63871 (Моделирование голограммы, получаемой с помощью подповерхностного сканирующего радиолокатора), страница 2

.13\* MERGEFORMAT ()

Принимаемый апертурой антенны, центр которой имеет координаты , сигнал записывается как

.14\* MERGEFORMAT ()

Подстановка (13) в (14) приводит к такому выражению для комплексного выхода с антенны

15\* MERGEFORMAT ()

в котором

16\* MERGEFORMAT ()

– обратное преобразование Фурье от распределения комплексной амплитуды по апертуре антенны.

Комплексный выход с антенны радиолокатора, центр апертуры которой имеет координаты , при отражении от точечного рассеивателя, координаты которого задаются вектором , может быть записан следующим образом

,17\* MERGEFORMAT ()

где – комплексный коэффициент отражения от элементарной площадки заглубленного предмета.

Сигнал, отраженный от поверхности и регистрируемый приемником

Найдем регистрируемый приемником сигнал, который получается в результате отражения от поверхности раздела. Для этого сначала запишем выражение для спектра плоских волн после отражения от поверхности раздела, которое будет произведением (1) и коэффициента отражения Френеля

. 18\* MERGEFORMAT ()

Спектру (18) соответствует связанное с ним обратным преобразованием Фурье распределение комплексной амплитуды поля

19\* MERGEFORMAT ()

Комплексный выход антенны будет найден интегрированием (19) по апертуре антенны

.20\* MERGEFORMAT ()

Выполняя подстановку (18) и (19) в (20), осуществляя интегрирование, получается следующее выражение для комплексного выхода антенны, обусловленного отражением от поверхности раздела

.21\* MERGEFORMAT ()

В полученном выражении комплексное число , как и следовало ожидать, не зависит от координат центра апертуры. Величина зависит от комплексной диэлектрической проницаемости нижнего полупространства через коэффициент отражения Френеля и является постоянным слагаемым, которое, наряду с опорным сигналом от передатчика к приемнику, добавляется к сигналу, регистрируемому радиолокатором после отражения от рассеивателей, находящихся в нижнем полупространстве.

Коэффициенты прохождения и отражения Френеля для плоской волны

Найдем коэффициенты Френеля для отражения и прохождения плоской волны, задаваемой уравнением

, 22\* MERGEFORMAT ()

в котором величины , и в общем случае могут быть комплексными и не иметь смысла проекций волнового вектора на оси координат. В таком случае уравнение (22) будет описывать как однородную, так и неоднородную волну, в которой направление убывания амплитуды и направление распространения могут не совпадать [10]. Подстановка (22) в уравнение Гельмгольца, записанного для однородной среды вне области, занятой источниками

, 23\* MERGEFORMAT ()

в котором

, 24\* MERGEFORMAT ()

позволяет получить условие, которое должно выполняться для величин , и в общем случае

. 25\* MERGEFORMAT ()

В предыдущих параграфах, плоская волна и соответствующие ей коэффициенты отражения и преломления характеризовались парой чисел и , а не с помощью угла падения или скольжения, поскольку для удобства последующих расчетов, с применением быстрого алгоритма преобразования Фурье, удобно поступить именно так. Найдем соответствующие коэффициенты отражения и преломления как функции и , т.е. именно в таком виде, в котором они фигурируют в формулах из предыдущих параграфов.

Рис. 2. К выводу френелевских коэффициентов отражения и прохождения для однородных и неоднородных плоских волн.

Пусть на поверхность раздела падает плоская волна, задаваемая уравнением (23) (рис. 2). Решение задачи будем искать в виде трех волн: падающей и отраженной в верхнем полупространстве и преломленной в нижнем полупространстве, причем отраженную и преломленную плоские волны запишем в виде

, 26\* MERGEFORMAT ()

. 27\* MERGEFORMAT ()

В формулах (26) и (27) векторы , в общем случае являются комплексными.

На границе раздела двух сред должны удовлетворяться граничные условия [10]

28\* MERGEFORMAT ()

В выражении для граничных условий (28) первый встречающийся индекс обозначает среду: 1 – верхнее полупространство, 2 – нижнее; индекс , – обозначают проекцию на нормаль, проведенную в верхнюю и нижнюю среду соответственно; индекс – обозначает проекцию на касательный к границе раздела вектор.

