Методическое пособие

по курсу

"Математический анализ"

для студентов ф-та №4

Тема: Ряды Фурье.

Автор: ст.преподаватель каф.805

Савостьянова Н.И.

Содержанием данного методического пособия является изложение основных теоретических положений, необходимых для решения задач о разложении периодических функций в тригонометрические ряды Фурье, а также разбор соответствующих задач.

С этой целью рассмотрим основные определения и теоремы.

Определение 1. Функция f(x) называется периодической периода T, если она определена для всех xÎR и выполняется равенство: f(x+T)=f(x), xÎR.

Рассмотрим, например, сиситему функций 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, cos kx, sin kx,... Функции sin kx и cos kx для каждого фиксированного k имеют период , (k=1,2,3,...); число 1 можно рассматривать как функцию с любым периодом, но все функции в целом имеют период 2p.

При этом периодическая функция S=f(x) изображает периодическое движение (колебание) точки, имеющей в момент времени x координату S на соответствующей числовой оси.

Определение 2. Функция , где A>0, l>0 и w - постоянные, k – натуральное, определяет гармоническое колебание точки с амплитудой A, фазой w и частотой k. Эта функция имеет период , т.е. за время совершается одно полное колебание. Тогда - число колебаний в единицу времени, т.е. частота колебаний. Однако принято частотой колебания называть число k.

Отметим, что функция , где , определяет гармоническое колебание, т.к.

, где o £ w_k £ 2p, , .

В различных областях техники – акустике, радиотехнике, электротехнике простейшими периодическими движениями являются гармонические колебания.

Конечная сумма гармонических колебаний с данным периодом 2l представляет собой сложное колебание .

Более сложное колебание представляет собой сумма сходящегося ряда:

, (1),

называемого тригонометрическим рядом, или рядом Фурье. Числа a_k,b_k называют коэффициентами Фурье, выражения - гармониками.

Сходимость тригонометрических рядов.

Рассмотрим тригонометрический ряд (1). Для изучения его сходимости естественно рассмотреть числовой ряд

, (2),

который мажорирует ряд (1), т.к. a₀£|a₀|, . Тогда если ряд (2) сходится, то ряд (1) сходится при всех x абсолютно и равномерно (по признаку Вейерштрасса). Но ряд (1) может сходиться и при отсутствии сходимости ряда (2). Рассмотрим соответствующие признаки сходимости подобных рядов.

Теорема 1. Если f(x) с периодом 2l непрерывна для всех xÎR и имеет кусочно-непрерывную производную на периоде, то её ряд Фурье равномерно сходится к ней для xÎR.

Определение. Говорят, что f(x) периода 2l удовлетворяет условиям Дирихле, если на [0;2l] можно указать конечное число точек 0=x₀<x₁<x₂<...<x_i<...<x_N=2l таких, что для xÎ(x_i,x_i+1) f(x) ограничена, непрерывна и монотонна, а в любой точке x_i разрыва имеет место равенство:

, (*)

т.е. значение функции в этой точке равно полусумме односторонних пределов.

Теорема 2. (признак Дирихле).

Если f(x) периода 2l удовлетворяет условиям Дирихле, то её ряд Фурье сходится к ней для любого xÎR.

Замечание. Если f(x) удовлетворяет условиям Дирихле, кроме условия (*), то ряд Фурье сходится к f(x) для всех xÎR, за исключением точек разрыва x_i.

Если установлено, что ряд (1) равномерно сходится, то:

1. т.к. его элементы – непрерывные функции периода 2l, то его сумма f(x) есть непрерывная функция периода 2l;

2. ряд (1) можно почленно интегрировать, при это имеет место равенство: ;

3. ряд (1) можно формально продифференцировать: . Если этот ряд сходится равномерно, то .

Вышеуказанные свойства выполняются на основании теории равномерно сходящихся рядов.

Ортогональные свойства тригонометрических функций.

Рассмотрим систему функций с общим периодом 2l: 1, ,…, , ,... Для них справедливы следующие соотношения:

В этом случае говорят, что система функций на [-l;l] обладает свойством ортогональности. Покажем справедливость одного из этих равенств, например:

, т.к. sin p(k+m)=0, sin p(k-m)=0.

Вычисление коэффициентов Фурье (a_k,b_k).

Изучение свойств функции f(x) в связи с сходимостью ряда (1) обусловлено тем, что коэффициенты Фурье определяются значениями этой функции. Покажем это.

