151914 (Механические колебания), страница 2

Рис. 3. Резонансные кривые.

1.2 Автоколебания

Системы автоматически регулирующие подачу энергии от внешнего источника, называются автоколебательными, а происходящие в них незатухающие периодические процессы - автоколебаниями. Такими системами являются часы, электрический звонок, ламповый генератор электромагнитных колебаний и т.д.

1.3 Разложение колебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данных

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.

Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления, одинаковой частоты и с одинаковыми амплитудами, но с разными начальными фазами ₀₁ и ₀₂ . Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x₁ и x₂:

x = x₁ + x₂ = Acos(₀t + ₀₁) + Acos(₀t + ₀₂).

Используя известную из тригонометрии формулу для суммы косинусов двух углов, имеем:

A_рез ,

то есть получается гармоническое колебание той же частоты с начальной фазой и амплитудой A_рез .

Как видно, амплитуда A_рез результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Рассмотрим два крайних случая:

А) Колебания происходят в фазе, то есть ₀₁ = ₀₂, тогда и , поэтому A_рез = 2A.

Если амплитуды не равны, A_рез = A₁ + A₂.

Б) Колебания происходят в противофазе, то есть ₀₁ = ₀₂ , тогда . Следовательно, и A_рез = 0. Если амплитуды не равны, например, A₁ > A₂ , то A_рез = A₁ - A₂.

Таким образом, при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одного периода и с равными амплитудами получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой, которая в зависимости от соотношения фаз складываемых колебаний может изменяться от удвоенного значения, если колебания происходят в фазе, до нуля, если они находятся в противофазе.

При сложении гармонических колебаний с разными частотами результирующее колебание не будет гармоническим, а будет являться сложным колебанием (Рис.4.).

А

Б

Рис. 4. Сложение гармонических колебаний с разными частотами:

А) исходные колебания, Б) результирующее колебание.

Сложное колебание и его гармонический спектр.

Согласно теореме Фурье, любое сложное колебание может быть представлено как сумма простых (гармонических) колебаний (гармоник), периоды или частоты которых кратны основному периоду или частоте сложного колебания.

Совокупность простых колебаний, на которые можно разложить данное сложное колебание, называется его гармоническим спектром.

В гармоническом спектре сложного колебания указываются частоты и амплитуды всех составляющих его простых колебаний. Обычно спектр изображается в виде графика, на горизонтальной оси которого откладываются частоты; затем для каждой из частот простых колебаний имеющихся в спектре, строится ордината, соответствующая амплитуде этого колебания. Если гармонический спектр сложного колебания содержит только небольшое число простых колебаний и график его состоит из отдельных ординат, то такой спектр называется линейчатым (рис. 5.).

Если спектр содержит простые колебания практически всех частот в каких-то пределах, то он называется сплошным и график его строится в виде сплошной огибающей кривой.

Установление гармонического спектра является основным приемом при анализе сложного колебания. Этот анализ делается с помощью специальных приборов —гармонических анализаторов. Они применяются и в медицине при исследовании, например, колебаний биопотенциалов головного мозга и др. Многие процессы человеческого организма являются периодическими: сердечные сокращения, дыхание, кровенаполнение сосудов и т. п

А

А₂

А₃

А₁

А₄

А₅

А₀

А₆

_{1 2 3 4 5 6}

Рис. 5 Гармонический спектр сложного колебания.

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

В результате сложения двух взаимно-перпендикулярных колебаний различного периода тело движется по сложным фигурам, форма которых зависит от соотношения периодов, амплитуд и начальных фаз складываемых колебаний и которые называются фигурами Лиссажу.

Рис. 6. Фигуры Лиссажу для колебаний различающихся начальными фазами .

