10А_Модели (конспект за второй семестр 4-го курса, преподаватель Ляхова), страница 2

Статический ОУ - напорный бак, куда поступает жидкость через клапан (регулятор) и свободно вытекает по сливной трубе.

клапан Q_пр

Н Q_ст

Рис. Статический ОУ - напорный бак.

Примером астатического ОУ может служить бак, из которого жидкость откачивается насосом с определенной скоростью. Равновесие может наступить при любом уровне. Такие ОУ рассматриваются в динамическом режиме.

Рис. Астатический ОУ – бак с выходным насосом.

Статический режим устанавливается клапаном. Расход жидкости зависит от уровня Н и достаточно точно описывается выражением:

Q_ст = k_ис H ,

где k_ис - коэффициент, зависящий от размеров и формы отверстия истечения.

С помощью уравнения материального баланса получаем статическую характеристику ОУ (уравнение нелинейное):

Н = (1 / k_ис )² Q²_ст = ( 1 / k_ис )² Q²_пр.

Н

Н_max + H С С`

Н₀ А

Н_min - H D D`



Q₀ Q_пр

Рис. Статическая характеристика ОУ, линеаризация.

Для упрощения проектирования АСУ используют линеаризацию характеристики

(переход от кривой CAD к прямой C`AD` в диапазоне значений Н₀  H ) :

H = k Q_пр = k Q_ст,

где k - коэффициент усиления для линеаризованного объекта (тангенс угла наклона

k = tg).

Динамический режим. При действии на вход объекта управления (ОУ) возмущения Х на его выходе появляется отклонение величины У. Протекает переходный процесс, который может быть колебательным и неколебательным (апериодическим). С течением времени амплитуда колебательного процесса может уменьшаться (весы - затухающий переходный процесс), оставаться постоянной (стабилизирующий АР) или увеличиваться (расходящийся процесс). Последний процесс неустойчив.

Переходный процесс характеризуется следующими показателями:

- у₁ - максимальным динамическим отклонением регулируемой величины У,

- у_ост - остаточным отклонением регулируемой величины после окончания переходного процесса,

-  у - заданное отклонение,

- t _p - время процесса регулирования, по окончании которого отклонение регулируемой величины от установившегося значения будет меньше заданного отклонения  у.

у у

у₁ y₁` (а) у<sub>1</sub> y<sub>1</sub>` (б)

2 у 2 у

у_ост у_ост

t _p t t _p t

Рис. Показатели качества переходного процесса: (а) - апериодического,

(б) - затухающего колебательного.

Для построения математической модели динамического режима (дифференциального уравнения) используется аналитический и экспериментально-аналитический методы.

Аналитический метод описания динамического режима предусматривает синтез зависимости нарушения статического равновесия

S H(t) = ( Q_пр (t) - Q_ст (t) ) t,

где S - площадь поперечного сечения бака.

Сток жидкости из бака при небольших приращениях можно описать линеаризированным уравнением:

Q_ст (t) = 1/ k H(t).

При переходе к пределу при t  0 уравнение приобретает вид:

S dH(t) / dt + H(t) / k =  Q_пр (t).

При умножении уравнения на 1/k и введении обозначений: S k = T - постоянная времени ОУ, H = y - регулируемая (выходная) величина, Q_пр = х - регулирующее воздействие (входная величина), дифференциальное уравнение примет вид:

T dy(t) / dt + y(t) = k x(t).

Экспериментально-аналитическое определение характеристик ОУ производят путем воздействия на находящийся в равновесии ОУ возмущения (изменения входной величины). Реакция ОУ на воздействие называется кривой разгона. С момента возмущения регулируемая величина регистрируется во времени до стабилизации ее на новом уровне для статического ОУ или до установления постоянной скорости для астатического ОУ.

Х

x t

T

Y

1 2 y_ост = k x

t

_е T₂

Рис. Кривые разгона статических ОУ.

С помощью кривой разгона определяются k и Т. Коэффициент усиления k по каналу регулирующего воздействия определяется из соотношения:

k_x = y _ост / x,

где y_ост - остаточное отклонение регулируемой величины от первоначального значения, х - величина скачкообразного изменения регулирующего воздействия. Чем больше коэффициент усиления k, тем чувствительнее объект к внешним воздействиям. Скорость изменения регулируемой величины в переходном процессе оценивается постоянной времени Т. Чем больше величина Т (чем инерционнее ОУ), тем труднее его регулировать. Для уменьшения времени Т необходимо уменьшать емкость (размеры бака) или увеличивать нагрузку ОУ (величину стока).

Для статических ОУ кривая разгона

1 - первого порядка, или одноемкостного, динамика которого описывается дифференциальным уравнением 1-ого порядка,

2 - второго порядка, динамика которого описывается дифференциальным уравнением более высокого порядка.

Под емкостью подразумевается способность накапливать вещество или энергию. Чем больше емкость, тем медленнее изменяется регулируемая величина, тем больше инерционность объекта. Кривая разгона типа ”2” - многоемкостная - может быть представлена одноемкостной моделью (касательной) с соответствующими k₂ и T₂, но сдвинутую по времени на величину емкостного запаздывания _е . Наличие транспортеров, трубопроводов, норий обусловливает транспортное запаздывание _т . Полное запаздывание ОУ:

 = _т + _е .

Динамический режим статического ОУ с запаздыванием по каналу регулирования описывается дифференциальным уравнением:

T₂ dy(t) / dt + y(t) = k₂ x(t - ).

Статическим ОУ характерно после окончания переходного процесса состояние равновесия на новом уровне - происходит самовыравнивание.

В астатическом ОУ равновесие не устанавливается. Скорость изменения выходной величины пропорциональна отклонению входной:

_t

y(t) = (1/ )  x(t) dt,

^o

где  - постоянная времени астатического ОУ.

Y 1 2

dy / dt = const

 t

_т _e



Рис. Кривые разгона астатических ОУ с транспортным и емкостным запаздываниями

(1 - неустойчивого ОУ, 2 - нейтрального ОУ).

Угол наклона  (касательной): tg  = x / .

Динамический режим астатического ОУ может быть описан дифференциальным уравнением:

 dy(t) / dt = x(t - ) .

Дифференциальные уравнения трудны для решения. Для упрощения синтеза модели используют преобразование Лапласа, состоящее в замене функций времени y(t) на их изображения: 

y(р) = p  y(t) ∙ e^-pt dt,

o

где p = d /dt - оператор Лапласа.

Операции дифференцирования и интегрирования функции времени при ненулевых начальных условиях заменяются соответственно на деление и умножение на оператор Лапласа. Дифференциальное уравнение линейной системы в общем виде:

T_n dⁿy/dtⁿ + T_n-1 d^n-1y/dt^n-1 +.. + T₂ d²y/dt² + T₁ dy/dt + T₀ y =

C_n dⁿx/dtⁿ +...+ C₂ d²x/dt² + C₁ dx/dt + C₀ x.

можно заменить уравнением

(T_n pⁿ +...+ T² p² + T₁ p + T₀) y(p) = (C_n pⁿ +...+ C₂ p² + C₁ p + C₀) x(p).

Характеристикой системы служит передаточная функция, равная отношению изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного сигнала. Передаточная функция системы:

W(p) = y(p) / x(p) = (C_n pⁿ +...+ C₂ p² + C₁ p + C₀ ) / (T_n pⁿ +...+ T² p² + T₁ p + T₀ ).

Преобразование Лапласа применимо для линеаризированных уравнений с постоянными коэффициентами.

АСУ состоит из множества устройств, поэтому при формировании модели сложный объект разбивается на элементарные звенья (динамические, типовые) со своими передаточными функциями. Для аналоговых устройств предпочтительнее использовать преобразование Лапласа.

Передаточная функция системы из последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций каждого звена:

x(р) y₁ (р) y₂ (р)

W₁ W₂

W (p) = y₂ (p) / x (p) = W₁ (p) ∙ W₂ (p),

где W₁ (p) = y₁ (p) / x (p) , W₂ (p) = y₂ (p) / y₁ (p).

Передаточная функция системы из параллельно соединенных звеньев, на вход которых подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы суммируются, равна сумме передаточных функций каждого звена:

y₁ (р)

W₁

x (р) y₂ (р) + y (р)

W₂

W (p) = y (p) / е (p) = W₁ (p) + W₂ (p).

На вход звена, охваченного обратной связью, подается сигнал x (p). Преобразование Лапласа сигнала рассогласования е(р): е (p) = x (p) - W₂ (p) y (p).

x (p) е (p) y (p)

_ X W₁

x₂ (p) W₂

В соответствии с определением передаточной функции:

y (p) = W₁ (p) е (p),

следовательно,

y (p) = x(p) W₁(p) / ( 1 + W₁(p) W₂(p) ).

Передаточная функция системы с отрицательной обратной связью:

W(p) = y (p) / x (p) = W₁(p) / ( 1 + W₁(p) W₂(p) ).

Если обратная связь положительна, то

W(p) = y (p) / x (p) = W₁(p) / ( 1 - W₁(p) W₂(p) ).