Нечеткие множества (Mетодические указания к лаб. работе по курсу интелектуальные системы)

*******************************************

МАИ, кафедра математической кибернетики (805)

*******************************************

Курс " Интеллектуальные системы"

Основные операции с нечеткими множествами

Нечеткое множество описывается функцией принадлежности, значение функции означает субъективную оценку степени принадлежности элемента рассматриваемому множеству. Чаще всего функция принадлежности имеет колоколообразную форму, и задается экспертом. Данная программа представляет собой графический вычислительный комплекс, предназначенный для визуально-наглядного представления выполнения ряда операций над задаваемыми пользователем функциями (операции представлены как унарные, так и бинарные).

Вводимые пользователем функции численно задаются на интервале от 0 до 1 с интервалом 0.1 и должны иметь ограничения по значениям на интервале от 0 до 1. Таким образом, вводимые пользователем функции представляются им в виде числовой последовательности из одиннадцати чисел - значений функций в точках 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0 соответственно.

После введения последовательности из 11 значений функций на интервале [0;1] программа автоматически разбивает каждый интервал длинною 0.1 на 10 частей - таким образом, исследуемый интервал [0;1] разбивается на 100 частей и содержит 101 точку. Вводимые пользователем 11 точек являются узловыми, а значения функций в промежуточных точках принадлежат прямой, проведенной через соответствующие крайние узловые точки. Программа автоматически генерирует уравнения прямых, соединяющих ближайшие друг к другу узловые точки, и по этим уравнениям генерирует промежуточные соответствующие значения функций.

Список предлагаемых пользователю операций:

********************************************************************

1. дополнение функции до единицы. У

2. произведение двух заданных функций Б

3. сумма двух заданных функций Б

4. возведение функции в целую степень У

5. алгебраическая сумма двух функций Б

6. граничная сумма двух функций Б

7. драстическая сумма Б

8. непосредственное произведение функций Б

9. граничное произведение функций Б

10. драстическое произведение функций Б

У - унарная операция

Б - бинарная операция

*********************************************************************

Определения операций с функциями принадлежности

1. Ma(x) = 1- Mb (x)

2. Ma^b (x) = Ma(x) ^ Mb(x)

3. Mavb (x) = Ma(x)VMb(x)

4. Ma N(x)=Ma*Ma*...... (N раз)

5. Ma+b (x) = Ma(x)+Mb(x) - Ma*Mb

6. Ma+b (x) = (Ma(x) +Mb(x) )^ 1

7. Ma+b (x) = Mb(x) , Ma(x) =0

Ma(x) , Mb(x) =0

1 , в ост.

8. Mab(x) = Ma(x) * Mb(x)

9. Mab(x) =( Ma(x) +Mb(x) -1) V 0

10 Mab(x) = Mb (x) , Ma(x) =1

Ma(x) , Mb(x) =1

0 , в ост.

Правила работы с программой

*****************************

Пользуясь данной программой для максимально комфортной работы и во избежание системных ошибок необходимо выполнять ряд требований:

1. При вводе последовательности действительных значений функций необходимо пользоваться символом точка '.', а не знаком запятая ','.

2. Запросы программы обрабатываются только при вводе пользователем числовых значений - ввод символьной или какой-либо иной информации с клавиатуры игнорируется.

3. При работе с унарной операцией N4 необходимо вводить натуральные целочисленные значения степени. Если вводить и отрицательные целочисленные значения, то значения результата выходит за интервал [0; 1] и это может привести к системной ошибке.

4. Унарные операции выполняются только для первой функции.

Порядок выполнения работы и составления отчета

***************************************************

1. Выбрать шкалу, описывающую качественные знания, например, шкалу расстояний, шкалу частот или шкалу оценок и т.д.

2. Расставить квантификаторы, сопоставить этой шкале метрическую шкалу из некоторой предметной области. Например, расстояние в Москве

_________________________________________________________________________

0 5 10 20 30 40 50км

__________________________________________________________________________

рядом ! очень близко!близко!ни дал./ни бл.!далеко!очень далеко!совсем далеко

3. Определить в режиме экспертизы две функции принадлежности, соответствующие двум квантификаторам (для наглядности желательно пересечение).

4. Выполнить предлагаемые операции с нечеткими множествами, запустив исполняемую программу.

5. Все результаты с графическими иллюстрациями включить в отчет.

