151699 (Корпускулярно-хвильовий дуалізм речовини), страница 2

. (1.1.10)

Рівність (1.1.10) визначає ті значення різниці потенціалів U, при яких струм І через гальванометр досягає максимумів.

Оскільки в умовах досліду кут f є сталим, то для різних максимумів, при певних значеннях k із (1.1.10) маємо

, (1.1.11)

е ― стала величина в умовах цього досліду.

Таким чином, значення U, які відповідають максимумам струму І, відрізняються між собою на сталу величину С.

Дещо інший варіант цього досліду здійснив Тартаковський, який спостерігав дифракцію повільних електронів при проходженні ними тонкої алюмінієвої фольги. Схему досліду Тартаковського зображено на рис. 1.3.

На рис. 1.3 К ― нагрітий катод, який є джерелом електронів; А ― сітка, яка створює прискорюване поле для цих електронів; Д ― діафрагма, яка дозволяє виділити вузький пучок електронів; В ― алюмінієва фольга; Е ― пластинка з двома круглими отворами, через які можуть пройти лише ті електрони, які розсіялись під кутом . Далі розміщена пластина F, з’єднана з електрометром G, за допомогою якого вимірюють електричний струм I.

Рис. 1.3

Дослід полягав у вимірюванні електричного струму I, як функції прискорюваної різниці потенціалів U. В цьому випадку розрахунок дифракційної картини повністю збігається з експериментальними результатами.

Слід відмітити, що експериментальним методом виявлено хвильові властивості у нейтральних атомів і молекул, а також і у нейтронів.

Найбільш наочні експериментальні результати, які підтверджують хвильову природу електронів, отримані в дослідах по дифракції електронів на двох щілинах, виконаних уперше в 1961 р. К. Йенсоном. Ці досліди ― пряма аналогія досліду Юнга для видимого світла. Схема досліду показана на рис. 1.3 а.

Рис. 1.3, а

Потік електронів, прискорених різницею потенціалів 40 кВ, після проходження подвійної щілини в діафрагмі попадав на екран (фотопластинку). У тих місцях, де електрони попадають на фотопластинку, утворюються чорні плями. У результаті попадання великого числа електронів на фотопластинці спостерігається типова інтерференційна картина у вигляді максимумів і мінімумів, цілком аналогічна інтерференційній картині для видимого світла.

Характерно, що всі описані досліди по дифракції електронів спостерігаються й у тому випадку, коли електрони пролітають через експериментальну установку "поодинці". Цього можна домогтися при дуже малій інтенсивності потоку електронів, коли середній час прольоту електрона від катода до фотопластинки менший, ніж середній час між випусканням двох наступних електронів із катода.

Послідовне попадання на фотопластинку все більшої й більшої кількості одиночних електронів поступово приводить до виникнення чіткої дифракційної картини. Описані результати означають, що в даному експерименті електрони, залишаючись частинками, виявляють також хвильові властивості, причому ці хвильові властивості притаманні кожному електрону окремо, а не тільки системі з великого числа частинок.

Фізичний зміст хвиль де Бройля

Що ж являє собою електрон ― хвилю чи частинку? Відповідь на це питання така ― ні те, ні інше. В одних випадках електрон поводиться як хвиля відповідної довжини (наприклад, у дослідах по дифракції), в інших ― як звичайна частинка (наприклад, електрони в електронно ― променевій трубці). На відміну від механічних хвиль, хвиля де Бройля не є поширенням коливань у якомусь пружному середовищі. Хвиля де Бройля ― це математична модель, яка описує поведінку електронів у відповідних умовах. Після довгих дискусій фізики прийшли до такої інтерпретації фізичного змісту хвиль де Бройля. Поведінка мікрочастинок носить імовірнісний характер, а хвиля де Бройля ― математичний інструмент для розрахунку цієї імовірності. У дослідах по дифракції мікрочастинок там, де інтенсивність хвиль де Бройля максимальна, там імовірність знайти мікрочастинку максимальна (дифракційний максимум). Навпаки, там, де інтенсивність хвиль де Бройля мінімальна, імовірність знайти мікрочастинку мінімальна (дифракційний мінімум). Отже максимальна імовірність відповідає дифракційному максимуму, нульова імовірність ― дифракційному мінімуму. Більш строго імовірність попадання мікрочастинки в ту чи іншу область простору розраховується за допомогою так званої хвильової, або псі-функції ( -функції).

3. Співвідношення невизначеностей. Межі використання законів класичної фізики

Миттєві стани мікрочастинки не можна характеризувати точними значеннями її координати і імпульсу. Причина в тому, що поведінка мікрочастинок носить імовірнісний характер, що проявляється в наявності в таких частинок хвильових властивостей. Безглуздо говорити про довжину хвилі в даній точці (точка не має розмірів), а оскільки імпульс частинки виражається через довжину хвилі, то звідси випливає, що частинка з визначеною координатою має зовсім невизначений імпульс!

В мікросвіті частинки проявляють при одних умовах хвильові властивості, при інших умовах ― корпускулярні. Якщо виходити лише з корпускулярних властивостей, то згідно з теорією Н. Бора можна визначити точне значення координати частинки в просторі. У випадку хвильових властивостей елементарних частинок поняття координати хвилі немає фізичного змісту.

