shpori econometrika (Шпоры по эконометрике), страница 2

№8. ПРИМЕНЕНИЕ МНК К МОДЕЛЯМ НЕЛИНЕЙНЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВКЛЮЧАЕМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ.

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяет­ся, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в парабо­ле второй степени y=a₀+a₁x+a₂x²+ε заменяя переменные x=x₁,x²=x₂, получим двухфакторное урав­нение линейной регрессии: у=а₀+а₁х₁+а₂х₂+ ε

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется харак­тер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное), значение результативного признака: приравнива­ем к нулю первую производную параболы второй степени: , т.е. b+2cx=0 и x=-b/2c

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Решение ее возможно методом определителей:

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразо­ванным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нели­нейных по переменным, при оценке параметров исходят из кри­терия min, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным дан­ным результативного признака, а к их преобразованным величи­нам, т. е.ln y, 1/y. Так, в степенной функции МНК применяется к преобразованному уравнению lny = lnα + β ln x ln ε. Это значит, что оценка параметров основывается на миними­зации суммы квадратов отклонений в логарифмах. Соответственно если в линейных моделях то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, . Вследствие этого оценка параметров оказываются несколько смещенной.

№9. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ ПО РАЗНЫМ ВИДАМ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ.

1. Линейная y = a + bx + , y′ = b, Э = .

2. Парабола 2 порядка y = a +bx + c + , y′ = b + 2cx, Э = .

3. Гипербола y = a+b/x + , y′=-b/ , Э = .

4. Показательная y=a , y′ = ln , Э = x ln b.

5. Степенная y = a , y′ = , Э = b.

6. Полулогарифмическая y = a + b ln x +ε , y′ = b/x , Э = .

7. Логистическая , y′ = , Э = .

8. Обратная y = , y′ = , Э = .

№ 10 ПОКАЗАТЕЛИ КОРРЕЛЯЦИИ

1. индекс корреляции (R):

Величина данного показателя находится в границах: 0 ≤ R ≤ 1, чем ближе к 1, тем теснее связь рассматриваемых призна­ков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

1. индекс детерминации используется для проверки существенности в целом ур-ия нелинейной регрессии по F- критерию Фишера:

, где R²- индекс детерминации, n- число наблюдений, m – число параметров при переменной х.

№11. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ. СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ. ОТБОР ФАКТОРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИИ МОДЕЛИ.

Регрессия может дать хороший результат при модели­ровании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Поведение отдельных экономи­ческих переменных контролировать нельзя, т. е. не удается обес­печить равенство всех прочих условий для оценки влияния одно­го исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т. е. пост­роить уравнение множественной регрессии: y=a+b₁x₁+b₂+…+b_px_p+e; Такого рода уравнение может использоваться при изучении потребления. Тогда коэффициенты bj — частные производные потребления у по соответствующим факторам x_i: , в предположении, что все остальные х_i постоянны. В 30-е гг. XX в. Кейнс сформулировал свою гипотезу потребительской функции. С того времени исследователи неод­нократно обращались к проблеме ее совершенствования. Совре­менная потребительская функция чаще всего рассматривается как модель вида: C=j(y,P,M,Z), где С — потребление; у — доход; Р — цена, индекс стоимости жизни; М — наличные деньги; Z — ликвидные активы. При этом .. Основная цель множественной регрессии — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели включает в себя два круга вопросов: отбор фак­торов и выбор вида уравнения регрессии. Требования к факторам.1 Они должны быть количественно измеримы. Если необхо­димо включить в модель качественный фактор, не имеющий ко­личественного измерения, то ему нужно придать количествен­ную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов) 2.Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда R_yx1 R_x1x2.Для зависимости y=a+b₁x₁+b₂+…+b_px_p+e может привести к нежелательным последствиям, повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются не интерпретированными.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р-факторов, то для нее рассчитывается показа­тель детерминации R² , который фиксирует долю объясненной ва­риации результативного признака за счет рассматриваемых в ре­грессии р-факторов. Влияние других не учтенных в модели фак­торов оценивается как 1 - R² с соответствующей остаточной дис­персией S².При дополнительном включении в регрессию (р + 1) фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться: . Насыщение модели лишними факторами не только не снижа­ет величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по t-критерию Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качест­венного теоретико-экономического анализа, который обычно осуществляется в две стадии: на первой подби­раются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии. Коэффициенты интеркорреляции (т. е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменных явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если . Ес­ли факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочте­ние при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множест­венной регрессии как метода исследования комплексного воз­действия факторов в условиях их независимости друг от друга. Наибольшие труд­ности в использовании аппарата множественной регрессии воз­никают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимос­тью. Наличие мультиколлинеарности факторов может озна­чать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полно­стью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого факто­ра в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежела­тельно в силу следующих последствий:1.затрудняется интерпретация параметров множественной ре­грессии как характеристик действия факторов в «чистом» ви­де, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;2оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стан­дартные ошибки и меняются с изменением объема наблюде­ний. Для оценки мультиколлинеарности факторов может исполь­зоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреля­ции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей. Для включающего три объ­ясняющих переменных уравнения: y=a+b₁x₁+b₂+b₃x₃+e.Матрица коэф-в корреляции м/у факторами имела бы определитель равный 1. Det =1, т.к. r_x1x1=r_x2x2=1 и r_x1x2=r_x1x3=r_x2x3=0. Если м/у факторами сущ-ет полная линейная зависимость и все коэф-ты корреляции =1, то определитель такой матрицы =0. Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной кор­реляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

№12. ЧТО ОЗНОЧАЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФАКТОРОВ И КАК ОНО МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО ГРАФИЧЕСКИ?