rpd000003987 (231300 (01.03.04).Б3 Математическое моделирование динамических систем), страница 3

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Матрицы, виды матриц. Операции над матрицами и их свойства. Векторное произведение и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

2.Блочные матрицы. Теорема о произведении блочных матриц. Скалярное произведение и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

3.Индуктивное определение детерминанта (определителя). Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки, столбца (без доказательства). Линейная зависимость и линейная независимость векторов.

4.Свойства определителей. Аффинная система координат на прямой, плоскости, в пространстве. Координаты вектора, точки. Выражение координат вектора через координаты его начала и конца.

5.Элементарные преобразования матриц. Методы вычисления определителей. Смешанное произведение и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

6.Теорема об определителе произведения матриц. Следствие об определителе блочно-диагональной матрицы. Выражение линейных операций над векторами через их координаты. Деление отрезка в заданном отношении.

7.Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.

8.Матричные уравнения. Алгоритмы нахождения обратной матрицы. Векторы, линейные операции над векторами. Базис на прямой, плоскости, в пространстве. Теорема о разложении вектора по базису.

9.Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы. Свойства. Метрические приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

10.Базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре. Понятие об уравнении линии и поверхности. Алгебраические линии и поверхности, их порядок. Теорема об инвариантности порядка алгебраической поверхности (линии).

11.Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.

12.Теорема о ранге произведения и суммы матриц. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до прямой и между скрещивающимися прямыми.

13.Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Преобразование координат точки на плоскости при повороте и параллельном переносе, при изменении названий и при изменении направлений осей координат.

14.Алгоритмы нахождения ранга матрицы. Определения эллипса, гиперболы, параболы как геометрических мест точек плоскости. Фокус, эксцентриситет, директриса.

15.Системы линейных алгебраических уравнений, основные понятия. Матричная запись системы. Правило Крамера. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Классификация поверхностей второго порядка.

16.Теорема Кронекера-Капелли. Алгоритм (Гаусса) решения неоднородной системы линейных уравнений. Метрические приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

17.Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение однородной системы.Прямоугольная система координат. Ориентация базисов в пространстве. Выражение длины вектора через его координаты.

18.Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Классификация линий второго порядка.

19.Свойства определителей. Координатное пространство. Линейные операции со столбцами. Базис. Теорема о разложении элемента по базису.

20.Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение. Спектр матрицы. Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы.

21.Базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре. Замена базиса. Матрица перехода от базиса к базису. Связь координат вектора в разных базисах. Свойства матрицы перехода.

22.Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Координатное пространство. Линейные операции со столбцами. Базис. Теорема о разложении элемента по базису.

23.Метрические приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Подобные матрицы. Теорема о приведении матрицы к диагональному виду с помощью преобразования подобия.

24.Условия параллельности и совпадения двух прямых и двух плоскостей. Свойства характеристического многочлена, собственных чисел и собственных векторов.

25.Метрические приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение. Спектр матрицы. Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы.

26.Системы линейных алгебраических уравнений, основные понятия. Правило Крамера. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.

27.Алгоритмы нахождения ранга матрицы. Координатное пространство. Линейные операции со столбцами. Базис. Теорема о разложении элемента по базису.

28.Базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до прямой и между скрещивающимися прямыми.

29.Теорема Кронекера-Капелли. Алгоритм (Гаусса) решения неоднородной системы линейных уравнений. Линейное подпространство: определение, размерность.

30.Теорема о ранге произведения и суммы матриц. Аффинное подпространство (плоскость): определение, размер.

2. Письменный экзамен 2 семестр (теоретическая часть)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Линейное пространство: определение, примеры, простейшие следствия из аксиом.Ядро и образ линейного отображения: определение, примеры, свойства. Теорема о размерностях ядра и образа.

2.Линейная зависимость и линейная независимость элементов линейного пространства. Свойства.Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений. Теорема о кратностях. Условие приводимости матрицы линейного преобразования к диагональному виду.

3.Размерность и базис линейного пространства. Примеры.Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Геометрический смысл собственных векторов. Примеры. Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов.

4.Теорема о разложении элементов линейного пространства по базису.Ортогональные преобразования: определение, примеры, свойства. Каноническая форма ортогонального преобразования и его геометрический смысл. Алгоритм приведения матрицы ортогонального преобразования к каноническому виду.

5.Линейная оболочка конечной системы векторов. Линейная оболочка подмножества линейного пространства. Свойства.Аннулирующий многочлен матрицы. Теорема Гамильтона - Кэли.

6.Линейная зависимость и линейная независимость элементов линейного пространства. Свойства.Многочлен от жордановой клетки. Алгоритм нахождения многочлена от матрицы.

