85430 (Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Езаова А.Г.

Кафедра теории функций.

Кабардино-Балкарский государственный университет

В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.

Рассмотрим уравнение

(1)

где m – натуральное число в конечной односвязной области , ограниченной отрезками

прямых

соответственно – и характеристиками:

уравнения (1).

Пусть ;

– интервал

прямой

;

– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при , выходящих из точки

, с характеристиками

и

соответственно;

(2)

(3)

– операторы дробного интегрирования порядка - при

и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка

при

, причем

где – единичный оператор, а

– целая часть

.

Под регулярным в области решением уравнения (1) будем понимать функцию

, удовлетворяющую уравнению (1) в

, и такую, что

может обращаться в бесконечность порядка ниже

на концах А и В интервала I.

Задача Н . Найти регулярное в области

решение

уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

, (4)

, (5)

где ,

(5`)

. (6)

Пусть существует решение задачи . Тогда, регулярное решение уравнения (1) в гиперболической части

, удовлетворяющее данным Коши

, дается формулой [1]:

(7)

Удовлетворяя (7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями и

, принесенное на

из

[2]:

, (8)

где

(9)

Из постановки задачи Н следует, что функция

непрерывна в области

. Поэтому, переходя к пределу при

в уравнении (1) и учитывая граничные условия (4), получим:

, (10)

. (11)

Решая задачу (10), (11) относительно , окончательно получим функциональное соотношение между функциями

и

, принесенное из области

на

:

(12)

Подставляя в (9) вместо функции её выражение (12), получаем :

где

.

Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:

(14)

Следуя [2], преобразуем интегралы:

,

,

,

,

.

В интегралах сделаем подстановки

1) ; 2)

; 3)

;

4) ; 5)

соответственно. В результате получим равенства:

,

Подставляя значения в равенство (14) и делая несложные преобразования, получаем:

(15)

Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:

(16)

где обозначено

(17)

2 Труды молодых ученых № 3, 2007

(19)

Введем вспомогательную функцию по формуле :

(20)

Легко заметить, что функция и в точке x=0 обращается в нуль порядка выше , а при x=1 может обращаться в бесконечность порядка выше (1-) относительно x и (1-x) соответственно. Из равенства (20) однозначно определяется функция

:

(21)

Учитывая значение функции из равенства (21), в интегралах в правой части (16) получаем:

.

Обозначим

. (22)

Тогда окончательно имеем:

.

Аналогично находим, что

,

где обозначено , (23)

; (24)

. (25)

Используя известное тождество [3],

,

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:

(26)

где сингулярный оператор S задаётся формулой:

,

,

,

,

,

,

– известные функции, ограниченные соответственно на 0 t x 1, 0 x t 1, 0 x 1, причем

,

.

Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:

, (27)

где причем ядро

и функция

ограниченные соответственно при, 0 x, t 1, 0 x 1.

Следуя [2], обозначим через – множество функций

, непрерывных всюду кроме быть может точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию

где

,

– целая часть

,

– целая часть

[1].

В работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения уравнения (27) в классе .

Функция , определенная формулой (21), принадлежит классу искомых решений интегрального уравнения (8).

После определения , функция

задаётся формулой (12). Таким образом, в области

приходим к задаче [6]: найти регулярное в области

решение уравнения (1), непрерывное вместе с производной

в замкнутой области

и удовлетворяющее граничным условиям (4) и

.

Решение этой задачи задается формулой :

где – функция Грина этой задачи для уравнения

. (28)

Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:

где ;

;

– функция Бесселя. Функции

,

называются функциями Эйри и удовлетворяют уравнению

. Основные свойства функций

и

, их оценки вместе с частными производными порядка больше 1, приведены в [7].

Список литературы

Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.

Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.

Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.

Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.

Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.skgtu.ru/