1.4 Механические волны, их виды и скорость распространения

Колебательная система может отдавать энергию во внутреннюю среду. Эта передача энергии становится возможной благодаря тому, что частицы среды сами представляют собой миниатюрные колебательные системы. Молекулы среды связаны друг с другом силами, законы которых в известных границах подобны законам упругих сил. Если одна из частиц окажется выведенной из положения равновесия, то силы, действующие на нее со стороны соседних частиц, заставляют ее вновь вернуться к устойчивому положению. Вместе с тем, по закону равенства действия и противодействия, соседние частицы также подвергнутся влиянию смещающих сил и в свою очередь будут выведены из устойчивого положения. Таким образом, каждое возмущение, однажды возникнув в определенном участке среды, будет постепенно распространяться, захватывая частицы, все дальше и дальше отстоящие от места начального возмущения.

Колебательный процесс благодаря взаимодействию частиц будет распространяться в среде с некоторой конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волновым движением или просто волной. Для нашего случая это будет упругая или механическая волна.

Различают продольные и поперечные волны. Вид волн, распространяющихся в среде, существенно зависит от упругих свойств среды.

Волна, распространяющаяся в том же направлении, в котором происходят колебания частиц среды, называется продольной волной.

Продольные волны образуются в телах, обладающих упругостью объема, т.е. противодействующих деформации объемного сжатия. Это свойственно всем телам, поэтому они образуются в любых средах: твердых, жидких, газообразных. К продольным волнам, в частности, относятся звуковые, инфразвуковые и ультразвуковые.

Волна, в которой колебательное движение совершается перпендикулярно к направлению распространения колебаний, называется поперечной.

Поперечные упругие волны образуются только в твердых телах, которые обладают упругостью формы, т.е. противодействуют деформации сдвига (например, сейсмические волны в земной коре при землетрясениях; волны, бегущие вдоль натянутой струны; крутильные волны, вызываемые попеременным закручиванием и раскручиванием конца длинного стержня).

Продольные и поперечные колебания частиц среды, несущей волну, представляют собой частные случаи волнового процесса. Существуют и другие волны, в которых колебательные движения складываются из одновременных продольных и поперечных смещений. Это волны вздутия, поверхностные.

Уравнение волны.

Рассмотрим поперечную волну. В поперечной волне частицы среды не смещаются в направлении распространения волны. Но колебания каждой последующей частицы среды запаздывают по фазе относительно предыдущих частиц. Вследствие этого гребни и впадины волны, заметные для глаза, перемещаются в направлении распространения волны. Это и отмечается наблюдателем как движение волны.

Под скоростью волны понимается скорость, с которой в среде перемещаются одинаковые фазы колебаний частиц. Эта скорость называется фазовой скоростью волны. Скорость волны зависит от упругих свойств (а также плотности) среды.

Расстояние между двумя ближайшими точками среды, колебания которых происходят в одинаковой фазе, называется длиной волны или расстояние, на которое распространяются колебания в среде за время, равное одному периоду колебания. Она численно равняется произведению скорости V распространения волны на период Т или отношению скорости распространения волны к частоте колебания:

= VT = (14)

Поскольку скорость распространения волны зависит от свойств среды, длина волны при переходе волны из одной среды в другую изменяется, хотя частота колебаний остается неизменной.

Кроме , А, или Т колебаний волна характеризуется формой колебания частиц в волне. Так же как и колебания, волны делятся на простые (гармонические) и сложные.

Колебания, возбуждаемые в одной точке, в однородной изотропной среде распространяются от нее равномерно по всем направлениям, такая волна называется сферической. Если источник колебаний имеет значительную плоскую поверхность, то волна от него будет распространяться направленным потоком перпендикулярно поверхности источника; такая волна называется плоской.

Составим уравнение плоской гармонической волны, позволяющее определить смещение S точки Б среды, находящейся на любом расстоянии x от начальной точки А, в направлении распространения волны в любой момент времени. Пусть для начальной точки А уравнение колебания: SA = A cost.

s_Б=Acos((t-x/v))

s_А=Acost

x

0

x

Точка Б совершает колебание с запаздыванием по фазе на угол 0 = t0, соответствующий промежутку времени t, за который волна проходит расстояние x между точками А и Б. Тогда для точки Б уравнение колебания будет:

SБ = A cos( t - 0) = A cos( t - t0) = A cos (t - t0)

Подставляя значение t0 = , где V - скорость распространения волны, получим:

SБ = . (15)

Заменив в уравнении V = и = 2 , тогда: