rpd000002461 (231300 (01.03.04).Б3 Математическое моделирование динамических систем), страница 3

Трудоемкость(СРС): 10

Прикрепленные файлы: Курсовая по ДУ фак-т 8 курс 2 осень 2012.pdf

Типовые варианты:

1. Рубежный контроль

1.1. Контрольная работа №1

Тип: Контрольная работа

Тематика: Введение в курс дифферен-циальных урав-нений (ДУ) и ДУ 1-го порядка.

Прикрепленные файлы: Контрольная работа №1 ДУ 2к 8ф.docx

1.2. Контрольная работа №2

Тип: Контрольная работа

Тематика: Системы ДУ (СДУ) и ДУ высшего поряд-ка (ДУВП). Линейные системы ДУ (ЛСДУ) и линейные ДУ высшего поряд-ка (ЛДУВП).

Прикрепленные файлы: КР№2 ДУ 2к 8ф.docx

1. Промежуточная аттестация

1. Экзамен (3 семестр)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Основные определения: дифференциальное уравнение, его порядок, общее и частное решение, интеграл, интегральная кривая. Основные задачи курса ДУ.

2.Геометрический смысл ДУ первого порядка. Приближенное геометрическое построение интегральных кривых методом изоклин.

3.Задача Коши и формулировка теоремы Коши для ДУ первого порядка, разрешенного относительно производной.

4.Задача Коши и формулировка теоремы Коши для ДУ первого порядка, не разрешённого относительно производной.

5.ДУ первого порядка с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним.

6.Линейные ДУ первого порядка и приводящиеся к ним. Уравнения Бернулли и Риккати.

7.Уравнения в полных дифференциалах. Метод интегрирующего множителя. Теоремы о существовании и не единственности интегрирующего множителя.

8.Интегрирование ДУ первого порядка не разрешённых относительно производной. Метод введения параметра.

9.Особые решения ДУ первого порядка, методы их определения.

10.Методы интегрирования ДУ высшего порядка, допускающих понижение порядка.

11.Сведение задачи об интегрировании системы ДУ к ДУ высшего порядка и наоборот. Метод исключения и условия его применения.

12.Сведение ДУ высшего порядка к соответствующей нормальной системе ДУ.

13.Векторная форма записи нормальной системы ДУ.

14.Задача Коши и теорема Коши для системы ДУ. Доказательство теоремы.

15.Задача Коши и доказательство теоремы Коши для ДУ высшего порядка.

16.Следствия из теоремы Коши.

17.Симметрическая форма записи системы ДУ. Первые интегралы системы ДУ, их определение и условия независимости. Метод интегрируемых комбинаций.

18.Приближенно-аналитические методы решения задачи Коши: последовательных приближений, степенных рядов, малого параметра. Оценка точности вычисления.

19.Численные методы решения задачи Коши: Эйлера, его модификации, Рунге-Кутта, Адамса. Устойчивость расчёта. Формула Рунге для оценки точности вычислений.

20.Линейные системы ДУ и дифференциальные уравнения высшего порядка. Векторно-матричная и операторная формы записи нормальной линейной системы ДУ и линейного ДУ высшего порядка.

21.Теоремы о свойствах решений однородной линейной системы ДУ и линейного однородного ДУ высшего порядка. Линейная зависимость и независимость решений. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля-Якоби.

22.Фундаментальная и нормальная фундаментальная системы решений. Фундаментальная матрица. Матрица Коши. Запись решения задачи Коши с помощью матрицы Коши. Структура общего решения однородных линейных систем ДУ и однородных уравнений.

23.Линейная однородная система ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение системы во всех случаях корней (простых и кратных, действительных и мнимых) характеристического уравнения.

24.Линейное однородное ДУ высшего порядка с постоянными коэффициентами. Операторная форма. Свойства линейного оператора. Характеристическое уравнение. Общее решение во всех случаях корней (простых и кратных, действительных и мнимых) характеристического уравнения.

25.Линейные неоднородные системы ДУ и ДУ высшего порядка. Теоремы о свойствах решений. Структура общего решения.

26.Методы определения частного решения: вариации произвольных постоянных (Лагранжа), Коши линейных неоднородных систем ДУ и ДУ высшего порядка.

27.Методы подбора частного решения линейных неоднородных систем ДУ и ДУ высшего порядка с постоянными коэффициентами в случае специальной правой части.

28.Линейные ДУ с переменными коэффициентами, приводящиеся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.

29.Уравнения Эйлера. Построение характеристического уравнения. Методы интегрирования однородных и неоднородных уравнений Эйлера.

30.Приведение линейного ДУ второго порядка к виду, в котором отсутствует слагаемое с первой производной искомой функции.

31.Краевые задачи для ДУ. Определения. Общий метод решения краевой задачи. Случаи единственного решения, множества решений и их отсутствия для краевой задачи.

32.Метод функции Грина. Алгоритм построения функции Грина краевой задачи для ДУ. Интегральная формула решения краевой задачи с помощью построенной функции Грина. Теорема о существовании и единственности решения краевой задачи. Численные и приближённо-аналитические методы решения краевых задач.

33.Динамические системы. Фазовое пространство. Фазовые скорости и траектории. Движения по фазовым траекториям. Автономные и неавтономные динамические системы.

34.Свойства траекторий решений автономных динамических систем, классификация фазовых траекторий. Точки покоя. Теорема о необходимом и достаточном условии принадлежности фазовой траектории состоянию равновесия системы.

35.Динамические системы второго порядка. Особые точки на фазовой плоскости. Типы особых точек, их определение и изображение на фазовой плоскости.

36.Особые точки автономной динамической системы второго порядка в случае нелинейной правой части.

37.Исследование нелинейных колебаний с одной степенью свободы методом фазовой плоскости. Фазовый портрет свободных колебаний математического маятника.

38.Определения устойчивости, асимптотической устойчивости, устойчивости в целом, неустойчивости решений по Ляпунову и их геометрическая интерпретация.

39.Теоремы о необходимых и достаточных условиях всех типов устойчивости решений линейных динамических систем ДУ и доказательство данных теорем.

40.Теорема об ограниченности решений однородных линейных систем ДУ как необходимом и достаточном условии устойчивости всех решений этой системы.

41.Теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости решений линейных динамических систем ДУ с постоянными коэффициентами и их доказательство.

42.Сведение исследования устойчивости невозмущенного решения динамической системы к исследованию нулевого решения соответствующей системы первого приближения. Теоремы об устойчивости и неустойчивости решений динамической системы ДУ по первому приближению.

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а)основная литература:

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М.: КомКнига, 2008, 320 стр.

2. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: КомКнига,2010, 240 стр.

3. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Либроком, 2009, 448 стр.

4. Степанов В.В. Дифференциальные уравнения. М.: ЛКИ, 2008, 272 стр.

5. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Лань,2010,400 стр.

6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. ЛКИ, 2010, 240 стр.

7. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ЛКИ, 2009, 256 стр.

б)дополнительная литература:

8. Пунтус А.А. Учебное пособие по аналитическим методам решения задачи Коши. М.:МАИ,1976.

9. Пунтус А.А. Учебное пособие по приближенно-аналитическим и численным методам решения задачи Коши. М.: МАИ, 1978.

10. Пунтус А.А. Метод малого параметра. М.: МАИ, 1978.

11. Пунтус А.А. Качественные методы исследования динамических систем. М.: МАИ, 1987.

12. Пунтус А.А. Проблемы новой постановки математических дисциплин в техническом вузе. М.: МАИ, 2000.

в)программное обеспечение, Интернет-ресурсы, электронные библиотечные системы:

MAPLE.

www.exponenta.ru

www.ctve.ru

http://www.mathtest.ru

1. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Аттестованные компьютерные классы с установленным программным и методическим обеспечением.

Приложение 1
к рабочей программе дисциплины
«Дифференциальные уравнения »

Аннотация рабочей программы

Дисциплина Дифференциальные уравнения является частью Математического и естественно-научный цикл дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки Прикладная математика. Дисциплина реализуется на 8 факультете «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» кафедрой (кафедрами) 803.

Дисциплина нацелена на формирование следующих компетенций: ОК-12.

Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с: представлением о задачах и проблемах, использующих необходимость использования методов анализа и решения ДУ и СДУ.

Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: Лекция, мастер-класс, Практическое занятие.

Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: рубежный контроль в форме Контрольная работа и промежуточная аттестация в форме Экзамен (3 семестр).

Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов. Программой дисциплины предусмотрены лекционные (50 часов), практические (34 часов), лабораторные (0 часов) занятия и (69 часов) самостоятельной работы студента. Дисциплина «Дифференциальные уравнения» относится к циклу математических и естественно - научных дисциплин. Для освоения дисциплины студент должен владеть знаниями, умениями и навыками в объеме школьной программы математики. Содержание дисциплины служит основой для освоения других разделов высшей математики и специальных дисциплин. Цель дисциплины: накопление необходимого запаса сведений по дифференциальным уравнениям (основные определения, теоремы, правила, методы решения практических задач и т.п.), а также освоение соответствующего математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать профессиональные задачи, обеспечивать помощь в усвоении мате-матических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из об-ласти будущей деятельности студентов; развитие логического и алгоритмического мышления.

Приложение 2
к рабочей программе дисциплины
«Дифференциальные уравнения »

Cодержание учебных занятий

1. Лекции

1.1.1. Основные определения. Семейство кривых, зависящее от произвольных постоянных и его ДУ. Начальная задача или задача Коши и краевая задача. (АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Основные определения. Семейство кривых, зависящее от произвольных постоянных и его ДУ. Начальная задача или задача Коши и краевая задача. Основные задачи курса ДУ и основные методы интегрирования ДУ. Геометрический смысл ДУ первого порядка. Поле направлений.

1.1.2. Метод изоклин приближенного построения интегральных кривых ДУ первого порядка. Условия существования и единственности решения ДУ первого порядка. (АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Метод изоклин приближенного построения интегральных кривых ДУ первого порядка. Условия существования и единственности решения ДУ первого порядка. Задача Коши и теоремы Коши для ДУ первого порядка. Следствия из теорем Коши.

1.1.3. Методы интегрирования ДУ 1-го порядка, разрешённых относительно производной: с разделяющимися переменными, однородных ДУ и приводящихся к ним.(АЗ: 2, СРС: 1,76)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Методы интегрирования ДУ 1-го порядка, разрешённых относительно производной: с разделяющимися переменными, однородных ДУ и приводящихся к ним. Интегрирование линейных ДУ методами вариации произвольной постоянной Лагранжа и методом введения двух функций Бернулли. Уравнения Бернулли и Риккати.

1.1.4. ДУ первого порядка в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие ДУ в полных дифференциалах и методы его интегрирования.(АЗ: 2, СРС: 1,76)