В.А. Столярчук. Анализ результатов расчетов в САЕ-системах (учебное пособие), страница 4

Тогда, отбрасывая значения напряжений < 3500 Н/см² , можно подсчитать средние проценты отличия в значениях напряжений, которые больше 3500 Н/см² при сравнении результатов расчета в двух системах.

Итак, получается, что для значимых напряжений отличие не превышает 3%, что говорит о том, что две САЕ системы в среднем дают почти одинаковые результаты.

Но понятие «в среднем» мало успокаивает инженера при ответственных расчетах. Ему хотелось бы знать диапазоны значений, которым он может безусловно доверять, а каким – нет.

Для этого можно построить последнюю таблицу анализа совпадения результатов конечно-элементного расчета в двух системах.

На основе таблицы получаем следующие обобщенные интервалы:

Несоответствие более 30% - [3400;7000], несоответствие 10-20% - [7000;9000],

несоответствие менее 10% - [9000;34000]

Вывод:

- значениям напряжений с абсолютной величиной более 9000-10000Н/см2 можно доверять;

- к значениям, находящимся в интервале [7000; 9000], стоит относиться с осторожностью;

- значениям менее 7000Н/см2, несоответствие которых превышает 30%, доверять не стоит.

На этом заканчивается анализ сопоставления результатов конечно-элементного расчета, полученных в двух системах: САЕ Sigma и CAE Nastran. Очевидно, что по подобной методике можно исследавать совпадеие результатов расчета в парах Sigma- AnSys и Nastran- Ansys.

5. Сходимость результатов МКЭ и сравнение в разных CAE –системах.

5.1. Основы математической обработки результатов вычислительного эксперимента

По мере усложнения исследуемых систем и углубления их анализа значительно возрастает объем информации, выдаваемой компьютером в результате моделирования. Это обстоятельство лишает результаты моделирования наглядности, затрудняет, а в некоторых случаях практически исключает, восприятие и осмысливание их человеком. В связи с этим появляются специальные методы обработки результатов моделирования, имеющие целью представление их в более удобном для восприятия и осмысливания виде.

Графический метод обработки результатов обладает наглядностью, относительной простотой, однако его результаты содержат определенную субъективность и относительно низкую точность.

Аналитические методы лишены в какой-то степени указанных недостатков и позволяют получить результат для более широкого класса функций с большей точностью, чем графический метод.

Круг вопросов, решаемых при обработке результатов тех или иных экспериментов, не так уж велик. Это  вопросы подбора эмпирических формул и оценка их параметров, вопросы оценки истинных значений измеряемых величин и точности измерений, вопросы исследования корреляционных зависимостей и некоторые другие.

В настоящее время процедура обработки экспериментальных и вычислительных данных достаточно хорошо формализована и инженеру необходимо только ее правильно использовать. На основе обработки этих экспериментальных и вычислительных данных выводят некоторое заключение.

Что­бы обос­но­ван­но делать это заключение, а также уметь из экс­пе­ри­мен­таль­ных и вычислительных данных из­влечь необходимую информацию об объекте исследования, инженер должен владеть методами статистической, регрессионной и кор­ре­ля­ци­он­­ной обработки экспериментальных данных.

В дальнейшем рассматриваются преимущественно вопросы обработки результатов численного исследования, хотя их можно распространить и на чисто экспериментальные методы.

Цели и методы математической обработки результатов вычислительного эксперимента

Целью любого эксперимента является определение качественной и количественной связи между исследуемыми параметрами, либо оценка численного значения какого-либо параметра.

В некоторых случаях вид зависимости между переменными величинами известен по результатам теоретических исследований. Как правило, формулы, выражающие эти зависимости, содержат некоторые постоянные, значения которых и необходимо определить из опыта.

Другим типом задачи является определение неизвестной функциональной связи между переменными величинами на основе данных эксперимента. Такие зависимости называют эмпирическими.

Однозначно определить неизвестную функциональную зависимость между переменными невозможно даже в том случае, если бы результаты эксперимента не имели ошибок. Тем более не следует этого ожидать, имея результаты эксперимента, содержащие известные ошибки, возникающие в процессе вычислений.

Поэтому следует четко понимать, что целью математической обработки результатов вычислительного эксперимента далеко не всегда является нахождение истинного характера зависимости между переменными или абсолютной величины какой-либо неизвестной.

Целью математической обработки чаще всего является представление результатов наблюдений в виде наиболее простой формулы или значения неизвестной с оценкой возможной погрешности ее использования.

Для простоты дальнейшего изложения будем считать, что некоторое явление характеризуется только двумя ве­ли­чи­на­ми {Х} и {Y}, связанными между собой некоторой неизвестной функциональной зависимостью. Любую из этих величин с одинаковой сте­пенью можно считать независимой, тогда как другая будет считаться за­ви­си­мой.

Различают четыре типа зависимостей между переменными:

1)Зависимость между неслучайными переменными, не требующую для своего изучения применения статистических методов;

2) Зависимость случайной переменной y от неслучайных переменных, исследуемую методами регрессионного анализа;

3) Зависимость между случайными переменными y и x, изучаемую методами корреляционного анализа;

4) Зависимость между неслучайными переменными, когда все они содержат ошибки измерения, требующую для своего изучения применения конфлюэнтного анализа.

Вычислительный эксперимент проводится обычно при заданных исходных данных, которые в дальнейшем можно рассматривать в некотором приближении как неслучайные величины. Результаты же сложного расчета, выполненного с помощью, например, метода конечных элементов, в сильнейшей степени зависят от множества факторов, в частности, от ошибок дескретизации и ошибок округления. Поэтому такие результаты можно рассматривать как уже некие случайные величины.

Таким образом, при обработке результатов численного эксперимента приходится чаще всего обращаться к методам регрессионного анализа.

Основу большинства методов регрессионного анализа и прогноза составляют методы интерполирования и среднеквадратичной аппроксимации, изучаемыми в базовых курсах математической подготовки.

5.2 Регрессионный анализ.

5.2.1 Теория.

1. Дисперсия.

Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего.

В статистическом понимании дисперсия

есть среднее арифметическое из квадратов отклонений величин x_i от их среднего арифметического

В теории вероятностей дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание Е(Х — m_х)² квадрата отклонения Х от её математического ожидания m_х = Е (Х).

Т.е. Е(Х — Е (Х))².

Дисперсия случайной величины Х обозначается через или через , т.е

= Е(Х — Е (Х))².

Квадратный корень из дисперсии (т. е. , если ) называется средним квадратичным отклонением.

  Для случайной величины Х с непрерывным распределением вероятностей, характеризуемым плотностью вероятности р (х), дисперсия вычисляется по формуле:

, где

  В теории вероятностей большое значение имеет теорема: дисперсия суммы независимых слагаемых равна сумме их дисперсий. Не менее существенно неравенство Чебышева, позволяющее оценивать вероятность больших отклонений случайной величины Х от её математического ожидания.