rpd000014627 (201000 (12.03.04).Б2 Биотехнические и медицинские аппараты и системы), страница 5

Математический анализ

для очного специалитета по направлению 161101

ТЕМА: представление функций тригонометрическими рядами Фурье

ЗАДАНИЕ

Теоретическая часть

Числовые ряды, функциональные и степенные ряды. Ортонормированная система функций. Ряд Фурье по ортонормированной системе функций. Тригонометрический ряд Фурье для - периодической функции. Теорема Дирихле о сходимости тригонометрического ряда Фурье. Тригонометрический ряд Фурье для - периодической функции. Тригонометрический ряд Фурье для чётной - периодической функции. Тригонометрический ряд Фурье для нечётной - периодической функции. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.

Практическая часть

1. Построить периодическое продолжение с периодом функции, заданной на отрезке .

Проверить достаточные условия разложения.

Найти коэффициенты ряда Фурье и записать разложение. Определить значения разложения в точках разрыва и на концах периодов.

Построить графики:

• 1-й гармоники;

• сумм 1-й и 2-й гармоник;

• сумм 1-й, 2-й и 3-й гармоник;

• суммы первых 10 гармоник.

2. Построить четное продолжение на отрезок функции, заданной на отрезке и продлить функцию периодически.

Проверить достаточные условия разложения - периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.

Найти коэффициенты ряда Фурье и записать разложение. Определить значения разложения в точках разрыва и на концах периодов.

Построить графики:

• 1-й гармоники;

• сумм 1-й и 2-й гармоник;

• сумм 1-й, 2-й и 3-й гармоник;

• суммы первых 5 гармоник.

3. Построить нечетное продолжение на отрезок функции, заданной на отрезке и продлить функцию периодически.

Проверить достаточные условия разложения - периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.

Найти коэффициенты ряда Фурье и записать разложение. Определить значения разложения в точках разрыва и на концах периодов.

Построить графики:

• 1-й гармоники;

• сумм 1-й и 2-й гармоник;

• сумм 1-й, 2-й и 3-й гармоник;

• суммы первых 10 гармоник.

Вариант №

Вариант №

ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

Курсовая работа

по математическому анализу

Вариант № …

Выполнил: студент гр. 30-10… С

.………………………………

Проверил:

………………………………….

Москва 2011/12 уч. год

КР_1_4.doc

Вариант

1. Найти , если .

2. На поверхности найти точку, в которой нормаль параллельна прямой .

3. Найти угол между градиентами скалярных полей , в точке .

4. Исследовать на экстремум функцию .

5. Исследовать на экстремум функцию , если .

===============================================================

Вариант

1. Найти для функции, заданной неявно уравнением .

2. Найти уравнение плоскости, касающейся поверхности в точках пересечения последней с прямой .

3. В каком направлении производная функции в точке будет наибольшей? Найти эту производную.

4. Исследовать на экстремум функцию , .

5. Исследовать на экстремум функцию , если .

КР_1_5.doc

Вариант

1. Найти статический момент относительно оси Ox фигуры, ограниченной линиями , если .

2. Найти массу тела, ограниченного поверхностями , если плотность .

3. Найти аппликату центра тяжести первого витка винтовой линии , если .

4. Найти площадь части поверхности S: ,

----------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант

1. Найти момент инерции относительно оси Ox однородной фигуры, ограниченной линиями .

2. Вычислить массу однородного тела, ограниченного поверхностями .

3. Найти статический момент относительно плоскости Oxy отрезка прямой , , если .

4. Найти площадь части поверхности , .

КР_1_6.doc

Вариант

1. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура ABC c вершинами , , (вершины указаны в порядке обхода).

2. Найти поток векторного поля по внутренней стороне части плоскости , заключенной между плоскостями координат.

3. Разложить в ряд по степеням (до ) функцию .

4. Найти область сходимости ряда .

5. Разложить в ряд Фурье функцию на интервале .

===========================================================

Вариант

1. Найти работу векторного поля по дуге окружности в направлении от точки к точке .

2. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону части цилиндрической поверхности , отсеченной плоскостями .

3. Разложить в ряд по степеням (до ) функцию .

4. Найти область сходимости ряда .

5. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию .

==============================================================

Экзамен (1 семестр).doc

Промежуточная аттестация №1

Экзамен (1 семестр)

Семестр:

Вид контроля:

Вопросы:

1. Общее определение функции. График функции. Способы задания. Специальные способы задания функций (сложная, параметрически заданная функция, обратная функция).

2. Предел числовой последовательности. теорема об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел. Теорема о единственности предела.

3. Предел числовой последовательности. Теорема об арифметических операциях над пределами теорема о предельном переходе в неравенствах

4. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности

5. Конечный предел функции f(x), односторонние пределы

6. Бесконечный предел функции. Положительная и отрицательная бесконечно большие функции.

7. Ограниченная функция. Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел. Теорема о единственности предела.

8. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение бесконечно малых функций

9. Теорема о связи функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функции. Теоремы о предельном переходе в неравенствах.

10. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства.

11. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций. Сформулировать свойства бесконечно больших функций.

12. Сформулировать и доказать первый замечательный предел. Сформулировать второй замечательный предел

13. Непрерывность функций скалярного аргумента в точке, односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции f(x) и их классификация.

14. Свойства скалярных функций, непрерывных в точке.

15. Сформулировать теоремы о непрерывности сложной и обратной функций.

16. Непрерывность функции в области, свойства функций, непрерывных на отрезке.

17. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Непрерывность элементарных функций.

18. Производная функции f(x). Геометрический и механический смысл.

19. Уравнения касательной и нормали к линии.

20. Производная функции f(x). Необходимое условие существования производной

21. Основные правила дифференцирования

22. Производная сложной и обратной функции. Логарифмическая производная.

23. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков функции.

24. Дифференциал функции. Свойства.

25. Теоремы Ролля, Лагранжа.

26. Теорема Коши. Правило Лопиталя

27. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

28. Разложение по формуле Маклорена элементарных функций. Вывести формулу для одной из них.

29. Монотонность и экстремум функций. Необходимый признак экстремума

30. Локальный экстремум функций Достаточный признак экстремума по первой производной.

31. Локальный экстремум функций. Сформулировать достаточный признак экстремума по производным высших порядков. Доказать достаточный признак экстремума по второй производной..

32. Выпуклость, вогнутость графика функции, точка перегиба. Достаточное условие выпуклости. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.

33. Асимптоты графика функции. Необходимое и достаточное условие существования асимптот.

34. Первообразная и ее свойства. Формулировка теоремы существования.

35. Неопределенный интеграл, его свойства.

36. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

37. Интегрирование рациональных дробей.

38. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

39. Условия существования и геометрический смысл определенного интеграла.

40. Определенный интеграл. Свойства. Теорема о среднем.

41. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность, дифференцирование. Связь с неопределенным интегралом.

42. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

43. Несобственные интегралы от непрерывных функций на бесконечном промежутке и от неограниченных функций. Основные определения, свойства. Обобщенные формулы Ньютона-Лейбница.

44. Несобственные интегралы от неотрицательных функций Признаки сравнения.

45. Абсолютная и условная сходимости несобственного интегралы от непрерывной функции.

46. Главное значение расходящегося несобственного интеграла.

Экзамен (2 семестр).doc

Промежуточная аттестация №2

Экзамен (2 семестр)

Семестр:

Вид контроля:

Вопросы:

1. Дать определение функции двух и более переменных, области определения, линии уровня. Дать определение предела функции двух и более переменных.

2. Непрерывность функции нескольких переменных.

3. Дать определение частных производных.

4. Определить и вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

5. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Теорема о необходимых условиях дифференцируемости.(вывод)

6. Теорема о достаточном условии дифференцируемости функции двух переменных (формулировка).

7. Дать определение полного дифференциала функции нескольких переменных. Пояснить геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

8. Теоремы о производной сложной функции.(вывод)

9. Инвариантность формы записи дифференциала (вывод). Свойства дифференциала.

10. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (без доказательства).

11. Дать определение производных и дифференциалов высших порядков. Вывести формулу дифференциала второго порядка для функции двух переменных.

12. Формула Тейлора для функции двух переменных (без вывода).

13. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент (дать определения, вывести формулу для вычисления производной по направлению

14. Градиент и его свойства. Свойства доказать.

15. Неявные функции (определение). Достаточное условие существования неявной функции (без доказательства). Вывести формулы для производных неявно заданных функций двух и трех переменных.

16. Вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (или кривой), заданной неявно.

17. Экстремумы функций нескольких переменных (определение). Теорема о необходимом условии экстремума (доказать).

18. Экстремумы функций нескольких переменных (определение). Достаточное условие экстремума ( без доказательства).

19. Условный экстремум. Нахождение условного экстремума методом исключения переменных.

20. Условный экстремум. Обосновать и описать метод Лагранжа.

21. Интеграл по мере. Определение интеграла по мере как предела интегральных сумм.

22. Теоремы о существовании интеграла по мере, свойства интегралов по мере (сформулировать).

23. Обобщенная теорема о среднем (доказать).

24. Двойной интеграл. Необходимое условие существования. Достаточное условие существования. Теорема о существовании и вычислении двойного интеграла (только формулировки).

25. Нахождение массы плоского тела, статических моментов и моментов инерции, координат центра тяжести.

26. Вычисление площади гладкой поверхности с помощью двойного интеграла (вывод).

27. Якобиан отображения. Геометрический смысл модуля якобиана отображения (с выводом).

28. Теорема о замене переменных в двойном интеграле (вывод). Переход к полярным координатам в двойном интеграле (вывод).

29. Тройной интеграл. Теорема о существовании и вычислении тройного интеграла (без доказательства). Механические приложения тройного интеграла.

30. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам (вывод).

31. Криволинейный интеграл первого рода. Определение. Теорема о существовании.(без доказательства) Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

32. Поверхностный интеграл первого рода. Определение. Теорема о существовании (без доказательства)

33. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

34. Числовые ряды. Основные определения, свойства.

35. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов.

36. Признак сравнения (доказательство) и предельный признак сравнения (без доказательства) для рядов с неотрицательными членами.

37. Предельные признаки Коши и Даламбера для рядов с неотрицательными членами (доказательство одного признака).

38. Знакопеременные числовые ряды. Признак Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.

39. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признаки Коши, Даламбера для знакопеременных рядов (доказательство одного из них).

40. Функциональный ряд. Сходимость, равномерная сходимость, область сходимости. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов (формулировки).

41. Степенной ряд. Теорема Абеля (доказательство). Следствие. Область сходимости степенного ряда.

42. Теоремы о равномерной сходимости, непрерывности суммы, интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Следствия о бесконечной дифференцируемости сходящегося степенного ряда (формулировки).

43. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора, теорема единственности (вывод).

44. Теорема о разложимости функции в ряд Тейлора.( с выводом) Основные разложения. Операции над степенными рядами.

45. Свойства периодических функций.

46. Ортогональные системы функций и их свойства. Ортонормированные системы.

47. Система ортогональных функций. Система ортонормированных функций. Ряд Фурье по любой системе ортогональных функций.

48. Тригонометрический ряд. Определение коэффициентов тригонометрического ряда.

49. Ряд Фурье. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье (без доказательства). Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке .

50. Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций.

51. Разложение в ряд Фурье по синусам или по косинусам. Тригонометрический ряд Фурье для непериодической функции.

25