rpd000004568 (160700 (24.03.05).Б2 Авиационные силовые установки), страница 3
Описание файла
Файл "rpd000004568" внутри архива находится в следующих папках: 160700 (24.03.05).Б2 Авиационные силовые установки, 160700.Б2. Документ из архива "160700 (24.03.05).Б2 Авиационные силовые установки", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вспомогательные материалы для первокурсников" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "вспомогательные материалы для первокурсников" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "rpd000004568"
Текст 3 страницы из документа "rpd000004568"
Решение краевых задач для ОДУ методом конечных разностей. Процедура Рунге-Ромберга оценки погрешности решения краевой задачи для ОДУ.
-
Практические занятия
1.1.1. Нормы векторов и матриц. Обусловленность матриц.(АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice1.doc
1.1.2. Прямые методы решения СЛАУ(АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice2.doc
1.1.3. Итерационные методы решения СЛАУ (АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice3.doc
1.1.4. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц(АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice4.doc
1.2.5. Решение нелинейных уравнений(АЗ: 2, СРС: 4)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice5.doc
1.2.6. Решение систем нелинейных уравнений (АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice6.doc
1.3.7. Полиномиальная интерполяция(АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice7.doc
1.3.8. Интерполяция сплайнами (АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice8.doc
1.3.9. Аппроксимация методом наименьших квадратов (АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice9.doc
1.3.10. Численное дифференцирование (АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice10.doc
1.3.11. Численное интегрирование (АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice11.doc
1.4.12. Одношаговые методы решения задачи Коши для ОДУ (АЗ: 4, СРС: 4)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice12.doc
1.4.13. Решение задачи Коши для систем ОДУ (АЗ: 2, СРС: 4)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice13.doc
1.4.14. Многошаговые методы решения задачи Коши для ОДУ (АЗ: 2, СРС: 2)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice14.doc
1.4.15. Решение краевых задач для ОДУ методом стрельбы (АЗ: 2, СРС: 4)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice15.doc
1.4.16. Решение краевых задач для ОДУ методом конечных разностей(АЗ: 2, СРС: 4)
Форма организации: Практическое занятие
Прикрепленные файлы: Practice16.doc
-
Лабораторные работы
-
Типовые задания
Приложение 3
к рабочей программе дисциплины
«Численные методы »
Прикрепленные файлы
Practice2.doc
Практическое занятие 2. Прямые методы решения СЛАУ. (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 2).
Пример 1. Методом Гаусса решить СЛАУ.
Р е ш е н и е.
Прямой ход:
Обратный ход:
Пример 2. Методом Гаусса вычислить определитель матрицы и обратить матрицу СЛАУ из примера 1.1.
Р е ш е н и е.
Прямой ход.
Обратный ход:
т.е. с точностью до ошибок округления получена единичная матрица.
Пример 3. Методом прогонки решить СЛАУ
Р е ш е н и е.
Practice4.doc
Практическое занятие 4. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 4).
Пример 1. С точностью вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы
Р е ш е н и е.
1). Выбираем максимальный по модулю внедиагональный элемент матрицы , т.е. находим , такой что = . Им является элемент .
2). Находим соответствующую этому элементу матрицу вращения:
В полученной матрице с точностью до ошибок округления элемент .
, следовательно итерационный процесс необходимо продолжить.
Переходим к следующей итерации :
Переходим к следующей итерации
Таким образом в качестве искомых собственных значений могут быть приняты диагональные элементы матрицы :
Собственные векторы определяются из произведения
Полученные собственные векторы ортогональны в пределах заданной точности, т.е.
Пример 2.
Вычислить спектральный радиус матрицы с точностью .
В качестве начального приближения собственного вектора возьмем .
Реализуем итерационный процесс (1.26, лекции), полагая .
Таким образом, полученное на 4-ой итерации значение =6,9559 удовлетворяет заданной точности и может быть взято в качестве приближенного значения . Искомое значение спектрального радиуса = 6,9559.
