Курс_ИОиТПР_Комолов_АВ (Курс лекций Исследование операций и теория принятия решений), страница 2

Из этих величин составляется столбец совокупных материаль­ных затрат в сфере производства:

Матрица материальных затрат А ≥ 0 называется продуктивной, если найдется такой столбец выпуска х > 0, для которого выпол­няется неравенство

Ах < х.

Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим рабо­ты отраслей данной экономической системы, при котором каждого продукта выпускается больше, чем затра­чивается на его производ­ство. Другими словами, при этом режиме сфера производства созда­ет положительный столбец прибавочного (конечного) продукта:

х - Ах > О.

Возникает естественный вопрос: как следует поступить, чтобы сравнительно неслож­ным путем и как можно раньше выяснить, является ли предъявленная матрица материаль­ных затрат исследуе­мой сферы производства продуктивной или, напротив, производство убыточно и совокупные материальные затраты превышают объем выпуска?

Справедлив следующий общий факт.

ТЕОРЕМА. Для любой неотрицательной квадратной матрицы А ≥ 0 формулируе­мые ниже условия равносильны.

1. Матрица А продуктивна.

2. Для любого столбца с > 0 существует, и притом ровно один,
   столбец выпуска х > 0 такой, что

х — Ах = с.

(3) Столбец выпуска х > 0, совокупные затраты на создание которого удовлетворяют условию

Ах ≥ х,

не существует.

(4) Наибольшее собственное значение матрицы А удовлетворяет неравенству

λ_А = λ_max < 1.

Сказанное выше означает, что при выполнении хотя бы одного из этих условий выпол­няются и три остальных. В частности, выполне­ние неравенства

λ_А < 1.

позволяет утверждать, что матрица продуктивна.

В приводимых ниже примерах мы ограничимся рассмотрением случая, когда п = 2, т. е. сфера производства экономической систе­мы состоит из двух отраслей.

П
ример 1. Для ответа на вопрос, является ли матрица

продуктивной, найдем ее собственные значения Имеем:

откуда

Корни этого уравнения легко вычисляются по формуле

и
окончательно

Т
ем самым,

Ответ: матрица А продуктивна.

Из той же теоремы вытекает, что если матрица материальных затрат А продуктивна, то любой столбец прибавочного продукта может быть произведен при соответствующем ре­жиме работы от­раслей.

Итак, пусть матрица

продуктивна и

- столбец конечного продукта. Покажем, как найти режим работы отраслей, обеспечи­вающий этот продукт.

Запишем матричное равенство

х — Ах = с

более подробно:

П
осле перемножения:

и
вычитания:

окончательно получим

Для продуктивной матрицы построенная система имеет решение при любых с₁ и с₂.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 2. Пусть

К ак было установлено в примере 1, матрица А продуктивна, , и поэтому система

и
меет решение (всегда совместна).

П
осле простых преобразований получаем:

Найдем решение этой системы методом исключения неизвестной. Умножая первое уравнение на 3/2 и складывая со вторым, полу­чим

и далее

x₁ = 12.

П
одобным же образом, умножая первое уравнение на и складывая со вторым, находим значение второй неизвестной. Имеем:

Отсюда

x₂ = 8.

Т
аким образом, для того чтобы обеспечить прибавочный продукт

н
еобходимо, чтобы столбец выпуска был равен

Ограничения на ресурсы

Модель Леонтьева отражает те потенциальные возможности, кото­рые заложены в техноло­гии производственного сектора. В этой мо­дели предполагается, что все промежуточные продукты к тому мо­менту, когда они оказываются необходимыми, уже произведены. Од­нако в реальной ситуации нужно принимать в расчет наличие таких ограничительных факторов производства, как мощность каждой от­расли (материальные ресурсы) и общее количество рабочей силы в системе (трудовые ресурсы).

П усть L — общее число рабочих и

- матрица-строка затрат рабочей силы: каждый ее элемент l_k> 0 показывает количество рабочих, необходимое для производства еди­ницы k-го продукта.

