rpd000003987 (231300 (01.03.04).Б3 Математическое моделирование динамических систем), страница 6

1. Лабораторные работы

1. Типовые задания

1.1.1. Матрицы и действия над матрицами.(СРС: 1)

Тип: Домашнее задание

Прикрепленные файлы: Матрицы. Действия над матрицами.doc

1.1.2. Определители.(СРС: 1)

Тип: Домашнее задание

Прикрепленные файлы: Определители.doc

1.1.3. Ранг матрицы. Базисный минор.(СРС: 1)

Тип: Домашнее задание

Прикрепленные файлы: Ранг матрицы. Базисный минор..doc

1.1.4. Обратная матрица.(СРС: 1)

Тип: Домашнее задание

Прикрепленные файлы: Обратная матрица. Правило крамера..doc

1.1.5. Системы линейных уравнений.(СРС: 1)

Тип: Домашнее задание

Прикрепленные файлы: Системы линейных уравнений.Метод Гаусса.doc

1.2.1. Векторная алгебра.(СРС: 1)

Тип: Домашнее задание

Прикрепленные файлы: Векторная алгебра.doc

1.3.1. Собственные векторы.(СРС: 1)

Тип: Домашнее задание

Прикрепленные файлы: Собственные векторы.doc

1.4.1. Алгебраические линии и поверхности второго порядка.(СРС: 1)

Тип: Домашнее задание

Прикрепленные файлы: Алгебраические линии и поверхности второго порядка.doc

1.4.2. Алгебраические линии (прямые и плоскости).(СРС: 1)

Тип: Домашнее задание

Прикрепленные файлы: Алгебраические линии(прямые и плоскости).doc

2.1.1. Линейная алгебра(СРС: 6)

Тип: Расчетная работа

Прикрепленные файлы: РГР АиАГ 2 сем. 8 фак.doc

Приложение 3
к рабочей программе дисциплины
«Линейная алгебра и аналитическая геометрия »

Прикрепленные файлы

РГР АиАГ 1 сем. 8 фак.doc

РАсчетно – графическая работа

по алгебре и аналитической геометрии

Факультет № 8 Семестр 1 2007-2008

Во всех задачах – последняя цифра номера группы, – номер студента по списку группы.

линейная алгебра

1. Привести матрицы

а) ; б)

к ступенчатому виду (к простейшему виду, найти элементарные преобразующие матрицы).

2. Вычислить определители:

а) ; б) ; в) .

3. Вычислить ранги матриц:

а) ; б)

методом окаймляющих миноров, а также методом Гаусса, приводя матрицы к ступенчатому виду.

5. Найти матрицы, обратные к данным:

а) ; б) ; в) .

6. Решить матричные уравнения:

а) ; в) ;

б) ; г) .

7. Решить системы уравнений по правилу Крамера:

а) б)

8. Найти фундаментальную систему решений, составить фундаментальную матрицу и записать структуру общего решения:

а) б)

9. Решить систему уравнений

методом Гаусса:

а) проверить совместность системы по теореме Кронекера-Капелли;

б) получить формулы общего решения, выразив базисные переменные через свободные;

в) найти частное решение;

г) найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений;

д) записать общее решение системы уравнений при помощи фундаментальной системы решений.

10. Решить систему уравнений п.5.3 при помощи элементарных преобразующих матриц (см. алгоритм на стр.205 [ЛА]).

11. Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы матриц:

а) ; б) .

Составить преобразующие матрицы (если они существуют).

аналитическая геометрия

12. Решить задачу 1.26 [АГ] (см. решение примера 1.29 [АГ]).

13. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы вершины , , . треугольника. Требуется:

а) составить общее уравнение прямой, содержащей высоту треугольника;

б) составить каноническое уравнение прямой, содержащей медиану треугольника;

в) составить параметрическое уравнение биссектрисы прямой, содержащей биссектрису треугольника.

г) составить уравнение прямой ;

д) вычислить расстояние от точки до прямой ;

е) найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

14. Решить задачу 4.8 [АГ].

15. Для линий второго порядка, уравнения которых заданы в задаче 3.11 [АГ], используя ортогональные инварианты, определить названия и составить канонические уравнения (выполнить п.1,2,3,4,7 алгоритма на стр.316-318 [АГ]).

