где – расчетные значения тренда;

y – фактические значения ретроспективного ряда;

n – число наблюдений.

Этот метод лучше других соответствует идее усреднения как единичного влияния учтенных факторов, так и общего влияния неучтенных.

Операцию экстраполяции в общем виде можно представить в виде определения значения функции

(1.2)
где - экстраполируемое значение уровня;

L – период упреждения;

- уровень, принятый за базу экстраполяции.

Экстраполяция на основе средней.

В самом простом случае при предположении о том, что средний уровень ряда не имеет тенденции и к изменению или если это изменение незначительно, можно принять т. е. прогнозируемый уровень равен среднему значению уровней в прошлом. Доверительные границы для средней при небольшом числе наблюдений определяются следующим образом:

(1.3)
где t_a – табличное значение t-статистики Стьюдента с n-1 степенями свободы и уровнем вероятности p;

– средняя квадратическая ошибка средней.

Значение ее определяется по формуле . В свою очередь, среднее квадратическое отклонение S для выборки равно

(1.4)

Доверительный интервал, полученный как , учитывает неопре­деленность, которая связана с оценкой средней величины. Общая дисперсия составит величину . Таким образом, доверительные интервалы для прогностической оценки равны

(1.5)

Недостаток рассмотренного подхода заключается в том, что доверительный интервал не связан с периодом упреждения.

Экстраполяция по скользящей и экспоненциальной средней.

Для краткосрочного прогнозирования наряду с другими приемами могут быть применены адаптивная или экспоненциальная скользящие средние. Если прогнозирование ведется на один шаг вперед, то или , где М_i - адаптивная скользящая средняя; Q_i - экспоненциальная средняя. Здесь доверительный интервал для скользящей средней можно определить аналогично тому, как это было сделано в формуле (1.5), в которой число наблюдений обозначено символом n. Поскольку при расчете скользящей средней через m обозначалось число членов ряда, участвующих в расчете средней, то заменим в этой формуле n на m. Так как m обычно берется равной нечетным числам, то подсчи­таем для них соответствующие значения величины . Что касается экспоненциального сглаживания, то, так как дисперсия экспо­ненциальной средней равна , где S₂ - среднее квадратическое отклонение, вместо величины в формуле, приведенной выше, при исчислении доверительного интервала прогноза следует взять величину или . Здесь — коэффициент экспоненциального сглаживания.

Корреляционный анализ используют для выявления и оценки связи между различными показателями. Степень тесноты связи оценивают коэффициентами, изменяющимися в пределах от 0 до 1, по следующей формуле:

(1.6)

Малое значение коэффициента свидетельствует о слабой связи, значение, близкое к 1, характеризует очень сильную связь и часто позволяет предположить наличие функциональной причинно-следственной связи. Затем проверяют значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента t_j,k:

(1.7)
где k=n-2 – число степеней свободы.

При выполнении неравенства t*>y_j,k гипотеза о не значимости коэффициента парной корреляции отвергается, т.е. y_t зависит от фактора времени. Затем выбирают математическую модель взаимосвязи показателя от времени и рассчитывают критерии точности полученной модели.

(1.8)

(1.9)

(1.10)
где – средняя относительная ошибка;

– корреляционные отношения;

S₂ – остаточная дисперсия;

– среднеквадратическое отклонение, рассчитанное по формуле:

(1.11)
где p- количество расчетных коэффициентов уравнения тренда.

Затем делают расчет точечной и интервальной оценки прогноза:

(1.12)

(1.13)
где y_n+1 – прогнозируемая величина.

С помощью этих методов экстраполируются количественные пара­метры больших систем, количественные характеристики экономического, научного, производственного потенциала, данные о результативности научно-технического прогресса, характеристики соотношения отдельных подсистем, блоков, элементов в системе показателей сложных систем и др .

Анализ показывает, что ни один из существующих методов не может дать достаточной точности прогнозов на 20—25 лет. Применяемый в прогнозировании метод экстраполяции не дает точных результатов на длительный срок прогноза, потому что данный метод исходит из прошлого и настоящего, и тем самым погрешность накапливается. Этот метод дает положительные результаты на ближайшую перспек­тиву прогнозирования тех или иных объектов — на 5—7 лет.

При экстраполяции часто используются линейные модели. Они требуют относительно небольшого количества вычислений и по тому, в частности, широко распространены в прак­тике прогнозирования. Их недостаток, заключающийся в том, что лишь немногие явления в экономике могут быть адекватно описаны в линейном виде, отчасти преодолевается с помощью кусочно-линейной аппроксимации.

2 ДУБЛИРУЮЩИЕ ПОРТФЕЛИ

2.1 Понятие дублирующего портфеля

Изменение доходности активов, помимо прочих вещей, отражает изменения информации об экономических условиях в будущем. Изучение влияния различных экономических шоков на цены активов важно также и потому, что это помогает выявить природу экономических колебаний, оценить премию за риск и предсказать экономические колебания в будущем. Звеном, связывающим цены активов с новостями о состоянии экономики, является «дублирующий портфель» (tracking portfolio). Данный портфель представляет собой портфель активов, доходности которых максимально коррелированны с такими экономическими переменными как ожидаемые объем производства, инфляция или доходность.

В прикладных финансах давно сформировался подход связывать текущие доходности одного актива с доходностью других. Второй подход состоит в попытке объяснить поведение доходностей с помощью текущих или будущих экономических переменных. Портфель, дублирующий экономические переменные, сочетает в себе оба эти подхода. С одной стороны, экономический дублирующий портфель отражает доходность активов. С другой стороны, данный портфель получает доходность, которая имеет экономическую интерпретацию. Формирование портфеля, дублирующего экономические переменные, является способом использования текущей доходности активов в качестве инструментов для измерения будущих переменных.

Дублирующие портфели применяются при решении нескольких вопросов. Одной из проблем является измерение премии за риск. Если дублирующий портфель приносит премию за риск, то тогда знак этой премии и тождество премии, сгенерированной экономическим параметром, могут указать на то, какие экономические параметры значимо влияют на ожидаемую доходность, и могут помочь оценить модель оценки финансовых активов.

Дублирующие портфели имеют как минимум еще три сферы применения, которые не основываются на портфелях, приносящих ненулевую премию за риск. Во-первых, эти портфели могут служить средством хеджирования для индивидуальных инвесторов, которые желают застраховать себя на случай какого-либо определенного экономического риска (например, снижение потребления). Во-вторых, на основе дублирующего портфеля можно строить прогноз поведения какой-либо экономической переменной. Т.к. доходности активов могут быть рассчитаны на каждый день, дублирующие портфели могут предоставить информацию по поводу ожиданий рынка на счет будущего экономики. В-третьих, путем измерения ожиданий, портфели следования выявляют структуру экономики и объясняют реакцию цен на новости, касающиеся экономической сферы.

Эти три сферы приложения дублирующих портфелей могут быть проверены на практике и не зависят от конкретной модели оценки активов. Например, если предположить, что CAPM-модель верна, то в этом случае дублирующий портфель имел бы ожидаемую доходность, имеющую тесную ковариацию с рынком. Но тогда неожидаемая часть доходности была бы все равно отражением новостей о будущем состоянии экономики. Напротив, если предположить, что рынок неэффективен, иррациональные настроения влияют на цены, и доходность частично предсказуема, то в этом случае до тех пор пока цены отражают информацию о будущем состоянии экономических детерминант, доходность дублирующего портфеля также будет применима для хеджирования, прогнозировании и понимания экономики.

2.2 Простые дублирующие портфели

Дублирующий портфель для любой переменной у может быть определен как регрессия у на доходности некоторого набора базовых активов. Доли активов, входящих в дублирующий портфель для у, идентичны коэффициентам в регрессии, построенной с помощью метода наименьших квадратов. Если у является переменной, влияющей на ценообразование базового актива, тогда мультифакторная модель выполняется с одним фактором, который отслеживает портфель, дублирующий переменную у. Однако, даже если у не является значимой переменной для ценообразования активов, то портфель, дублирующий эту переменную, также остается интересным объектом с экономической точки зрения, т.к. он отражает изменения рыночных ожиданий относительной у.