rpd000002461 (231300 (01.03.04).Б3 Математическое моделирование динамических систем), страница 4

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: ДУ первого порядка в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие ДУ в полных дифференциалах и методы его интегрирования. Интегрирующий множитель. Теоремы о существовании и о не единственности интегрирующего множителя и методы его определе-ния.

1.1.5. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешённые относительно производной. Методы интегрирования с применением метода введения параметра.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешённые относительно производной. Методы интегрирования с применением метода введения параметра. Сведение интегрирования ДУ к системе ДУ. ДУ Лагранжа и Клеро. Геометрический смысл семейства решений уравне-ния Клеро.

1.1.6. Особые решения ДУ 1-го порядка.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Особые решения ДУ 1-го порядка. Метод определения особого решения на основе нарушения условия единственности теоремы Коши и метод, использующий определение огибающей однопараметрического семейства кривых. Дискриминантная кривая и её особенности в каждом из методов.

1.1.7. Интегрирование ДУ высшего порядка (ДУВП), допускающих понижение порядка.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Интегрирование ДУ высшего порядка (ДУВП), допускающих понижение порядка: не содержащих в качестве аргумента искомой функции и ДУВП или не содержащих в качестве аргумента независимого переменного. Интегрирование ДУВП, однородных относительно искомой функции и её производных, и ДУВП, представляющих собой пол-ную производную некоторой функции.

1.2.1. Системы ДУ (СДУ) и ДУВП. Основные определения. Система ДУ в нормальной форме (НСДУ).(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Системы ДУ (СДУ) и ДУВП. Основные определения. Система ДУ в нормальной форме (НСДУ). Метод исключения: сведение задачи инте-грирования СДУ к задаче интегрирования ДУВП. Сведение задач интегрирования ДУВП и СДУ высших порядков к задаче интегрирования НСДУ. НСДУ, соответствующая ДУВП.

1.2.2. Координатная и векторная формы НСДУ. Норма вектор – функции, определение, виды норм. Условие Липшица. Задача Коши для НСДУ и для ДУВП. (АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Л9. Координатная и векторная формы НСДУ. Норма вектор – функции, определение, виды норм. Условие Липшица. Задача Коши для НСДУ и для ДУВП. Теорема Коши для НСДУ. Этапы доказательства теоремы. Доказательство теоремы для ДУВП.

1.2.3. Следствия из теоремы Коши. Общий интеграл НСДУ, как система независимых первых интегралов. Определение первого интеграла.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Л10. Следствия из теоремы Коши. Общий интеграл НСДУ, как система независимых первых интегралов. Определение первого интеграла. Усло-вие независимости первых интегралов. Симметрическая форма НСДУ. Метод интегрируемых комбинаций интегрирования НСДУ.

1.2.4. Приближенно – аналитические методы интегрирования СДУ и ДУВП.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Приближенно – аналитические методы интегрирования СДУ и ДУВП: метод последовательных приближений, метод степенных рядов (последовательного дифференцирования и неопределённых коэффици-ентов) и метод малого параметра.

1.2.5. Численные методы решения задачи Коши для СДУ и ДУВП.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Численные методы решения задачи Коши для СДУ и ДУВП. Алгоритмы методов Эйлера, его модификаций и их геометрическая интер-претация. Алгоритмы численных методов Рунге – Кутта и Адамса. Оценка точности вычисления алгоритмов численных методов. Устойчи-вость счёта при применении данных алгоритмов.

1.3.1. Линейные системы ДУ и линейные ДУВП, т.е. (ЛСДУ) и (ЛДУВП).(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Линейные системы ДУ и линейные ДУВП, т.е. (ЛСДУ) и (ЛДУВП). Векторно-матричная и операторная формы записи ЛСДУ и ЛДУВП. Определитель Вронского. Теоремы о свойствах решений линейных однородных СДУ и линейных однородных ДУВП, т.е. (ЛОСДУ) и (ЛОДУВП). Формула Остроградского – Лиувилля – Якоби.

1.3.2. Фундаментальная и нормальная фундаментальная системы решений (ФСР) ЛОСДУ и ЛОДУВП.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Фундаментальная и нормальная фундаментальная системы решений (ФСР) ЛОСДУ и ЛОДУВП. Фундаментальная и нормальная фундаментальная матрицы. Структура общего решения ЛОСДУ и ЛОДУВП. Матрица Коши. Метод Эйлера интегрирования ЛОСДУ с постоянными коэффициентами. Решение ЛОСДУ в случае действительных и различ-ных корней характеристического уравнения.

1.3.3. Решение ЛОСДУ с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Решение ЛОСДУ с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения. Использование формулы Эйлера. Решение ЛОСДУ в случае кратных корней характеристического уравнения методами неопределённых коэффициентами и определения присоединённых векторов. Интегрирование ЛОДУВП с постоянными коэффициентами. Решение ЛОДУВП в различных случаях кор-ней характеристического уравнения.