В
предположении линейности производства произведение

показывает количество рабочей силы, необходимое в сфере произ­водства при режиме ра­боты х.

Я
сно, что оно не может превосходить общего числа рабочих

О
граничения на мощности отраслей можно описать при помощи столбца

превзойти который столбец выпуска не может,

х ≤ m.

При ограниченных ресурсах уже^нельзя ставить вопрос об удо­влетворении любого ко­нечного спроса с > О. Тем не менее продук­тивная система может обеспечить любую струк­туру прибавочного продукта, т. е. соотношение между количеством прибавочных про­дуктов первой и второй отраслей.

ТЕОРЕМА. Пусть дана продуктивная матрица А > О, столбцы с > О и m > О, строка 1 > О я число L > 0. Тогда задача

имеет, и притом ровно одно, решение.

Рассмотрим на конкретном примере, как можно решать такую задачу.

Пример 3. Итак, даны

Начнем с решения системы

или подробнее:

Это можно записать в равносильной форме:

о
ткуда

и
ли

Полученный столбец должен подчиняться условиям

к
оторые в данном случае принимают вид:

Отсюда имеем:

и
ли

наибольшее значение а. удовлетворяющее всем трем условиям, равно 1/3 (рис. 1).

Ответ: а_тах = 1/3, столбец выпуска

конечный

Замечание 1. Соотношение между количеством первого и количе­ством второго прибавоч­ного продукта 4 : 5 -- то же, что и в случае отсутствия каких-либо ограничений на матери­альные и трудовые ресурсы.

З

амечание 2. При п = 2 соотношения (1) принимают вид:

Решение системы уравнений можно записать так:

г
де b₁ и b₂ выражаются через элементы матрицы А и столбца с. Отсюда получаем

и
ли, исключая а,

Полученное равенство на плоскости (x_1,x₂) описывает прямую, проходящую через начальную точку 0(0,0).

В свою очередь, неравенства (2) можно проиллюстрировать так, как показано на

На рис. 3 представлены все возможные случаи.

Замечание. На рис.2 жирная точка отвечает Q_max.

Прибыльные матрицы

Предположим теперь, что отрасли закупают на внутреннем рынке системы (друг у друга) продукты, которые необходимы им как сред­ства производства.

Пусть pi > 0 — цена единицы г-го продукта. Строка

p = (p₁ p₂ … p_n),

каждый элемент которой является ценой единицы соответствующе­го продукта, производи­мого системой, называется строкой цен на продукты или ценовой строкой.

П
усть

-
матрица материальных затрат системы. Тогда денежные издерж­ки производства еди­ницы k-ro продукта будут равны

Из этих величин и складывается матрица-строка рА издержек про­изводства:

Квадратная матрица А ≥ 0 называется прибыльной, если суще­ствует такая строка р>0. что

Э

то означает, что существует хотя бы одна система цен р, при которой цена каждого продукта больше денежных издержек его про­изводства и, следовательно, во всех отраслях обеспечивается поло­жительная прибыль, выражаемая (в расчете на единицу продукции) разностью

Ясно, что возможность получения прибыли неразрывно связа­на с возможностью по­лучения прибавочного продукта. Более того, условия продуктивности и прибыльности мат­рицы (материальных затрат) равносильны и всегда справедливо соотношение

о
значающее, что прибыль есть лишь денежное выражение прибавоч­ного продукта, а приба­вочный продукт есть материальное выраже­ние прибыли.

Задания и ответы

Сфера производства некоторой экономической системы состоит из двух отраслей. Найти оптимальный режим работы этих отраслей, обеспечивающих структуру прибавочного продукта, заданного столбцом с. при условии, что матрица материальных затрат А и строка рабочей силы 1 имеют следующий вид:

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 24, мощ­ность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 120;

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 8. мощность второй отрасли не пре­восходит 12, а общее число рабочих L равно 90:

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 20, мощ­ность второй отрасли не превосходит И, а общее число рабочих L равно 72;

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 12. мощ­ность второй отрасли не превосходит 8, а общее число рабочих L равно 96.