Нечёткая логика:

основные определения и операции

Используемые обозначения:

(-) - нечёткое отрицание

 - нечёткое И

 - логическое произведение

 - алгебраическое произведение

 - граничное произведение

 - драстическое произведение

 - нечёткое ИЛИ

 - логическая сумма

+ - алгебраическая сумма

 - граничная сумма

 - драстическая сумма

1 ) Нечёткое отрицание:

Нечёткое отрицание - аналог чёткой операции НЕ. Представляет собой бинарную операцию отрицания в нечётком смысле оценки [0,1], дающую в ответе оценку [0,1]. Аксиоматическое определение записывается в виде:

^(-) : [0,1][0,1]

N1: 0^(-)=1

N2: (x^(-))^(-)=x для x[0,1]

N3: x₁<x₂x₁^(-)>x₂^(-)

Здесь аксиома N1 сохраняет свойство двузначного НЕ и означает, что «нечёткое отрицание 0 равно 1», другими словами является граничным условием. Аксиома N2 является правилом двойного отрицания, утверждающим, что взятие дважды отрицания возвращает нас к исходной оценке. Последняя аксиома N3 наиболее существенное требование понятия «отрицание»: «нечёткое отрицание инвертирует (в смысле строгого неравенства) последовательность оценок (т.е. меняет местами хорошие и плохие оценки)».

2 ) t-нормы:

Нечёткое И

Нечётким расширением И является t-норма (или триангулярная норма). Известны 4 аксиомы t-нормы:

 :[0,1][0,1][0,1]

T1: x1=x, x0=0

T2: x₁x₂=x₂x₁

T3: x₁(x₂x₃)=(x₁x₂) x₃

T4: x₁x₂x₁x₃x₂x₃

Аксиома T1 справедлива также для чёткого И (это граничные условия). Т2 и Т3 законы пересечения и объединения, на аппаратном уровне их можно интерпретировать в виде: «входные контакты равнозначны, нет необходимости их различать», «если проектировать трёх- и более входовые элементы с помощью двухвходовых, то можно не различать порядок их объединения». Аксиома Т4 является требованием упорядоченности и гарантирует, что «введение третьей оценки не изменят порядок оценок».

Логическое произведение

Типичной t-нормой является операция min или логическое произведение x₁x₂=x₁x₂.

Оно соответствует понятию пересечение нечётких множеств. Указанная выше формула удовлетворяет аксиомам Т1-Т4.

Рассмотрим геометрический смысл обычной t-нормы. Из аксиом Т1 и Т2 следует, что область определения x₁x₂, т.е. соответствующие значения, находятся на сторонах единичного куба в плоскости (x₁,x₂). Другими словами из аксиомы Т1 следует, что на стороне x₂-1 единичного куба образуется линия x₁x₂=x₁, на стороне x₂=0 - линия в плоскости x₁x₂=0.

Кроме того, если использовать симметричность аксиомы Т2, то на стороне x₁=1 получается прямая линия x₁x₂=x₂, а на стороне x₁=0 - линия в плоскости x₁x₂=x₂. Таким образом значения x₁x₂ в четырёх вершинах единичного куба являются также значениями чёткой операции И. К тому же из аксиомы Т2 очевидно, что график симметричен относительно плоскости, образуемой наклонными x₁=x₂.

С практической точки зрения важными операциями являются:

Алгебраическое произведение: x₁x₂=x₁x₂

Граничное произведение: x₁x₂=(x₁+x₂-1)0

Драстическое произведение :

x₁x₂= x₂, если x₁=1

x₁, если x₂=1

0 в других случаях

Из вышепоказанных графиков видно, что справедливо соотношение:

0x₁x₂x₁x₂x₁x₂x₁x₂

_{Помимо указанных можно создать бесконечное число t-норм. Однако при любом способе создания t-нормы можно показать, что последняя непременно будет расположена между драстическим и логическим произведениями. Первое - минимальное, а второе - максимальное среди всех t-норм.}

3 ) s-нормы:

Нечёткое ИЛИ

Нечёткое расширение ИЛИ - s-норма называется также t-конормой, её можно обсуждать вместе с t-нормой. Среди аксиом только граничное условие отличается от случая t-нормы, остальные аксиомы те же самые:

: [0,1][0,1][0,1]

S1: x1=1, x0=x

S2: x₁x₂=x₂x1

S3: x₁ (x₂x₃)=(x₁x₂) x₃

S4: x₁x₂x₁x₃x₂x₃

Логическая сумма

Типичной s-нормой является логическая сумма, определяемая с помощью операции max: x₁x₂=x₁x₂.

Кроме того, часто используются следующие s-нормы:

Алгебраическая сумма: x₁+x₂=x₁+ x₂ - x₁x₂

Граничная сумма: x₁x₂=(x₁+x₂)1

Драстическая сумма:

x₁x₂= x₂, если x₁=0

x₁, если x₂=0

1, в других случаях

Из вышеуказанных рисунков видно, что справедливо соотношение:

x₁x₂x₁+x₂x₁x₂x₁x₂1