rpd000002867 (010400 (01.03.02).Б1 Информатика), страница 3

Прикрепленные файлы:

Типовые варианты:

-Численное решение дифференциальных уравнений с нелинейными и разрывными коэффициентами.

-Решение уравнений математической физики в сложных областях методом погруженной границы с фиктивными ячейками.

-Решение уравнений математической физики в сложных областях методом фиктивных областей.

-Решение уравнений математической физики в сложных областях методом конечных элементов.

-Численное решение уравнения переноса с использованием TVD – монотонизированных схем.

-Численное решение гиперболических систем с использованием сеточно-характеристического метода.

-Численное решение гиперболических систем с использованием TVD – монотонизированных схем.

-Численное решение нестационарного уравнения конвекции – диффузии с использованием расщепления по физическим процессам.

-Численное решение задачи Стефана. Реализация алгоритмов работы с подвижными границами.

-Численное решение интегральных уравнений Вольтерра 1-го и 2-го рода.

-Численное решение интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода.

-Численное исследование нелинейных динамических систем. Нахождение и анализ аттракторов. Построение бифуркационной диаграммы.

-Численное решение жестких систем ОДУ.

-Вычисление многократных интегралов с использованием квадратурных формул и метода Монте-Карло.

-Интерполяция экспоненциальными сплайнами.

1. Рубежный контроль

1. Промежуточная аттестация

1. Экзамен (6 семестр)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Норма матрицы и вектора. Согласованность норм. Понятие обусловленности СЛАУ.

2.Метод Гаусса решения СЛАУ. LU – разложение матриц. Метод Гаусса с выбором ведущего элемента. Матрица перестановок.

3.Вычисление обратной матрицы с использованием метода Гаусса.

4.Метод прогонки решения СЛАУ.

5.Метод простых итераций решения СЛАУ. Достаточное условие сходимости. Погрешность решения.

6.Метод Зейделя решения СЛАУ.

7.Собственные значения и собственные векторы матриц, подобные преобразования для произвольных и симметричных матриц.

8.Оценка спектрального радиуса степенным методом.

9.Метод вращения нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

10.QR-алгоритм нахождения собственных значений матриц.

11.Нелинейные уравнения. Основные этапы нахождения корней. Метод половинного деления, погрешность.

12.Метод простых итераций решения нелинейных уравнений, погрешность, геометрический смысл. Достаточное условие сходимости.

13.Метод Ньютона решения нелинейных уравнений, погрешность, геометрический смысл.

14.Метод секущих решения нелинейных уравнений, погрешность, геометрический смысл.

15.Метод простых итераций и метод Зейделя решения систем нелинейных уравнений.

16.Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений. Модификации метода Ньютона.

17.Общая характеристика задач и методов приближения таблично заданных функций. Единственность интерполяционного полинома.

18.Интерполяционные полиномы в форме Лагранжа и форме Ньютона. Погрешность.

19.Интерполяция сплайнами. Построение кубических сплайнов.

20.Тригонометрическая интерполяция.

21.Метод наименьших квадратов.

22.Численное дифференцирование. Основные формулы. Оценка погрешности.

23.Численное интегрирование. Формулы прямоугольников и трапеций. Погрешности.

24.Численное интегрирование. Формула Симпсона. Погрешность.

25.Процедура Рунге-Ромберга оценки погрешности численного интегрирования.

26.Постановка задачи Коши для ОДУ и систем ОДУ. Метод Эйлера.

27.Модификации метода Эйлера решения задачи Коши для ОДУ и систем ОДУ.

28.Семейство методов Рунге-Кутта. Метод Рунге-Кутта IV порядка.

29.Многошаговые методы. Семейство методов Адамса решения задачи Коши для ОДУ.

30.Неявные методы решения задачи Коши для ОДУ и систем ОДУ.

31.Жесткие системы ОДУ. Методы решения.

32.Постановка краевых задач для ОДУ. Численные методы решения.

33.Решение краевых задач для ОДУ методом стрельбы.

34.Решение краевых задач для ОДУ методом конечных разностей.

35.Процедура Рунге-Ромберга оценки погрешности решения краевой задачи для ОДУ.

36.Основные этапы решения уравнений в частных производных конечно-разностным методом.

37.Постановка начально-краевых задач для уравнения теплопроводности. Основные разностные схемы.

38.Постановка начально-краевых задач для волнового уравнения. Основные разностные схемы.

39.Постановка Постановка краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона. Конечно-разностная аппроксимация. Метод Либмана.

40.Понятие об аппроксимации, сходимости и устойчивости разностных схем.Основная теорема о сходимости разностных схем.

41.Понятие о явных и неявных разностных схемах. Примеры.

42.Методы исследования устойчивости разностных схем.

43.Исследование устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности.

44.Исследование устойчивости разностных схем для волнового уравнения.

45.Исследование устойчивости разностных схем для уравнения переноса.

46.Постановка многомерных начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.Конечно-разностная аппроксимация.

47.Методы переменных направлений и дробных шагов решения многомерных задач.

48.Метод установления.

2. Экзамен (7 семестр)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Постановка задач для уравнений параболического типа. Явные и неявные разностные схемы. Двухслойные схемы с весами.

2.Анализ аппроксимации и устойчивости. Вопросы аппроксимации граничных условий.

3.Консервативность разностных схем. Задачи с переменными и разрывными коэффициентами. Интегро – интерполяционный метод построения дискретного аналога.

4.Метод контрольного объема. Методы решения нелинейных задач.

5.Нестационарное уравнение конвекции – диффузии с источниковым слагаемым. Особенности решения. Расщепление по физическим процессам.

6.Нелинейные и квазилинейные уравнения. Уравнение Бюргерса.

7.Методы покоординатного расщепления. Метод переменных направлений и метод дробных шагов (локально-одномерный метод).

8.Экономичность методов расщепления. Методы расщепления для уравнений, содержащих смешанные производные.

9.Метод переменных направлений с экстраполяцией В.Ф. Формалева.

10.Постановка задач для уравнений гиперболического типа. Явные и неявные разностные схемы. Анализ аппроксимации и устойчивости. Условие Куранта-Фридрихса-Леви.

11.Линейное уравнение переноса (адвекции). Противопоточная разностная схема. Схемная диссипация. Первое дифференциальное приближение разностной схемы.

12.Схемы второго порядка по пространственной координате. Схемная дисперсия. Фазовые и амплитудные ошибки численного решения.

13.Потоковая форма представления разностных схем. Проблема восстановления потоков на гранях контрольного объема.

14.Задача о распаде произвольного разрыва. Схемы С.К. Годунова.

15.Свойство монотонности разностных схем. TVD – монотонизация схем второго порядка.

16.Постановка задач для гиперболических систем. Характеристические свойства систем. Инварианты Римана. Сеточно – характеристические методы.

17.Применение метода контрольного объема. Использование точного и приближенного решения задачи Римана. Схема Куранта-Изаксона-Риса. TVD – подход.

18.Постановка задач для уравнений эллиптического типа. Уравнения Лапласа и Пуассона. Аппроксимация уравнений с помощью центральных разностей.

19.Структура дискретного аналога. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Спектральные методы решения дискретного аналога.

20.Методы простых итераций и Гаусса-Зейделя.

21.Релаксационные методы. Итерации с параметром. Чебышевское ускорение итераций. Попеременно - треугольный итерационный метод.

22.Метод переменных направлений. Итерационные методы вариационного типа. Метод сопряженных градиентов. Метод бисопряженных градиентов для несимметричных матриц.

23.Понятие о многосеточных методах. Многосеточные методы.

24.Ступенчатая аппроксимация границы. Алгоритмы одномерной интерполяции. Метод скошенных ячеек.

25.Метод фиктивных областей. Методы погруженной границы. Неявный метод погруженной границы с фиктивными ячейками.

26.Криволинейные ортогональные и неортогональные сетки. Адаптация к границам области и особенностям решения. Преобразования координат.

27.Структурированные, неструктурированные и гибридные сетки. Подвижные сетки. Методы построения адаптивных сеток.

28.Принципы разбиения плоских областей на конечные элементы. Аппроксимация линейными многочленами и базисные функции. Методы взвешенных невязок. Весовые функции.

