_________________А.И. Кибзун

БИЛЕТ 3. (МС-ПЭ-1)

1. Пусть - частота события А в серии из 100 опытов. Известно, что вероятность события А равна 0.2. Какова вероятность того, что отличается от больше, чем на 0.08?

2. Плотность вероятности случайного вектора имеет вид . Определить и вычислить , если .

3. Дана однородная выборка объема , причем имеет распределение с плотностью . Доказать состоятельность оценок параметров , построенных методом моментов.

4. Функция наблюдается в точках со случайными независимыми ошибками , причем распределена по закону . Получены результаты наблюдений . Найти МНК-оценку параметра и ее закон распределения.

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой № 804

_________________А.И. Кибзун

БИЛЕТ 4. (МС-ПЭ-1)

1. СВ независимы и одинаково распределены по закону , . Известно, что . Найти вероятность того, что СВ окажется больше, чем 333, если .

2. Случайный вектор имеет характеристическую функцию

. Найти .

3. Дана однородная выборка объема , причем имеет распределение . Найти ОМП параметра и доказать ее эффективность.

4. Пусть , где СВ и - независимы и имеют распределения и соответственно. Найти с.к.- оптимальную оценку для по наблюдению и вычислить с.к.- погрешность этой оценки.

Билет 1.doc

Билет 1

1. Аксиомы теории вероятностей.

2. Свойства функции распределения двумерного случайного вектора.

3. Две фирмы изготавливают однотипную продукцию. Производительность первой фирмы в 3 раза выше производительности второй. Процент брака для первой фирмы равен 0.2%, для второй фирмы – 0.1%. Из общей продукции этих фирм выбрано наугад одно изделие, и оно оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно изготовлено первой фирмой.

4. Известно, что . Вычислить .

5. Ковариационная матрица случайного вектора имеет вид . Найти

Билет 2

1. Простейшие свойства вероятности.

2. Свойства ковариации.

3. Игральная кость подбрасывается дважды. Найти вероятность того, что в первый раз очков выпадет не меньше, чем во второй.

4. . Найти .

5. Вычислить ковариацию случайных величин , совместное распределение которых задано таблицей

	0	1
0	0,1	0,2
-1	0,4	0,3

Билет 3

1. Формула умножения вероятностей.

2. Свойства функции распределения случайной величины.

3. Снайпер попадает в цель при одном выстреле с вероятностью 0.8 и стреляет в нее до тех пор, пока число попаданий не станет равным 3. Найти вероятность того, что число выстрелов окажется равным 8.

4. Известно, что . Найти .

5. Ковариация нормированных случайных величин равна . Вычислить .

Билет 4

1. Формула Бернулли.

2. Свойства плотности вероятности случайной величины.

3. Игральная кость подбрасывается дважды. Найти вероятность того, что в первый раз очков выпадет не больше, чем во второй.

4. Известно, что . Найти .

5. Дисперсии независимых случайных величин равны 1. Вычислить ковариацию случайных величин , .

Билет 5

1. Формула полной вероятности.

2. Основные законы распределения в математической статистике.

3. Из колоды карт (36 листов) наугад извлекается 5 карт. Найти вероятность того, что среди них окажутся ровно 2 туза и ровно 2 короля.

4. Известно, что . Найти .

5. - центрированная случайная величина с дисперсией 2. Найти ковариацию случайных величин .

Билет 6

1. Формула Байеса.

2. Свойства плотности вероятности двумерного случайного вектора.

3. Найти вероятность того, что при 5-и бросаниях игральной кости шестерка выпадет ровно 4 раза подряд.

4. Известно, что . Найти начальный момент второго порядка случайной величины .

5. - независимые случайные величины, одинаково распределенные по закону . Вычислить ковариацию случайных величин , .

Билет 7

1. Равномерное распределение на отрезке.

2. Доверительный интервал для модели .

3. В данной местности количество мужчин относится к количеству женщин как 3:2. Примерно половина всех мужчин и треть всех женщин были на войне. Наугад встретившееся лицо было на войне. Найти вероятность того, что это лицо – женщина.

4. Известно, что . Найти .

5. - независимые случайные величины, одинаково распределенные по закону . Вычислить .

Билет 8

1. Распределение Бернулли.

2. Доверительный интервал для модели .

3. Две фирмы изготавливают однотипную продукцию. Производительность первой фирмы в 4 раза выше производительности второй. Процент брака для первой фирмы равен 0.5%, для второй фирмы – 0.1%. Из общей продукции этих фирм выбирается наугад одно изделие. Найти вероятность того, что оно не будет бракованным.

4. Известно, что . Вычислить .

5. Случайный вектор равномерно распределен на множестве точек , удовлетворяющих неравенству . Найти .

Билет 9

1. Экспоненциальное распределение.

2. Закон больших чисел.

3. Три стрелка, попадающие в мишень с вероятностями 0,5; 0,6; 0.8, стреляют в мишень одновременно. Найти вероятность того, что только один из них не попадет в мишень.

4. . Вычислить .

5. Случайный вектор равномерно распределен на множестве точек , удовлетворяющих неравенству . Найти .

test2.doc

Фамилия, И.О. студента___________________________________

Аксиомы теории вероятностей:

• неотрицательности

• сигма-алгебры

• нормировки

• конечной аддитивности

• непрерывности

• монотонности функции распределения

Вероятность достоверного события равна 1:

• В силу аксиомы нормировки вероятности

• Если оно причисляется к разряду случайных

• Если оно включено в алгебру событий

• Если оно включено в -алгебру случайных событий

• Это не всегда верно, если вероятность – условная

-алгебра случайных событий:

• Совокупность всех событий, случайность которых подтверждена экспериментально

• Произвольный класс событий, замкнутый относительно операций сложения и умножения

• Произвольный класс событий, включающий достоверное событие и замкнутый относительно операций суммы, умножения и разности

• Произвольный класс событий, включающий достоверное событие и замкнутый относительно операций суммы, умножения, разности и деления

• Минимальная -алгебра, содержащая алгебру событий

Классическая формула верна:

• Всегда

• Только в случае, когда

• Только, если и - целые

• Если в эксперименте конечное число возможных исходов

• Только в случае конечной совокупности независимых элементарных исходов, образующих полную группу

• Только в случае конечной совокупности элементарных исходов, образующих полную группу попарно несовместных равновероятных событий

, если и независимы, :

Формула Байеса предназначена для:

• вычисления априорных вероятностей гипотез

• вычисления условных вероятностей

• проверки полноты группы гипотез

• проверки независимости двух событий

• вычисления вероятности отношения двух событий

• вычисления вероятностей любых сложных событий

Формула полной вероятности:

• Всегда

• Если и независимы

• Если и независимы и имеют ненулевые вероятности

• Если хотя бы две вероятности в этом равенстве определены

• Если и несовместны

• Только в случае, если или является невозможным событием

Апостериорная вероятность гипотезы:

• Вероятность, оцениваемая экспериментально путем многократного повторения эксперимента

• Вероятность, вычисленная по формуле Байеса

• Условная вероятность при условии, что верна другая гипотеза

• Безусловная вероятность, вычисленная по формуле Байеса

• Условная вероятность при условии, что эта гипотеза верна

Вероятность произведения несовместных событий и

• Равна 0

• Равна 1

Формула умножения вероятностей

Непрерывные законы распределения:

• нормальный

• биномиальный

• Бернулли

• Пуассона

• экспоненциальный

Начальный момент второго порядка для нормального распределения :

Математическое ожидание для биномиального распределения :

Математическое ожидание равно дисперсии, это

• неверно

• верно всегда, когда математическое ожидание неотрицательно

• верно для распределения Пуассона

• верно для экспоненциального распределения с параметром 1

• верно, если эти характеристики относятся к одной и той же случайной величине

, где - математическое ожидание:

Дисперсия детерминированной константы :

• Не определена

• Может не существовать

• 0

Свойства функции распределения дискретной случайной величины :

• Непрерывность

• Неограниченность снизу

• Монотонность

Вычислить :

Функция распределения непрерывной случайной величины :

• Вогнута

• Выпукла

• Кусочно постоянна

• Нечетна

• Четна

• Непрерывна

Свойства плотности вероятности :

• Неотрицательность

• Гладкость

• Непрерывность

• Монотонность

Область определения функции распределения

• Множество возможных значений случайной величины

• Некоторый отрезок

• Числовая ось

• Множество неотрицательных чисел

Дисперсия суммы компонент случайного вектора:

• Равна сумме дисперсий компонент

• Всегда не превосходит суммы дисперсий

• Равна сумме всех элементов ковариационной матрицы этого вектора

• Равна сумме диагональных элементов ковариационной матрицы этого вектора

• Равна сумме собственных значений ковариационной матрицы этого вектора

Коэффициент корреляции величин и , если распределена по нормальному закону :

Математическое ожидание произведения некоррелированных случайных величин равно

• произведению их математических ожиданий

• нулю

• сумме их математических ожиданий

• полусумме их математических ожиданий

• квадратному корню из произведения их математических ожиданий

• может не существовать

Разность двух независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону , распределена по закону

• равномерный

Формула определения частной плотности вероятности по заданной совместной плотности

Свойства ковариации

• , где - дисперсия

• , где - математическое ожидание

Свойства функции распределения случайного вектора

• Неубывание по

• Невозрастание по

• Неубывание по

• Невозрастание по

Свойства условного математического ожидания :

• Линейность по

• Линейность по

• Измеримость по

• Измеримость по

• Случайность

Формула полного математического ожидания:

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.doc