>ε

lim (f (x))=b  ε>0 ∆>0:  xO_∆(+)f(x)O_ε(b)

^x+

 x: x>∆ f(x)-b <ε

lim (f (x))=b  ε>0 ∆>0:  xO_∆(-)f(x)O_ε(b)

^x-

 x: x<-∆ f(x)-b <ε

О дносторонние пределы.

Определение

f(x) определена в O⁺(x₀)

lim (f (x))=b  ε>0 >0:  xO⁺_(x₀)f(x)O_ε(b) x₀<x<x₀+

^xx_⁺⁰

Определение

f(x) определена в O^-(x₀)

lim (f (x))=b  ε>0 >0:  xO^-_(x₀)f(x)O_ε(b) x₀-<x<x₀

^xx_^-0

Теорема Пусть f(x) определена в O(x₀) Для того чтобы существо-

вал предел  lim(f(x))=b   lim(f(x))=lim(f(x))=b

^xx_ ^xx_^{+0 xx}_^-0

Пусть  lim(f(x))=b, то есть ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(b) f(x)O_(b) для  xO⁺_(x₀) и для  xO^-_

^xx_

 xO^-_(x₀) lim(f(x));lim(f(x))=b что и требовалось доказать.

^xx_^{+0 xx}_^-0

Второй замечательный предел.

Теорема lim(1+1/x)^x=e

^x+

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] nx<n+1

[1+1/(n+1)]ⁿ(1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ⁺¹

Если x+, то n+

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)](1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ(1+1/n)  lim(1+1/x)^x=e

^x+

Лекция №7

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 3 октября 2000 г.

Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.

Определение.

Пусть (x) и (x) – бесконечно малые при хх₀ ()

1. (x) ~ (x) при хх₀ () если lim (x)/(x)=1 ^{xx0 ()}

2. (x) и (x) одинакового порядка при хх₀ () если lim (x)/(x)=с0 ^{xx0 ()}

3. (x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x) при хх₀ () если lim (x)/(x)=0 ^{xx0 ()}

Определение.

Пусть f(x) и g(x) – бесконечно большое при хх₀ ()

1) f(x) ~ g(x) при хх₀ () если lim f(x)/g(x)=1 ^{xx0 ()}

2)f (x) и g (x) бесконечно большие одинакового порядка роста, если при хх₀ () если limf(x)/g(x)=с ^{xx0 ()} <

В частности, если с=1, то они эквивалентны

1. f (x) бесконечно большое более низкого порядка роста чем g (x) или иначе g(x) бесконечно большое более высокого порядка роста чем g(x) при хх₀ () если lim f (x)/g (x)=0 ^{xx0 ()}

Примеры:

1. s in(x) – бесконечно малое

x при хх₀ – бесконечно малое

Сравним их lim sin(x)/x=1  sin(x)~x

^x0

при х0

1. 1n(1+x) – бесконечно малое

х при х0 – бесконечно малое

Сравним их lim ln(1+x)/x= lim ln(1+x)^1/x =1 

^{x0 x0}

ln(1+x) ~ x, при х0

1. x² – бесконечно большие

2х²+1, при х+ – бесконечно большие

Сравним lim x²/(2x²+1) = lim x²/x²(2+1/x²)=1/2

^{x+ x+}

то есть функция является бесконечно большой и

одинакового порядка. Замечание: если одну из

функций одинакового порядка роста домножить на

одинаковую const, то они станут эквивалентны.

Определение:

1. пусть (х)=о(х) – бесконечно малое при хх₀(). То мы говорим, что (х) и (х) при хх₀ (), если (х)=(х)(х), бесконечно малое при хх₀ (). Другими словами - (х) – бесконечно малое более высокого порядка, чем (х) така как (х)/(х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim (x)/(x)=0 ^{x0 ()}

2. пусть f(х)=оg(х) – бесконечно большое при хх₀(). То мы говорим, что f(х) и g (х) при хх₀ (), если f (х)=(х)g (х). Другими словами - f (х) – бесконечно большое более низкого порядка, чем g(х) так как f(х)/g (х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim f (x)/g (x)=0 ^{x0 ()}

Шкала бесконечности.

Степенные бесконечности.

xⁿ=o(x^m), 0<n<m при х+. Из двух степенных бесконечностей сильнее та, у которой показатель степени больше.

Докажем:

xⁿ=x^m(xⁿ/x^m)=x^m(1/x^(m-n))=x^m(x) m-n>0 x^m(x)o(x^m)

Показательные бесконечности.

а^х=о(b^х), 1<a<b при x+. Из двух показательных бесконечностей сильнее та, у которой основание больше.

Докажам

a^x=a^x(b^x/b^x)=a^x(a/b)^x=b^x(xo(b^x) (0<a/b<1)

Логарифмическая бесконечность

l n(x)=o(x^), >0. Логарифмическая бесконечность слабее любой степенной бесконечности.

ln(x)<x x

lim ln(x)/x^=lim [(ln(x)/(x^/2x^/2))((/2)/(/2))]=

^{x0 x0}

lim [(ln(x)/x^/2)(2/(x^/2)]

^x0

Произведение бесконечно малых на ограниченную

равно бесконечно малой.