Для комплексных амплитуд горизонтальной поляризации отраженной и прошедшей волн получаются следующие выражения

, 29\* MERGEFORMAT ()

, 30\* MERGEFORMAT ()

в которых – компоненты комплексного волнового вектора в каждой среде связаны с и соотношениями аналогичными (25). Индекс при этом обозначает третью компоненту в соответствующей среде. Таким образом, могут быть получены следующие формулы для коэффициентов прохождения и отражения для любого типа плоских волн

,31\* MERGEFORMAT ()

,32\* MERGEFORMAT ()

в которых знаки перед корнями должны выбираться с учетом требуемых проекций – компонент волновых векторов на оси координат.

Радиоголограмма точечного источника

В качестве примера рассчитаем с использованием приведенных выше формул голограмму точечного рассеивателя, находящегося в нижнем полупространстве. Предположим, что в качестве сигнала, регистрируемого радиолокатором, будет являться модуль суммы отраженных сигналов от точечного рассеивателя, находящегося под поверхностью, поверхности и некоторого постоянного опорного сигнала, подаваемого непосредственно из передатчика в приемник. Таким образом, голограммой будем называть модуль суммы

,33\* MERGEFORMAT ()

где введены обозначения , . В выражении (33) задается (17), а – комплексная величина опорного сигнала.

Так как выбор опорного сигнала допускает некоторый произвол, то сумма сигнала отраженного от поверхности и опорного может принимать любое значение. Для следующего примера в качестве опорного сигнала выбиралось действительное число, равное максимуму модуля сигнала, отраженного от точечного источника. Получившаяся в результате моделирования голограмма изображена на рис. 3.

На осях координат отложено смещение центра апертуры радиолокатора от проекции точечного рассеивателя на поверхность . Величины используемых при расчете голограммы параметров приводятся в таблице 1.

Таблица 1. Величины параметров модели, используемых при моделировании голограммы

Как видно на рис. 3, голограмма, полученная с помощью радиолокатора, имеет небольшое количество осцилляций из-за того, что апертурная антенна радиолокатора является направленной. Отметив, что эффективный размер области, в которой сосредоточено отраженное от точечного источника поля имеет размер, сопоставимый с размером самой антенны, диаметр которой равен примерно 10 см, можно сделать вывод о том, что для восстановления изображения источника такая антенна не даст хорошей фокусировки изображения. Данное обстоятельство объясняется тем, что размер получаемой голограммы ограничивает дифракционный предел синтезированной апертуры. Таким образом, для такого типа радиолокаторов необходимо использовать ненаправленные антенны при зондировании малозаглубленных предметов, что привело бы к тому, что полученная голограмма имела бы значительно больший размер.

В следующем параграфе рассмотрена возможность восстановления распределения источников по регистрируемой голограмме методом восстановления волнового фронта.

Восстановление голограммы

Пусть распределение комплексной амплитуды поля в плоскости (рис. 1), тогда комплексную амплитуду выходного сигнала антенны можно выразить по формуле

, 34\* MERGEFORMAT ()

где весовая функция является характеристикой антенны радиолокатора. Выражение (34) является интегральным уравнением свертки относительно неизвестного распределения комплексной амплитуды поля . Применяя интегральное преобразование Фурье к обеим частям уравнения (34), можно выписать формальное решение в следующем виде

, 35\* MERGEFORMAT ()

где , – прямое и обратное преобразование Фурье соответственно.

В выражении (35) обратное преобразование Фурье отношения может и не существовать в силу того, что может иметь нули, а может иметь высокочастотные гармоники, обусловленные, например, шумом.

Уравнение (34) должно быть регуляризовано введением в оператор обращения дополнительного множителя, позволяющего построить приближенное решение.

Методика решения уравнения свертки (34) введением регуляризирующего множителя, согласованного с погрешностями задания левой части хорошо известна [11]. Поэтому далее с целью упрощения задачи будем считать, что распределение комплексной амплитуды поля, создаваемое источниками, находящимися в нижнем полупространстве, известно. Последнее утверждение эквивалентно использованию точечной антенны вместо апертурной (рис. 1).