Предположим, что ряд (1) сходится равномерно. Тогда его можно почленно интегрировать: . При этом, в силу ортогональности рассматриваемой системы функций, , , . Тогда

. (3)

Умножим теперь ряд (1) почленно на функцию . Т.к. , то равномерная сходимость ряда (1) сохранится. Проинтегрируем теперь результат умножения: , m=1,2,3... При этом, в силу ортогональности,

, ,

Тогда: m=k, (3')

Умножая почленно ряд (1) на функцию и используя ортогональность рассматриваемой системы функций, аналогично получим:

(3")

Таким образом показано, что коэффициенты Фурье определяются значениями f(x).

Замечания.

1. Можно показать, что формулы для a_k,b_k справедливы и втом случае, когда f(x) удовлетворяет условиям Дирихле;

2. Ввиду периодичности подинтегральных функций (T=2l), кэффициенты a_k,b_k можно вычислять, интегрируя по любому промежутку длиною в период, т.е.

; ; , lÎR. (3*)

Рассматривая вновь сходящийся ряд (1), можно сказать, что f(x) разложена в ряд Фурье, коэффициенты которого вычисляются по формулам (3), (3'), (3"). Будем называть правую часть этого равенства суммой ряда Фурье и обозначать S(x). Ясно, что S(x)=f(x) в точках непрерывности f(x). Если x_i – точка разрыва для f(x), то , тогда как сама функция f(x) может быть не определена в точке разрыва x_i или имеет там значение, отличное от полусуммы односторонних пределов. В этом случае равенство между S(x) и f(x) не выполняется.

Неполные ряды Фурье.

Пусть f(x) – на [-l;l] удовлетворяет условиям Дирихле. Особый интерес представляют два случая.

1) Для f(x) на [-l;l] выполняется равенство f(-x)=f(x), т.е. f(x) является четной функцией. Тогда , k=1,2,... – также четная функция, а – нечетная. Отсюда как интеграл от четной функции по симметричному промежутку, а как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку. Поэтому ряд Фурье имеет вид:

, (4)

где ; ; b_k=0. (4')

2) Для f(x) на [-l;l] выполняется равенство f(-x)=-f(x), т.е. f(x) является нечетной функцией. Тогда , k=1,2,... – также нечетная функция, а – четная. Отсюда как интеграл от четной функции по симметричному промежутку, а как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку. Поэтому ряд Фурье имеет вид:

, (5)

где , a₀=0, a_k=0. (5')

Нетрудно заметить, что ряд Фурье для четной функции содержит только косинусы, а ряд Фурье для нечетной функции – только синусы. Поэтому задача о разложении такой функции в ряд Фурье часто формулируется как задача о разложении по косинусам или по синусам соответственно.

Перейдем к решению задач.

Решение задач.

При решении задач о разложении функции f(x) в ряд Фурье следует:

1. нарисовать график f(x) на промежутке хотя бы длиной в два периода, чтобы показать, что данная функция периодическая;

2. нарисовать график S(x) аналогично, чтобы было видно в каких точках f(x)¹S(x);

3. вычислить коэффициенты Фурье и записать ряд Фурье.

Задачи.

№1. Разложить в ряд Фурье

Р ешение. Заметим, что f(x) задана на промежутке длины T=4. Т.к. f(x) предполагается периодической, то именно это число и является ее периодом, тогда ­l=2.

1. График f(x):

1. График S(x):

Стрелки в концах линий показывают, что функция не принимает в концах интервала значения, определяемого из выражения, заданного на интервале. При сравнении графиков f(x) и S(x) хорошо видно, что в точках разрыва f(x)¹S(x).

3) Вычислим коэффициенты Фурье. Это можно сделать по формулам (3*): ; ; . Именно: ; итак, .

Разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид:

Замечания. 1) При интегрировании на [-1;3] этот отрезок был разбит на [1;0] и [0;3], т.к. на этих отрезках f(x) задана разными значениями.

2) При вычислении коэффициентов использованы интегралы: и , где a=const.

№2. Разложить в ряд Фурье

Решение. Здесь T=2, l=1.

Ряд Фурье имеет вид: , где ; ; , т.к. l=1.

1. Г рафик f(x):

1. Г рафик S(x):

1. ; .

; ; ;

Тогда

№3. Разложить в ряд Фурье по синусам

Решение. Заметим, что в ряд Фурье по синусам раскладываются только нечетные функции. Т.к. f(x) определена только для x>0, xÎ(0;2)È(2;3), то это означает, что на симметричный промежуток (-3;-2)È(-2;0) f(x) нужно продолжить так, чтобы выполнялось равенство f(-x)=-f(x). Поэтому длина промежутка, на котором f(x) задана как нечетная функция, равна 6. Значит T=6, l=3. Ряд Фурье для f(x) имеет вид: , где , n=1,2,3,... (по формулам (5')).