151050 (Устойчивость упругих систем), страница 2

Заметим, что область применимости модели уверенно можно ограничить условием, что характерная скорость волнового процесса не должна превышать скорости распространения продольных волн .

В случае исчезающе малых колебаний эта система уравнений представляет собой два линейных уравнения, которые могут быть разрешены независимо.

Пусть , тогда линеаризованное уравнение для продольных смещений представляет собой простое волновое уравнение, имеющее вынужденное решение

,

где частоты связаны с волновыми числами дисперсионным соотношением .

Заметим³, что , при любом значении .

В свою очередь, линеаризованное уравнение для изгибных волн принимает вид

(5) .

Очевидно, что в правой части уравнения (5) содержится пространственно-временной параметр в форме суперпозиции стоячих волн.

Учет "волны параметра" становится принципиальным, если типичная скорость продольных волн оказывается сравнимой с групповыми скоростями изгибных волн.

В противном случае можно, формально полагая, что или , ограничиться изучением следующей простейшей модели:

(6) ,

которая описывает лишь только параметрическое возбуждение системы во времени. Решение уравнения (5) можно построить с помощью метода Бубнова-Галеркина: , где - волновые числа изгибных волн; - амплитуды, определяемые из решения системы обыкновенных уравнений

(7) .

Здесь

коэффициент, содержащий параметры расстройки по волновым числам, , которые, в свою очередь, не могут быть равными нулю в отсутствие резонанса; - частоты изгибных волн при , и как и прежде - критические значения силы Эйлера.

Уравнения (7) описывают раннюю стадию эволюции волн за счет многомодовых параметрических взаимодействий. Возникает ключевой вопрос о сопоставимости возмущенных орбит системы (7) и траекторий соответствующей невозмущенной подсистемы

(8) ,

которая получается из уравнений (7) при . Другими словами, - насколько эффективен динамический отклик системы (7) на малое параметрическое возбуждение? Сначала перепишем систему (7) в эквивалентной матричной форме: , где - вектор решения; - матрица собственных чисел; - квазипериодическая матрица с компонентами на основных частотах . Следуя стандартной методике теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решение уравнений (7) ищется в той же форме, что и для уравнений (8), где константы интеграции рассматриваются как новые искомые переменные, например , где - вектор нетривиального колебательного решения линейного однородного уравнения (8), характеризуемого набором собственных чисел . После подстановки в (7) получаются уравнения первого приближения в представлении решения рядом по малому параметру : . Правые части этих уравнений очевидно представляются суперпозицией периодических функций на комбинационных частотах . Таким образом, в первом приближении решение уравнения (7) оказывается ограниченными квазипериодическими функциями⁴, когда комбинации частот ; в противном случае в системе возникают резонансы.

В нерезонансном случае можно продолжить асимптотическую процедуру нахождения решения, т.е. , для определения высших приближений к истинному решению⁵. Другими словами, мера динамического возмущения системы оказывается того же порядка, что и мера параметрического возбуждения. Напротив, в резонансном случае решение уравнений (7), вообще говоря, нельзя представить сходящимся рядом по . Следовательно, возможен эффективный отклик системы даже на очень небольшое параметрическое возбуждение. В частном случае внешнего воздействия , уравнения (7) можно весьма упростить:

(9)

при условии, что пара изгибных волн с волновыми числами и , создает малую волновую расстройку , т.е. , и малую частотную расстройку , т.е. . Значения величин и можно также без всякого принципиального ущерба считать малыми. Выражения и можно интерпретировать как условия фазового синхронизма, необходимые для формирования резонансной тройки волн, состоящей из первичной высокочастотной продольной волны, возбуждаемой при помощи внешней гармонической силы , и вторичных низкочастотных изгибных волн, параметрически возбуждаемых за счет резонанса со стоячей продольной волной.

Заметим, что в случае упрощенной модели (6), соответствующая система амплитудных уравнений сводится к единственному уравнению типа уравнения Матье, широко применяемому во многих прикладных задачах:

Известно, что это уравнение обладает неустойчивыми решениями при малых расстойках и . Решение уравнений (7) можно найти методом Ван-дер-Поля:

(10) ; ,

где и - новые неизвестные координаты.

Подставляя это выражение в (9), получаем уравнения первого приближения:

(11) ; ,

где - коэффициент параметрического возбуждения; обобщенная фаза, удовлетворяющая следующему уравнению: . Уравнения (10) и (11), обладая гамильтоновой структурой, очевидно, обладают первыми интегралами и , позволяющими проинтегрировать систему аналитически. При существуют квазигармонические решения (10) и (11), когда , что ассоциируется с границами областей устойчивости в пространстве параметров системы.

С физической точки зрения можно утверждать, что параметрическое возбуждение изгибных волн проявляется как вырожденный случай нелинейных многоволновых взаимодействий. Это означает, что изучение резонансных свойств нелинейных свободно осциллирующих упругих систем весьма принципиально для понимания природы динамической неустойчивости.

Трехволновые резонансные взаимодействия

Свободные многочастотные нелинейные колебания бесконечно длинного тонкого прямолинейного стержня впервые изучались в работе [13], на основе уравнений модели Бернулли-Эйлера. В отличие от стандартного подхода к подобным задачам, авторы при формулировке проблемы первично выдвинули предположение о существовании фазового синхронизма между волнами:

(12) ; ,

где и - частоты и соответствующие волновые векторы резонансно взаимодействующих волн. Возникал вопрос о том, волны какого типа могут могут вовлекаться в резонансное взаимодействие. Было обнаружено существование двух типов резонансных триад в стержне. Триада одного типа состояла из высокочастотной продольной волны, , и пары низкочастотных изгибных волн, и , в то время как триада другого типа состояла из высокочастотной изгибной волны, , и пары низкочастотных волн, и , одна из которых была продольной, а вторая изгибной. Эволюционные уравнения волновых триплетов описываются уравнениями

(13) ,

где - комплексные амплитуды волн; - кубический потенциал трехволнового взаимодействия. Эти уравнения обладают первыми интегралами в форме соотношений Менли-Роу

(14)

с помощью которых ограниченные решения эволюционных уравнений (13) всегда выражается через эллиптические функции Якоби. Из соотношений Менли-Роу (14) следует, что полная энергия волн триплета сохраняется. Кроме того, высокочастотная волна всегда неустойчива по отношению к малым возмущениям со стороны ее низкочастотных волн и . Это явление называется распадной неустойчивостью высокочастотной волны.

Этот существенный результат можно просто проиллюстрировать, рассматривая условия фазового синхронизма (12) как законы сохранения в терминах квазичастиц, поскольку всякая пара может ассоциироваться, соответственно, с энергией и импульсом кванта, в то время как соответствующие величины в выражении (14) можно трактовать как число квантов -го типа. Весьма вероятно, что с точки зрения задач динамической неустойчивости механических систем, трехволновые взаимодействия наряду с и другими резонансными взаимодействиями играют ключевую принципиальную роль. Исследование нелинейных колебаний типичных элементов конструкций, таких как стержни, балки, кольца, тонкие пластинки и оболочки, доказывают свойственность таких резонансных взаимодействий для большинства механических систем. В контексте задач динамической неустойчивости заметим, что трехволновые резонансные взаимодействия могут также ассоциироваться с так называемым сценарием взрывной неустойчивости в упругих системах [14]. Математически, взрывная неустойчивость может описываться уравнениями того же типа, что и уравнения (13). Но потенциал взаимодействия должен быть другого вида, например . Это означает, что амплитуды волн могут возрасти до бесконечности за конечный промежуток времени, т.е. . Физически это означает, что упругая система необходимо должна быть подвержена действию хотя бы малых нагрузок, зависящих специальным образом от амплитуд волн.

Литература

1. Euler L. (1728), Solutio problematis de invenienda curva quam format lamina utcunque elastica in singulis punctis a potentiis quibuscunque sollicitata, Comment Acad. Sci. Petrop., 3, Opera II-10, 70-84.

2. Euler L. (1744), Methodus inveniendi lineas curvas maximi proprietate gaudentes, Lausanne, Geneve, Opera I-24.

3. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. (1949), Динамические формы потери устойчивости в упругих системах, Докл. АН СССР, 64 (6), 779-782.

4. Вольмир А.С. (1972), Нелинейная динамика пластинок и оболочек, М.: Наука.

5. Березовский А.А., Жерновой Ю.В. (1981), Нелинейные продольно-поперечные стационарные волны в упругих стержнях, В сб.: Мат. Физика, Киев, Наукова думка, 30, 41-48.

6. Болотин В.В. (1956), Динамическая устойчивость упругих систем, М.: Гостехиздат.

7. Беляев Н.М. (1924), Устойчивость призматических стержней под действием периодических нагрузок, В сб.: Инженерная и Строительная Механика, Ленинградский ун-т, 25-27.

8. Капица Л.П. (1951), Динамическая устойчивость маятника на вибрирующей точке подвеса, ЖЭTФ, 21 (5), 110-116.

9. Челомей В.Н. (1956), О возможности стабилизации упругих систем с помощью вибраций, Докл. АН СССР, 110 (3), 345-347.

10. Болотин В.В. (1951), О поперечных вибрациях стержней, вызванных периодическими продольными нагрузками, В сб.: Поперечные Колебания и Критические Скорости, 1, 46-77.

11. Kauderer H (1958), Nichtlineare Mechanik, Springer, Berlin.

12. Haken H. (1983), Advanced Synergetics. Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and devices, Berlin, Springer-Verlag.

13. Ерофеев В.И., Потапов А.И. (1985), Трехчастотные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в стержне, В сб.: Динамика систем, Горьковский ун-т, 75-84.

14. Новиков В.В. (1988), О неустойчивости упругих оболочек как проявлении внутреннего резонанса, ПММ, 52, 1022-1029.

1 Кубическая нелинейность в этом уравнении в работе [4] не принималась в расчет.

2 Нелинейность волнового уравнения также не учитывалась при численных расчетах в работе [4].

3 В системе возникает резонанс, как только , что соответствует целому числу четвертей волн укладывающихся по длине стержня. В этом случае система не допускает стационарного решения в форме стоячих волн, хотя резонансное решение для продольных волн можно легко получить с помощью метода Даламбера.

4 Вопрос сохранения квазипериодических орбит представляет собой одну из ключевых проблем современной физики, которая находится в постоянном развитии [12].

5 На практике резонансные свойства системы следует прямо связать с порядком итерации асимптотической процедуры. Например, если рассматривается первое приближение, то резонансы, возникающие во втором порядке по в расчет не берутся.