1.3.4. Теоремы о свойствах решений линейных неоднородных СДУ и линейного неоднородного ДУВП, т.е. (ЛНСДУ) и (ЛНДУВП). (АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Л16. Теоремы о свойствах решений линейных неоднородных СДУ и линейного неоднородного ДУВП, т.е. (ЛНСДУ) и (ЛНДУВП). Суперпо-зиция решений. Определение общего решения ЛНСДУ и ЛНДУВП в случае известного частного решения. Структура общего решения ЛНС-ДУ и ЛНДУВП. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа при интегрировании ЛНСДУ и ЛНДУВП.

1.3.5. Метод Коши при интегрировании ЛНСДУ.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Метод Коши при интегрировании ЛНСДУ. Определение частного решения ЛНСДУ и ЛНДУВП с применением методов подбора такого решения и метода неопределённых коэффициентов в случае специальной правой части данных ЛНСДУ и ЛНДУВП с постоянными коэффи-циентами. Резонансный и нерезонансный случаи.

1.3.6. Линейные ДУВПД с переменными коэффициентами. (АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Линейные ДУВПД с переменными коэффициентами. Понижение порядка уравнения. Преобразование ЛДУ второго порядка к виду, не содержащему слагаемого с первой производной неизвестной функции. Формула Остроградского-Лиувилля. Интегрирование линейных одно-родных и неоднородных уравнений Эйлера. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения Эйлера в случае специальной пра-вой части.

1.4.1. Краевые задачи для ДУ. (АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Краевые задачи для ДУ. Операторная форма постановки краевой задачи. Методы интегрирования краевых задач. Общий метод решения краевой задачи. Случаи единственного решения, множества решений и их отсутствия для краевой задачи. Метод функции Грина. Алгоритм по-строения функции Грина для краевой задачи с краевыми условиями – числовыми значениями искомого решения.

1.4.2. Геометрическая интерпретация, алгоритм построения и условия существования функции Грина.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Геометрическая интерпретация, алгоритм построения и условия существования функции Грина. Доказательство интегральной формулы определения решения краевой задачи с помощью построенной функции Грина. Теорема о существовании и единственности решения краевой задачи. Условия существования функции Грина и алгоритм её построе-ния для общего случая краевой задачи.

1.4.3. Приближенно-аналитические методы решения краевых задач(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Приближенно-аналитические методы решения краевых задач: коллокаций, интегральный метод наименьших квадратов, точечный метод наименьших квадратов и метода Галеркина, которые минимизируют функцию невязки. Численные методы конечных разностей и прогонки решения краевых задач. Формула Рунге оценки точности расчёта при применении численных методов решения краевых задач.

1.5.1. Элементы качественной теории исследования решений ДУ и систем ДУ. (АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Л22. Элементы качественной теории исследования решений ДУ и систем ДУ. Автономные и неавтономные динамические системы. Определения фазового пространства, фазовых траекторий и фазовой скорости. Движение по фазовым траекториям динамической системы. Свойства и классификация фазовых траекторий автономных динамических систем. Алгоритм определения точек покоя автономной динамической системы.

1.5.2. Автономная динамическая система второго порядка и её точки покоя.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Л23. Автономная динамическая система второго порядка и её точки покоя. Уравнение фазовых траекторий. Определение особых точек ДУ первого порядка, как множества, где нарушены условия существования решения начальной задачи. Соответствие между особыми точками и точками покоя. Исследование особых точек линейной автономной дина-мической системы второго порядка.

1.5.3. Особые точки.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Особые точки типов «Узел», «Седло», «Фокус», «Центр», «Вырожденный узел» и «Дикритический узел». Сепаратрисы узла, седла и вырожденного узла. Движение по фазовым траекториям в окрестности особых точек. Исследование особых точек нелинейной автономной ди-намической системы второго порядка и метод фазовой плоскости иссле-дования и построения её фазовых траекторий.

1.5.4. Теория устойчивости(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Теория устойчивости решений (фазовых траекторий) динамиче-ских систем ДУ. Определения устойчивости, асимптотической устойчи-вости, устойчивости в целом, неустойчивости решений по Ляпунову и их геометрическая интерпретация. Теоремы о необходимых и достаточных условиях всех типов устойчивости решений линейных динамических систем ДУ. Ограниченность и устойчивость решений линейных одно-родных динамических систем ДУ. Теоремы об устойчивости решений линейных динамических систем ДУ и линейных ДУ высшего порядка с постоянными коэффициентами. Теоремы об устойчивости и неустойчивости решений неавтономной динамической системы по первому приближению.

1. Практические занятия

1.1.1. Составление ДУ. (АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Описание: Составление ДУ. ДУ семейства кривых от п – параметров. Гео-метрический смысл ДУ 1-го порядка. Поле направлений. Метод изоклин приближенного построения интегральных кривых ДУ 1-го порядка. Методы интегрирования ДУ 1-го порядка, разрешённых относительно про-изводной. Интегрирование ДУ с разделяющимися переменными.

1.1.2. Интегрирование однородных ДУ и ДУ, приводящихся к однородным уравнениям. (АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Описание: Интегрирование однородных ДУ и ДУ, приводящихся к однородным уравнениям. Интегрирование линейных однородных и неоднород-ных ДУ 1-го порядка (линейных по х и линейных по y). Интегрирование линейных ДУ методом вариации произвольной постоянной Лагранжа и методом Бернулли введения двух функций.