16. Для поверхностей второго порядка, уравнения которых заданы в задаче 4.12 [АГ], используя ортогональные инварианты, определить названия и составить канонические уравнения (выполнить п.1,2,3,4,7 алгоритма на стр.451-456 [АГ]).

Литература

[ЛА] – Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Линейная алгебра в примерах и задачах.

[АГ] – Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах.

Матрицы. Действия над матрицами.doc

Занятие 1. Матрицы и действия над ними.

1.1 Вычислить

а) ; б) . Ответ: а) ; б) .

1.2. Даны матрицы , .

Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1.3. Транспонировать матрицы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1.4. Даны матрицы , .

Найти: а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

1.5. Вычислить произведения матриц:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) 0; е) .

1.6. Даны матрицы , . Вычислить произведения:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1.7. Даны матрицы , .

Вычислить произведения: а) ; б) . Ответ: а) ; б) .

1.8. Вычислить произведения матриц:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

1.9. Даны матрицы , .

Найти: а) ; б) . Ответ: а) ; б) .

1.10. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

Ответ: , где , – параметры, принимающие любые действительные значения.

1.11. Вычислить , если . Ответ: .

Определители.doc

Занятие 2. Определители.

2.1. Вычислить определители второго порядка:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) ; б) 5; в) ; г) 0.

2.2. Найти определители второго порядка:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

2.3. Вычислить определители третьего порядка:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

Ответ: а) ; б) 0; в) ; г) ; д) ; е) 8; ж) 87.

2.4. Найти определители третьего порядка:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) б) ; в) .

2.5. Не вычисляя определителей, указать, почему они равны нулю:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) есть нулевая строка; б) имеются два одинаковых столбца; в) первые две строки пропорциональны; г) если к третьему столбцу прибавить первый, то получим столбец, равный второму.

2.6. Вычислить определители и произведений матриц , , применяя свойство определителя произведения. Сделать проверку, вычисляя сначала произведения и , а затем определители и .

Ответ: , , .

2.7. Вычислить определители при помощи элементарных преобразований:

а) ; б) .

Указание: а) вычесть первую строку из всех строк; б) вычесть последнюю строку из всех строк и разложить определитель по первому столбцу. Ответ: а) ; б) .

2.9. Найти определители четвертого порядка:

а) ; б) . Ответ: а) ; б) 0 .

Ранг матрицы. Базисный минор..doc

Занятие 3. Ранг матрицы. Базисный минор. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие совместности системы линейных уравнений.

3.1. По определению найти базисный минор и вычислить ранг матрицы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) .

Ответ: а) базисного минора нет, ; б) , ;

в)  , ; г) , ; д) ; ;

е) , ; ж)  , ; з) , .

В случаях б), е), ж) базисные миноры определяются неоднозначно.

3.2. Вычислить ранги матриц, приводя их к ступенчатому виду (методом Гаусса):

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Ответ: а) ~ , ; б)  , ; в)  , ; г)  , ; д)  , .

Ступенчатый вид матрицы определяется неоднозначно.

3.3. Вычислить ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

а) ; б) .

Указания: а) можно рассмотреть цепочку окаймляющих миноров:

, , , ;

б) можно рассмотреть цепочку окаймляющих миноров: ,

, , , , .

Ответ: а) ; б) .

3.4. При каждом действительном значении параметра вычислить ранг матрицы:

а) ; б) ; в) .

Указания: в) рассмотреть цепочку окаймляющих миноров: ,

, , .

Ответ: а) ; б) ; в) при , при .

3.5. В данной системе столбцов найти все максимальные линейно независимые подсистемы:

а) , , ;

б) , , , .

Указания: а) составить матрицу и найти ее базисные миноры; б) составить матрицу , убедиться в том, что .

Ответ: а) любые два столбца образуют максимальную линейно независимую подсистему данной системы столбцов; б) искомая подсистема совпадает со всей системой , , , , так как данная система столбцов линейно независимая.

Обратная матрица. Правило крамера..doc

Занятие 4. Обратная матрица. Решение систем методом обратной матрицы. Правило Крамера.

4.1. Найти матрицы, обратные к данным:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) , ; и) , .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .

4.2. Найти матрицы, обратные к данным:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) .

4.3. Доказать, что матрицы ортогональные, т.е. :

а) ; б) .

4.4. Решить матричные уравнения:

а) ; б) ;

в) , где , , ;

г) , где , , ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .