Столярчук В.А. Материалы к курсу лекций. «Модели и методы анализа проектных решений»

Лекция № 11

Лекция № 11

Метод конечных разностей

Содержание

Метод конечных разностей 2

Метод конечных разностей для уравнений в частных производных 9

Общие рекомендации по решению дифференциальных уравнений в частных производных 23

Метод конечных разностей

Основной смысл этого метода наиболее просто понять на примере решения задач, в которых искомая функция зависит от одной переменной, т.е. на примере решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Любая производная может быть представлена линейной комбинацией значений этой функции в определённых точках заданного отрезка, называемых узлами. Существует несколько способов выражения производных подобным образом.

Например, первую производную функции в узле k можно выразить следующими приближенными формулами с соответствующими названиями:

– левые односторонние разности

– правые односторонние разности (5.3.12)

– центральные разности

Наиболее употребительны при решении задач центральные разности. Левые и правые разности применяют, как правило, в специальных случаях, например, для формулирования в конечных разностях граничных условий. Обычно расстояние между узлами (шаг) принимают одинаковым, в этом случае для третья формула (5.3.12) записывается в виде:

Выражение для второй производной получим на основе выражений первой и второй формул для односторонних конечных разностей при .

Достоинство конечно-разностных методов в том, что они позволяют свести решение краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений. Это достигается тем, что производные, входящие в дифференциальные уравнения записываются в конечных разностях через значения искомой функции в узлах сетки. Вид этой сетки зависит от формы области описываемой дифференциальным уравнением и требований точности решения. В случае решения одномерной задачи сетка вырождается в прямую с отрезками - шагами. Покажем применение метода на простейших примерах.

Пример 1

Определить критическую силу потери устойчивости шарнирно-опертого стержня при сжатии.

При решении задачи будем исходить из известного уравнения устойчивости сжатого стержня в виде:

Разделим стержень на четыре части, и, используя формулы для четвертой производной в конечных разностях, запишем это уравнение в виде системы алгебраических уравнений следующим образом:

Из граничных и физических условий имеем:

2. Изгибающий момент в граничных точках равен 0 (так как балка в этих точках может свободно поворачиваться)

Условия по моментам в конечных разностях:

Дают следующие зависимости:

1. Учитывая, что при потере устойчивости форма изогнутого стержня будет симметричной относительно середины, можно утверждать, что .

Тогда алгебраическая система уравнений с учетом обозначения:

примет вид:

Из равенства нулю определителя этой системы имеем уравнение:

Откуда –

Используя наименьший корень, имеем:

Точное значение:

Отличие полученного значения от точного составляет примерно 5%.

Пример 2

Определить перемещения и изгибающие моменты М в балке переменного сечения, защемленной на одном конце (левом), и свободно - опертой на другом при произвольно распределенной нагрузке.

При решении задачи будем исходить из уравнения:

где М - функция изгибающего момента, связанная с перемещениями зависимостью:

E – модуль упругости материала, из которого изготовлена балка, - момент инерции поперечного сечения балки.

Если подставить последнее выражение в (5.3.15), то получим уравнение четвертой степени относительно производных. Для того, чтобы избежать использования конечно-разностных формул для четвертой производной, применим конечно-разностную формулу для второй производной дважды.

Разобьем балку на четыре части и, используя выражения (5.3.14), которое является конечно-разностной формулой для второй производной, запишем уравнение (5.3.15) в виде (5.3.17), используя конечно-разностную формулу для второй производной первый раз:

Записывая уравнение (5.3.15) через (5.3.17) для точек 1,2,3 , получим систему:

M_A-2M₁+M₂= - q₁ X²

M₁-2M₂+M₃=-q₂X (5.3.18)

M₂-2M₃+M_В = - q₃X²

Статическому условию на свободно-опертом конце соответствует М_В=0.

Учтем зависимость (5.3.16), из которой следует:

гдеК = А,1,2,3,В -номера сечений (номера узловых точек), и запишем систему (5.3.18) в конечных разностях через прогиб , второй раз использую конечно-разностную формулу для второй производной.