29.Конечно - элементный метод Галеркина. Слабая формулировка конечно-элементного метода. Ансамблирование элементов и построение глобальной СЛАУ.

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а)основная литература:

1. Пирумов У.Г. Численные методы: Учебное пособие для студ. втузов. – М.: Дрофа, 2007.

2. В.Ю.Гидаспов, И.Э.Иванов, Д.Л.Ревизников, В.Ю.Стрельцов, В.Ф.Формалев.

Под редакцией У.Г.Пирумова. Численные методы. Сборник задач. – М.: Дрофа, 2007.

3. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: Физматлит, 2004.

4. И.Б. Петров, А.И. Лобанов. Лекции по вычислительной математике. – М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

5. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002.

б)дополнительная литература:

1. В.В. Воеводин, Вл.В. Воеводин. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. – СПб.: БХВ_Петербург, 2006.

2. Каханер. Д, Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 1998.

3. Дж. Деммель. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. – М.: Мир, 2001

4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. – М.: Эдиториал УРСС, 1999.

5. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. – М.: Физматлит, 2001.

6. Б.М. Павлов, М.Д. Новиков. Автоматизированный практикум по нелинейной динамике (синергетике). – М.: МГУ, 2006.

7. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. – М.: Физматлит, 2002.

8. Винников В.В., Ревизников Д.Л. Компьютерный практикум по численному решению задач математической физики в областях с криволинейными границами.

// Межвуз. сборник «Информационные технологии и программирование», Выпуск 1 (13), М: МГИУ, 2005.

в)программное обеспечение, Интернет-ресурсы, электронные библиотечные системы:

Лекционный материал излагается с использованием доски, ноутбука и мультимедийного проектора.

Демонстрация и разбор характерных примеров производится с помощью разработанного на кафедре

"Вычислительной математики и программирования" МАИ интерактивного компьютерного практикума по Численным методам.

Лабораторные работы проводятся в компьютерном классе, оснащенном необходимым количеством персональных компьютеров

(в настоящее время используется компьютерная сеть из 24 компьютеров с процессорами Intel Celeron 4) с соответствующим

программным обеспечением (в настоящее время MS Windows, MS Visual Studio). Выполнение ряда курсовых работ осуществляется

с использованием высокопроизводительных рабочих станций (в настоящее время 8-ми процессорный кластер кафедры).

1. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1.Компьютезированная аудитория для лекций с проектором.

2.Набор виртуальных машин с программным обеспечением под дидактические единицы дисциплины.

3.Сервер виртуализации, обеспечивающий работу виртуальных машин.

4.Высокоскоростные каналы связи в локальной вычислительной сети.

Приложение 1
к рабочей программе дисциплины
«Численные методы »

Аннотация рабочей программы

Дисциплина Численные методы является частью Профессионального цикла дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки Прикладная математика и информатика. Дисциплина реализуется на 8 факультете «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» кафедрой (кафедрами) 806.

Дисциплина нацелена на формирование следующих компетенций: ПК-1 ,ПК-3 ,ПК-7.

Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с: основными численными методами и алгоритмами решения задач линейной алгебры, нелинейных уравнений и систем уравнений, приближения функций, численного дифференцирования и интегрирования, обыкновенных дифференциальных уравнений.

Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: Лекция, мастер-класс, Практическое занятие, Лабораторная работа.

Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: промежуточная аттестация в форме Экзамен (6 семестр) ,Экзамен (7 семестр).

Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов. Программой дисциплины предусмотрены лекционные (42 часов), практические (26 часов), лабораторные (36 часов) занятия и (58 часов) самостоятельной работы студента. Целями дисциплины являются обучение студентов классическим и современным методам вычислительной математики,

навыкам разработки вычислительных алгоритмов и программ на современных вычислительных комплексах. В рамках

курсовой работы студенты знакомятся с основами численного моделирования и вычислительного эксперимента применительно

к различным прикладным задачам.

Задачами дисциплины являются освоение студентами численных методов линейной и общей

алгебры, методов интерполяции и аппроксимации, численного дифференцирования и интегрирования, численных методов решения

задачи Коши и краевых задач для ОДУ, численных методов решения задач математической физики, а также овладение студентами