183675 (Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики), страница 11

Китайская модель. Утверждается, что китайская экономика растет так быстро потому, что уровень развития в Китае был низким, а темпы роста слаборазвитых стран выше, чем более развитых стран. Однако исследование среднегодовых темпов роста ВВП на душу населения показывает, что такой закономерности не существует. При одних и тех же душевых показателях ВВП возможен и быстрый рост и глубокое падение. Ни одна другая слаборазвитая страна не имела темпов роста, сколько-нибудь близких к китайским. Более того, темпы роста Китая оказались уникальными для всей мировой экономики. Решающий вклад в ускорение экономического роста внесла структура китайской экономики — низкая доля промышленности и высокая доля сельского хозяйства.

Элементы математической статистики. Выборки и их типы. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Эмпирические моменты, асимметрия и эксцесс. Оценки параметров. Выборочные распределения.

Математическая статистика - это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки статистических данных для научных и практических целей.

Статистические данные представляют собой данные, полученные в результате обследования большого числа объектов или явлений; следовательно, математическая статистика имеет дело с массовыми явлениями.

Современная математическая статистика подразделяется на две обширные области: описательную и аналитическую статистику.

Описательная статистика охватывает методы описания статистических данных, представления их в форме таблиц, распределений и пр.

Эти данные могут быть либо количественными (например, измерение роста и веса), либо качественными (например, пол и тип личности).

Аналитическая статистика называется также теорией статистических выводов. Ее предметом является обработка данных, полученных в ходе эксперимента, и формулировка выводов, имеющих прикладное значение для самых различных областей человеческой деятельности.

Теория статистических выводов тесно связана с другой математической наукой - теорией вероятностей, и базируется на ее математическом аппарате.

Планирование и анализ экспериментов представляет собой третью важную ветвь статистических методов, разработанную для обнаружения и проверки причинных связей между переменными.

Экспериментальные данные - это результаты измерения некоторых признаков объектов, выбранных из большой совокупности объектов.

Часть объектов исследования, определенным образом выбранная из более обширной совокупности, называется выборкой, а исходная совокупность, из которой взята выборка,- генеральной (основной) совокупностью.

Исследования, в которых участвуют все без исключения объекты, составляющие генеральную совокупность, называются сплошными исследованиями. Может использоваться выборочный метод. Суть его в том, что для обследования привлекается лишь выборка из генеральной совокупности, но по результатам этого обследования судят о свойствах всей генеральной совокупности.

Важнейшая характеристика выборки - объем выборки, т. е. число элементов в ней; его принято обозначать символом n.

Предметом изучения в статистике являются изменяющиеся (варьирующиеся) признаки, которые иногда называются статистическими. Они делятся на качественные и количественные.

Качественными признаками объект обладает либо не обладает. Они не поддаются непосредственному измерению (например, спортивная специализация, квалификация, национальность, территориальная принадлежность и т. п.).

Количественные признаки представляют собой результаты подсчета или измерения. В соответствии с этим они делятся на дискретные и непрерывные.

Эмпирические распределения представляют собой распределения элементов выборки по значениям изучаемого признака. Построение эмпирических распределений - необходимый этап применения статистических методов.

Можно использовать следующий эвристический принцип - будем считать, что исследуемая нами генеральная совокупность близка к гипотетической генеральной совокупности, состоящей только из значений х₁,...,x_n, содержащихся в ней в равной пропорции, т.е. случайная величина  близка к случайной величине , принимающей п значений х₁,...,x_n с вероятностями 1/n (это, действительно, максимум информации о значениях случайной величины и их вероятностях, которую можно извлечь из выборки). Распределение случайной величины  называется эмпирическим распределением случайной величины , а ее функция распределения  - эмпирической функцией распределения. Очевидно, что каждой выборке соответствует своя эмпирическая функция распределения, т.е. можно сказать, что  - случайная функция.  представляет собой ступенчатую функцию, возрастающую от 0 до 1 со скачками высотой 1/n в точках х₁,...,x_n (очевидно, если некоторое значение повторяется k раз, то ему будет соответствовать один скачок величиной k/n). Можно определить эмпирическую функцию формулой , где n_x - число значений выборки, не превосходящих х.

Поскольку эмпирическая функция распределения  является оценкой для F(x) (можно доказать, что при  вероятность того, что максимальное расхождение между  и F(x) не превзойдет заданного малого числа , стремится к единице), можно взять характеристики  в качестве оценок характеристик генерального распределения.

Ниже мы приводим полученные таким образом формулы для некоторых выборочных характеристик.

выборочное среднее = (x₁ + x₂ +...+ x_n) / n  оценка математического ожидания

медиана = X_k+1 , при n = 2k+1
= (X_k +X_k+1) / 2 , при n = 2k

мода  такое значение x_m, которое встречается в выборке чаще всего

размах R = X _max - X _min

выборочная дисперсия   - оценка дисперсии

среднее квадратичное отклонение S = - оценка б

Статистической оценкой теоретического распределения называют функцию f(X1,X2,…,Xn) от наблюдаемых С.В. X1,X2,…,Xn. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом *=f(x1,x2,…,xn), где х1,х2,…,xn – результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка). Несмещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней (мат. ожидания) служит выборочная средняя: Хв=(сумма по i от 1 до k nixi)/n, где xi – варианта выборки, ni – частота варианты xi, n=сумма по i от 1 до k ni – объем выборки. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия: Dв=(сумма по i от 1 до k ni(Хi-Xв)*2)/n. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия: s*2=n/n-1*Dв=сумма ni(xj – Xв)*2/n-1. Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: v1=M1. Учитывая, что v1=M(X) и М1=Хв, получим М(Х)=Хв. Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Учитывая, что v1=M(X),M1=Хв,мю=D(X),m2=Dв, имеем систему: М(Х)=Хв, D(X)=Dв.

Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров. Д.С.В. Пусть Х – Д.С.В., которая в результате n опытов приняла возможные значения х1,х2,…,xn. Допустим, что вид закона распределения величины Х задан, но неизвестен параметр , которым определяется этот закон; требуется найти его точечную оценку *= (x1,x2,…,xn). Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение xi через р(xi;). Функцией правдоподобия Д.С.В. Х называют функцию аргумента : L (x1,x2,…,xn;)=p(x1;)*p(x2;)…p(xn;). Оценкой наибольшего правдоподобия параметра называют такое его значение *, при котором функция правдоподобия достигает максимума. Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении , поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут, что удобнее, максимум функции lnL. Н.С.В. Пусть Х – Н.С.В., которая в результате n испытаний приняла значения х1,х2,…,xn. Допустим, что вид плотности распределения – функции f(x) – задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция. Функцией правдоподобия Н.С.В. Х называют функцию аргумента : L(x1,x2,…,xn;)=f(x1;)*f(x2;)…f(xn;).

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительный интервал – это интервал, который с заданной надежностью гамма покрывает заданный параметр. 1. Интервальной оценкой с надежностью гамма мат. ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Хв при известном среднем квадратическом отклонении сигма генеральной совокупности служит доверительный интервал: Хв – t(сигма/корень из n)1. 3. Интервальной оценкой ( с надежностью гамма) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал ( с приближенными концами р1 и р2).