У класичній механіці траєкторія руху тіла характеризується точними значеннями координати x(t) і імпульсу p(t) в довільний момент часу t, причому ці два параметри, пов’язані між собою. Наприклад, рівномірний і прямолінійний рух тіла масою m із швидкістю виражається координатою у = t і імпульсом p(t)=m, звідки одержуємо, що х(t)= p(t)ּt /m.

У квантовій фізиці з урахуванням хвильових властивостей частинок показано, що у частинки не існує одночасно точних значень координат і імпульсу і що ці величини між собою навіть не пов’язані. Якщо імпульс частинки має точне значення, то її місце знаходження невизначене і навпаки.

Як же характеризувати стан мікрочастинок?

Одним з основних положень квантової механіки є співвідношення невизначеностей, яке було сформульовано в 1927 р. В. Гейзенбергом і з'явилося важливим кроком в інтерпретації закономірностей мікросвіту.

Розглянемо дифракцію електронів на одній щілині. Нехай пучок електронів із швидкістю  летить в напрямі осі OY так, як це показано на рис. 1.4.

Екран АВ із щілиною шириною d розміщено перпендикулярно до пучка. На другому екрані СД одержано розподіл інтенсивності, який збігається з розподілом інтенсивності при дифракції світла від однієї щілини.

На рис. 1.4 цей розподіл зображено пунктирною лінією. Максимум нульового порядку одержано з кутом дифракції , який задовольняє умову:

1. Рис. 1.4

, (1.1.12)

де  ― довжина хвилі, яка відповідає пучку електронів.

З рис. 1.4 видно, що переважна більшість електронів формують нульовий максимум, тому вторинними максимумами в цьому випадку можна знехтувати. Якщо уявити електрони у вигляді механічних частинок, то можна стверджувати, що при їх русі із швидкістю  у напрямі осі OX їх положення визначається з точністю до ширини щілини, тобто

(1.1.13)

В той же час, унаслідок дифракції змінюється напрям швидкості частинок. Враховуючи лише ті електрони, які формують центральний максимум дифракції, похибку у визначенні проекції імпульсу на напрям осі OX знайдемо із умови

. (1.1.14)

2. З урахуванням (1.1.12) і (1.1.13) одержимо

. (1.1.15)

А оскільки не всі електрони формують центральний максимум, тому

, (1.1.16)

де x і p_x ― похибки у визначені координати й імпульсу частинки; – стала Планка поділена на 2 .

Співвідношення (1.1.16) можна узагальнити для всіх напрямків, тому:

,

, (1.1.17)

.

Це і є співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

Оскільки точні значення координати й імпульсу для мікрочастинки не існують, то про траєкторію частинки в мікросвіті можна говорити лише з певним наближенням. З цієї точки зору електрони в атомі не мають точних значень електронних орбіт.

У квантовій теорії використовується також співвідношення невизначеностей для енергії Е і часу t, тобто невизначеності цих параметрів задовольняють умову:

, (1.1.18)

де E ― похибка у визначенні енергії частинки; t ― похибка у визна-ченні часу, коли частинка має енергію E.

Cпіввідношення невизначеностей неодноразово були предметом філософських дискусій. Однак вони не виражають собою певних обмежень пізнання мікросвіту, а лише указують межі використання у таких випадках понять класичної механіки.

Ще раз підкреслимо, що співвідношення невизначеностей не пов'язано з недосконалістю вимірювальної техніки, а є об'єктивною властивістю матерії: таких станів мікрочастинок, у яких і координата, і імпульс частинки мають визначене значення, просто не існує в природі.

Співвідношення невизначеностей допомагають зрозуміти багато особливостей поведінки мікрочастинок і дозволяють швидко й просто оцінити параметри їх стану. Для прикладу розглянемо застосування співвідношень невизначеностей до опису руху електрона в атомі водню.

Будемо вважати, що електрон локалізований в області простору, розміри якого дорівнюють розмірам атома. Тоді невизначеність координати електрона можна прийняти рівною радіусу атома: ∆ x = r. Звідси, відповідно до рівнянь (1.1.17), невизначеність значення імпульсу електрона ∆p =h / (2 r). Очевидно, що значення самого імпульсу не може бути меншим його невизначеності, тому мінімально можливе значення імпульсу електрона дорівнює

(1.1.19)

Рівняння (1.1.19) можна записати у вигляді p ∆ r = h/2π, або mvr = ћ. Цей результат – не що інше, як умова стаціонарної орбіти електрона в атомі водню відповідно до постулатів Н. Бора. Але, якщо Н. Бор увів свої постулати довільно, і тільки для атома водню, то ми одержали цю умову із загального універсального принципу – співвідношення невизначеностей.

Оцінимо енергію електрона в атомі водню. Енергія електрона складається з кінетичної енергії E_k = p²/2m і потенціальної енергії, що на відстані r від ядра дорівнює E_p= -e²/4 ₀r. Тоді повна енергія, з урахуванням рівняння (1.1.19), дорівнює

(1.1.20)

Залежність E(r) показана на графіку.

Як бачимо, залежність має мінімум при r = r₀. Величину r₀ легко знайти, узявши похідну від енергії E (1.1.20) по координаті r і прирів-нявши її до нуля: