rpd000003988 (231300 (01.03.04).Б2 Математическое и компьютерное моделирование в механике), страница 9

б) .

РГР АиАГ 2 сем. 8 фак.doc

расчетно – графическая работа

по алгебре и аналитической геометрии

Факультет № 8 Семестр 2

2007-2008

Во всех задачах – последняя цифра номера группы, – номер студента по списку группы.

1. Образует ли линейное пространство над полем действительных чисел заданное множество с указанными операциями? Если образует, то найти размерность; если она конечна, то найти базис. (Варианты задач указаны ниже)

2. Найти координатный столбец вектора в базисе , если заданы координатный столбец в базисе и формулы, связывающие базисы: , , .

3. Найти линейное преобразование и составить его матрицу относительно стандартного базиса в :

;

;

,

где – остаток от деления числа на 2; – остаток от деления числа на 3.

4. Найти матрицу линейного преобразования в базисе , если оно задано в базисе матрицей , а – матрица перехода от базиса к базису :

, .

5. Задано преобразование трехмерного пространства – множества радиус-векторов с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число со стандартным базисом , , . (Варианты задач указаны ниже)

5.1. Является ли это преобразование инъективным, сюръективным, биективным, обратимым?

5.2. Доказать линейность этого преобразования.

5.3. Найти ядро, образ, дефект, ранг, инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения.

5.4. Составить матрицу этого преобразования относительно стандартного базиса.

6. Линейное преобразование задано в некотором базисе матрицей

а) ;

б) .

Найти жорданову нормальную форму матрицы преобразования и матрицу перехода к жорданову базису.

7. В пространстве многочленов степени не выше второй скалярное произведение задано формулой:

а) ;

б) .

7.1. Найти ортонормированный базис, применяя процесс ортогонализации к стандартному базису: , , .

7.2. Найти ортогональную проекцию элемента пространства на подпространство – многочленов степени не выше первой.

8. Дана квадратичная форма .

8.1. Привести квадратичную форму к каноническому виду

а) методом Лагранжа;

б) методом Якоби;

в) ортогональным преобразованием координат, положив .

8.2. Используя критерий Сильвестра, найти при каких значениях квадратичная форма положительно определена.

Варианты задачи № 1

В1. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов , , со стандартными операциями сложения векторов и умножения вектора на число.

В2. Множество всех упорядоченных наборов из 4 действительных чисел с операциями:

сложения: ;

умножение на число : .

В3. Множество всех нечетных многочленов третьей степени с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число: ; .

В4. Множество всех верхних треугольных матриц третьего порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число:

; .

В5. Множество всех линейных комбинаций функций: , , , , с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число: ; .

В6. Множество всех упорядоченных наборов из 4 действительных чисел с операциями:

сложения: ;

умножение на число : .

В7. Множество всех многочленов степени не выше второй от двух переменных и с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число:

; .

В8. Множество таких квадратных матриц второго порядка, сумма элементов каждой из которых равна нулю, с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число:

; .

В9. Множество всех линейных комбинаций функций: 1, , , , с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число: ; .

В10. Множество всех упорядоченных наборов из 4 действительных чисел с операциями:

сложения: ;

умножение на число : .

В11. Множество всех четных многочленов одной переменной степени меньше или равной 4 с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число: ; .

В12. Множество всех симметрических матриц второго порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число:

; .

В13. Множество всех целых чисел с обычной операцией сложения чисел и с операцией умножения целого числа на действительное число : , где – целая часть числа .

В14. Множество всех непрерывных на функций с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число:

; .

В15. Множество всех кососимметрических матриц третьего порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число:

; .

В16. Множество всех функций , , принимающих положительные значения, с операциями сложения функций и умножения функции на число: ; .

В17. Множество всех сходящихся числовых последовательностей с обычными операциями сложения чисел и умножения на число:

; .

В18. Множество всех определенных на четных функций с операциями сложения функций и умножения функции на число:

; .

В19. Множество всех отрицательных действительных чисел с операциями сложения и умножения на число: ; .

В20. Множество всех таких определенных на функций , для каждой из которых , с операциями сложения функций и умножения функции на число: ; .

Варианты задачи № 5

В1. Ортогональное проектирование на плоскость, содержащую векторы и .

В2. Зеркальное отражение в плоскости, содержащей векторы и .

В3. Поворот на угол вокруг оси, содержащей вектор в направлении от вектора к вектору .

В4. Ортогональное проектирование на ось, содержащую вектор .

В5. Зеркальное отражение в оси, содержащей вектор .

В6. Ортогональное проектирование на плоскость, содержащую векторы и .

В7. Зеркальное отражение в плоскости, содержащей векторы и .

В8. Поворот на угол вокруг оси, содержащей вектор в направлении от вектора к вектору .

В9. Ортогональное проектирование на ось, содержащую вектор .

В10. Зеркальное отражение в оси, содержащей вектор .

В11. Ортогональное проектирование на плоскость, содержащую векторы и .

В12. Зеркальное отражение в плоскости, содержащей векторы и .

В13. Поворот на угол вокруг оси, содержащей вектор в направлении от вектора к вектору .

В14. Ортогональное проектирование на ось, содержащую вектор .

В15. Зеркальное отражение в оси, содержащей вектор .

В16. Ортогональное проектирование на плоскость, содержащую векторы и .

В17. Зеркальное отражение в плоскости, содержащей векторы и .

В18. Поворот на угол вокруг оси, содержащей вектор в направлении от вектора к вектору .

В19. Ортогональное проектирование на ось, содержащую вектор .

В20. Зеркальное отражение в оси, содержащей вектор .

Версия: AAAAAAQvICk Код: 000003988