Practice1.doc
Практическое занятие 1. Нормы векторов и матриц. Обусловленность матриц (2 ч, СРС – 1 ч, лекция 1).
Пример 1.
Для матрицы и вектора вычислить различные нормы . Проверить выполнение условия согласованности норм для различных комбинаций норм. Вычислить число обусловленности матрицы .
Решение.
Вычислим соответствующие нормы:
Для проверки условия согласованности вычислим различные нормы вектора .
Легко убедиться в том, что условие согласованности выполняется для согласованных норм:
Кроме того, известно что матричная норма согласована со всеми введенными выше нормами векторов. В данном примере это подтверждается выполнением неравенств:
В то же время использование ряда других комбинаций норм матрицы и вектора приводит в данном случае к нарушению условия согласованности:
Рассмотренный пример наглядно иллюстрирует важность использования согласованных норм матрицы и вектора.
Вычислим число обусловленности матрицы , взяв в качестве нормы матрицы . Для этого найдем сначала обратную матрицу:
и вычислим ее норму:
В результате
Practice3.doc
Практическое занятие 3. Итерационные методы решения СЛАУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 3).
Пример 1. Методом простых итераций с точностью решить СЛАУ.
Р е ш е н и е.
Приведем СЛАУ к эквивалентному виду:
, следовательно достаточное условие сходимости метода простых итераций выполнено.
Итерационный процесс выглядит следующим образом.
Таким образом, вычислительный процесс завершен за 4 итерации. Отметим, что точное решение исходной СЛАУ в данном случае известно . Отсюда следует, что заданной точности удовлетворяло решение, полученное уже на третьей итерации. Но в силу использования для вычисления погрешности оценочного выражения (1.20) (видно, что в данном случае , при этом , хотя ) процесс останавливается только на четвертой итерации.
Отметим также, что априорная оценка необходимого количества итераций в данной задаче дает: , т.е. для достижения точности , согласно априорной оценке, необходимо сделать не менее пяти итераций, что иллюстрирует характерную для априорной оценки тенденцию к завышению числа итераций.
Пример 2. Методом Зейделя решить СЛАУ из примера 1.
Р е ш е н и е.
Приведение СЛАУ к эквивалентному виду аналогично примеру (1.5). Диагональное преобладание элементов исходной матрицы СЛАУ гарантирует сходимость метода Зейделя.
Итерационный процесс выглядит следующим образом:
Таким образом, уже на второй итерации погрешность , т.е. метод Зейделя в данном случае сходится быстрее метода простых итераций.
Practice6.doc
Практическое занятие 6. Решение систем нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 6).
Пример 1. Методом Ньютона найти положительное решение системы нелинейных уравнений
Решение. Для выбора начального приближения применяем графический способ. Построив на плоскости в интересующей нас области кривые и , определяем, что положительное решение системы уравнений находится в квадрате .
За начальное приближение примем .
Для системы двух уравнений расчетные формулы удобно записать в виде разрешенном относительно ,
В рассматриваемом примере:
Подставляя в правые части соотношений выбранные значения , получим приближение , используемое, в свою очередь, для нахождения . Итерации продолжаются до выполнения условия , где
Результаты вычислений содержатся в таблице.
k | ||||||||
0 | 0.25000 0.75000 | 0.06875 0.04375 | 1.01250 0.02500 | 0.30000 0.97500 | 0.05391 | 0.04258 | 0.97969 | |
1 | 0.19498 0.70654 | -0.00138 0.00037 | 1.00760 0.00734 | 0.28262 0.98050 | -0.00146 | 0.00038 | 0.98588 | |
2 | 0.19646 0.70615 | 0.00005 0.00000 | 1.00772 0.00797 | 0.28246 0.98035 | 0.00005 | 0.00000 | 0.98567 | |
3 | 0.19641 0.70615 |
Пример 2. Найти положительное решение системы из примера 1 методом простой итерации с точностью .