EI_A(_-2_A+₁)- 2EI₁(_A-2₁+₂) + 2EI₂(₁-2₂+₃)= q₁ X⁴

EI₁(_A-2₁+₂)- 2EI₂(₁-2₂+₃) + 2EI₃(₂-2₃+_B)= q₂ X⁴

EI₂(₁-2₂+₃)- 2EI₃(₂-2₃+_B)= q₃X⁴

Из геометрических граничных условий в заделке имеем:

_A =0,

Запишем второе условие в конечных разностях:

Откуда имеем “перемещение” в законтурной точке:

_ = _1.

Если учесть геометрическое условие на свободно-опертом конце_В=0, то система получит вид:

(2I_A+4I₁+I₂)₁ - 2(I₁+I₂)₂ +I₂_{3 =}q₁X⁴/ E

- 2(I₁+ I₂ )₁+ (I₁+4 I₂ +I₃ )₂ - 2(I₂ + I₃ )₃ = q₂X⁴ / E

I₂₁ - 2 ( I₂ + I₃ )₂ + (I₂ +4I₃ )₃ = q₃X⁴ /E

Из решения этой системы при конкретных значениях I_A,,I_K,q_K (K=1,2,3) можно определить прогибы ₁ ,₂ ,_3.

Решим это уравнение для частного случая:

Пусть I_K = I_O = const, q_K = q_O= q(x)=const

Тогда последние уравнения примут вид:

7₁ - 4₂ + ₃ =q_O X ⁴ / EI_O

-4₁ +6₂ - 4₃ =q_O X ⁴ / EI_O (5.3.21)

₁ - 4₂ + 5₃ = q_OX⁴ / EI_O

Откуда можно получить:

По найденным прогибам с учетом формул (9) и (10) можно определить моменты в сечениях балки. В частности:

При учете _ = _1,_A = 0, I_A =I_Oи q = q_O получим:

M_A =2 0,909 q_OX ² = 0,113q_O l ²

Точное значение: 0,125q_Ol²

Отличие полученного значения от точного составляет примерно 12%.

Заканчивая краткое рассмотрение применения конечно-разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, ещё раз отметим, что если исходное дифференциальное уравнение линейное, то задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Если же исходное дифференциальное уравнение нелинейное, задача будет заключаться в решении системы нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений.

Метод конечных разностей для уравнений в частных производных

Также как и при решении методом конечных разностей обыкновенных дифференциальных уравнений в основе решения уравнений в частных производных тем же методом лежит конечно-разностная аппроксимация производных. В области изменения независимых переменных уравнения L(f)=0 вводится сетка с достаточно малым шагом h. Отсюда МКР, применяемый для решения двумерных задач, часто называют методом сеток. Алгебраическое (или трансцендентное) уравнение L_h(f)=0 ,определенное в узлах сетки путем замены производных их конечно-разностными соотношениями и называемое сеточным или разностным уравнением, должно обеспечивать при неограниченном измельчении сетки при h0 для любой достаточно гладкой функцииL_h(f)  L(f). При этом величинаL_h(f) - L(f)называется локальной погрешностью или погрешностью аппроксимации (дискретизации). Погрешность аппроксимации легко определяется при помощи разложений в окрестности данного узла сетки достаточно гладкой функции в соответствующие ряды Тейлора.

В основе решения уравнения в частных производных методом конечных разностей лежит конечно-разностная схема аппроксимации производных, которая во многом напоминает описанную ранее процедуру для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Аппроксимация осуществляется в три этапа:

Сначала в области решения вводят равномерную сетку узловых точек, соответствующую характеру задачи и граничным условиям. Затем решаемое уравнение в частных производных записывают в наиболее удобной системе координат и, представляя производные в конечно-разностной форме, приводят его к виду разностного уравнения.

Полученное разностное уравнение используют в дальнейшем для описания функциональной связи между соседними узлами сетки. Разностное уравнение записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему nуравнений с n неизвестными. На последнем этапе полученную систему nуравнений с n неизвестными решают одним из численных методов. На первый взгляд эта процедура, состоящая из трех этапов, может показаться простой и прямо ведущей к решению, однако это не так - широкое разнообразие типов и размеров сеток, видов уравнений, возможных конечно-разностных аппроксимаций и методов решения получаемых систем уравнений делают задачу численного решения уравнений в частных производных исключительно многогранным исследованием.

Наиболее часто используются следующие виды сеток:

а) прямоугольная; б) полярная; в) треугольная; г) скошенная.

Запишем несколько формул, выражающих производные функции двух переменных в конечных разностях, для сетки с квадратной ячейкой и h - шагом сетки (см. рисунок):