7.Замена базиса. Матрица перехода от базиса к базису. Свойства матрицы перехода. Сопряженные преобразования: определение, примеры, свойства. Матрицы сопряженных преобразований.

8.Связь координат вектора в разных базисах.Характеристический многочлен линейного преобразования и его свойства.

9.Изоморфизм линейных пространств.Теорема о структуре невырожденного линейного преобразования евклидова пространства и ее геометрический смысл.

10.Подпространства линейного пространства. Примеры.Теорема о существовании одномерного или двумерного инвариантного подпространства линейного преобразования вещественного линейного пространства.

11.Пересечение и алгебраическая сумма подпространств. Прямая сумма. Примеры.Жорданова форма матрицы. Собственные и присоединенные векторы. Теорема о приведении матрицы к жордановой форме (без доказательства).

12.Теорема о размерности суммы подпространств.Самосопряженные преобразования: определение, примеры, свойства.

13.Евклидово пространство: определение, примеры, следствия из аксиом. Собственные и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

14.Основные метрические понятия. Неравенство Коши - Буняковского. Неравенство треугольника. Теорема Пифагора.Алгоритм приведения матрицы к жордановой форме.

15.Изоморфизм евклидовых пространств.Аннулирующий многочлен матрицы. Теорема Гамильтона - Кэли.

16.Ортогональные и ортонормированные векторы: определение, примеры, свойства. Ортонормированный базис и его преимущества.Теорема о диагонализируемости матрицы самосопряженного преобразования и ее следствия.

17.Ортогональные дополнения подмножеств: определения, примеры, свойства.Теорема о структуре невырожденного линейного преобразования евклидова пространства и ее геометрический смысл.

18.Задача о перпендикуляре и ее решение.Алгоритм приведения матрицы к жордановой форме.

19.Определитель Грама, его свойства и геометрический смысл. Неравенства Адамара, Бесселя.Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы при линейной замене переменных.

20.Отображения: определение, образ, полный прообраз. Сюръективные, инъективные, биективные, тождественные и обратимые отображения. Композиция отображений. Теорема об обратном отображении.Теорема Якоби о приведении квадратичной формы к каноническому виду.

21.Линейные отображения: определение, примеры, свойства. Матрица линейного отображения. Матрица композиции отображений.Процесс ортогонализации.

22.Ядро и образ линейного отображения: определение, примеры, свойства. Теорема о размерностях ядра и образа.Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

23.Линейные преобразования: определение, примеры. Матрица линейного преобразования и ее свойства.Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

24.Алгебра линейных преобразований: сложение, умножение на число, произведение и степень линейных операторов.Теорема Якоби о приведении квадратичной формы к каноническому виду.

25.Инвариантные подпространства: определение, примеры. Ограничение оператора на подпространство. Теорема о матрице оператора и его ограничении. Следствия.Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции.

26.Теорема о разложении элементов линейного пространства по базису.Процесс ортогонализации.

27.Теорема о дополнении системы векторов до базиса.Свойства и геометрический смысл определителя Грама.

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а)основная литература:

1. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.

2. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2005.

3. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Линейная алгебра в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2005.

Литература из электронного каталога:

1. Беклемишев Д.В. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Физматлит, 2000. - 375 с. - Физматлит, 2000.

2. Беклемишев Д.В. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Физматлит, 2007. - 308 с. - Физматлит, 2007.

3. Беклемишева Л.А. Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Физматлит, 2006. - 495 с. - Физматлит, 2006.

4. Бортаковский А.С. Бортаковский А.С. Анализ нелинейных систем управления. МАИ, 1994. - 38 с.: - МАИ, 1994.

5. Бортаковский А.С. Бортаковский А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах. Высш.шк., 2005. - 496 с. - Высш.шк., 2005.

6. Бортаковский А.С. Бортаковский А.С. Линейная алгебра в примерах и задачах. Высш.шк., 2005. - 591 с. - Высш.шк., 2005.

7. Бортаковский А.С. Бортаковский А.С. Основы линейной алгебры. Доброе слово, 2006. - 120 с. - Доброе слово, 2006.

8. Бортаковский А.С. Бортаковский А.С. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии. Высш.шк., 2007. - 352 с. - Высш.шк., 2007.

9. Бортаковский А.С. Бортаковский А.С. Практический курс линейной алгебры и аналитической геометрии . Логос, 2008. - 327 с. - Логос, 2008.

б)дополнительная литература:

1. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука, 1987.

2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1978.

3. Сборник задач по математике для ВТУЗов. / Под ред. Ефимова А.В. и Демидовича Б.П. Т.1. – М.: Наука, 1981 или 1986 и позднее. (Все темы)

4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М., Наука, 1967.

в)программное обеспечение, Интернет-ресурсы, электронные библиотечные системы: