rpd000014627 (201000 (12.03.04).Б4 Инженерное дело в медико-биологической практике), страница 5

Математический анализ

для очного специалитета по направлению 161101

ТЕМА: представление функций тригонометрическими рядами Фурье

ЗАДАНИЕ

Теоретическая часть

Числовые ряды, функциональные и степенные ряды. Ортонормированная система функций. Ряд Фурье по ортонормированной системе функций. Тригонометрический ряд Фурье для - периодической функции. Теорема Дирихле о сходимости тригонометрического ряда Фурье. Тригонометрический ряд Фурье для - периодической функции. Тригонометрический ряд Фурье для чётной - периодической функции. Тригонометрический ряд Фурье для нечётной - периодической функции. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.

Практическая часть

1. Построить периодическое продолжение с периодом функции, заданной на отрезке .

Проверить достаточные условия разложения.

Найти коэффициенты ряда Фурье и записать разложение. Определить значения разложения в точках разрыва и на концах периодов.

Построить графики:

• 1-й гармоники;

• сумм 1-й и 2-й гармоник;

• сумм 1-й, 2-й и 3-й гармоник;

• суммы первых 10 гармоник.

2. Построить четное продолжение на отрезок функции, заданной на отрезке и продлить функцию периодически.

Проверить достаточные условия разложения - периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.

Найти коэффициенты ряда Фурье и записать разложение. Определить значения разложения в точках разрыва и на концах периодов.

Построить графики:

• 1-й гармоники;

• сумм 1-й и 2-й гармоник;

• сумм 1-й, 2-й и 3-й гармоник;

• суммы первых 5 гармоник.

3. Построить нечетное продолжение на отрезок функции, заданной на отрезке и продлить функцию периодически.

Проверить достаточные условия разложения - периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.

Найти коэффициенты ряда Фурье и записать разложение. Определить значения разложения в точках разрыва и на концах периодов.

Построить графики:

• 1-й гармоники;

• сумм 1-й и 2-й гармоник;

• сумм 1-й, 2-й и 3-й гармоник;

• суммы первых 10 гармоник.

ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

Курсовая работа

по математическому анализу

Вариант № …

Выполнил: студент гр. 30-10… С

.………………………………

Проверил:

………………………………….

Москва 2011/12 уч. год

КР_1_4.doc

Вариант

1. Найти , если .

2. На поверхности найти точку, в которой нормаль параллельна прямой .

3. Найти угол между градиентами скалярных полей , в точке .

4. Исследовать на экстремум функцию .

5. Исследовать на экстремум функцию , если .

===============================================================

Вариант

1. Найти для функции, заданной неявно уравнением .

2. Найти уравнение плоскости, касающейся поверхности в точках пересечения последней с прямой .

3. В каком направлении производная функции в точке будет наибольшей? Найти эту производную.

4. Исследовать на экстремум функцию , .

5. Исследовать на экстремум функцию , если .

КР_1_5.doc

Вариант

1. Найти статический момент относительно оси Ox фигуры, ограниченной линиями , если .

2. Найти массу тела, ограниченного поверхностями , если плотность .

3. Найти аппликату центра тяжести первого витка винтовой линии , если .

4. Найти площадь части поверхности S: ,

----------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант

1. Найти момент инерции относительно оси Ox однородной фигуры, ограниченной линиями .

2. Вычислить массу однородного тела, ограниченного поверхностями .

3. Найти статический момент относительно плоскости Oxy отрезка прямой , , если .

4. Найти площадь части поверхности , .

КР_1_6.doc

Вариант

1. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура ABC c вершинами , , (вершины указаны в порядке обхода).

2. Найти поток векторного поля по внутренней стороне части плоскости , заключенной между плоскостями координат.

3. Разложить в ряд по степеням (до ) функцию .

4. Найти область сходимости ряда .

5. Разложить в ряд Фурье функцию на интервале .

===========================================================

Вариант

1. Найти работу векторного поля по дуге окружности в направлении от точки к точке .

2. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону части цилиндрической поверхности , отсеченной плоскостями .

3. Разложить в ряд по степеням (до ) функцию .

4. Найти область сходимости ряда .

5. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию .

==============================================================

Экзамен (1 семестр).doc

Промежуточная аттестация №1

Экзамен (1 семестр)

Семестр:

Вид контроля:

Вопросы:

1. Общее определение функции. График функции. Способы задания. Специальные способы задания функций (сложная, параметрически заданная функция, обратная функция).

2. Предел числовой последовательности. теорема об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел. Теорема о единственности предела.

3. Предел числовой последовательности. Теорема об арифметических операциях над пределами теорема о предельном переходе в неравенствах

4. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности

5. Конечный предел функции f(x), односторонние пределы

6. Бесконечный предел функции. Положительная и отрицательная бесконечно большие функции.

7. Ограниченная функция. Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел. Теорема о единственности предела.

8. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение бесконечно малых функций

9. Теорема о связи функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функции. Теоремы о предельном переходе в неравенствах.

10. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства.

11. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций. Сформулировать свойства бесконечно больших функций.

12. Сформулировать и доказать первый замечательный предел. Сформулировать второй замечательный предел

13. Непрерывность функций скалярного аргумента в точке, односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции f(x) и их классификация.

14. Свойства скалярных функций, непрерывных в точке.

15. Сформулировать теоремы о непрерывности сложной и обратной функций.

16. Непрерывность функции в области, свойства функций, непрерывных на отрезке.

17. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Непрерывность элементарных функций.

18. Производная функции f(x). Геометрический и механический смысл.

19. Уравнения касательной и нормали к линии.

20. Производная функции f(x). Необходимое условие существования производной

21. Основные правила дифференцирования

22. Производная сложной и обратной функции. Логарифмическая производная.

23. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков функции.

24. Дифференциал функции. Свойства.

25. Теоремы Ролля, Лагранжа.

26. Теорема Коши. Правило Лопиталя

27. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

28. Разложение по формуле Маклорена элементарных функций. Вывести формулу для одной из них.

29. Монотонность и экстремум функций. Необходимый признак экстремума

30. Локальный экстремум функций Достаточный признак экстремума по первой производной.

31. Локальный экстремум функций. Сформулировать достаточный признак экстремума по производным высших порядков. Доказать достаточный признак экстремума по второй производной..

32. Выпуклость, вогнутость графика функции, точка перегиба. Достаточное условие выпуклости. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.

33. Асимптоты графика функции. Необходимое и достаточное условие существования асимптот.

34. Первообразная и ее свойства. Формулировка теоремы существования.

35. Неопределенный интеграл, его свойства.

36. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

37. Интегрирование рациональных дробей.

38. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

39. Условия существования и геометрический смысл определенного интеграла.

40. Определенный интеграл. Свойства. Теорема о среднем.

41. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность, дифференцирование. Связь с неопределенным интегралом.

42. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

43. Несобственные интегралы от непрерывных функций на бесконечном промежутке и от неограниченных функций. Основные определения, свойства. Обобщенные формулы Ньютона-Лейбница.

44. Несобственные интегралы от неотрицательных функций Признаки сравнения.

45. Абсолютная и условная сходимости несобственного интегралы от непрерывной функции.

46. Главное значение расходящегося несобственного интеграла.

Экзамен (2 семестр).doc

Промежуточная аттестация №2

Экзамен (2 семестр)

Семестр: