150887 (Сили тяжіння), страница 2

Строго кажучи, завдяки обертанню Землі навкруги своєї осі величина прискорення g не є постійною, а дещо змінюється залежно від широти і висоти місця. Приведене значення g відповідає широті 45° на рівні моря.

Доцентрова сила

Рівномірний рух тіла по колу характеризується, як ми бачили, доцентровим прискоренням. Сила будь-якої природи, що викликає це прискорення називається доцентровою силою. Вона прикладена до тіла, направлена до центру кола і, згідно другому закону Ньютона, рівна

де т — маса тіла, a_ц — доцентрове прискорення, v і ω — лінійна і кутова швидкості, R — радіус кола.

Доцентрова сила створюється зв'язком, що утримує тіло на колі; вона обумовлена реакцією зв'язку на прагнення тіла віддалитися від центру кола. Розглянемо як приклад рух кульки по колу на гумовому шнурку (мал. 3); Повідомимо кульку А швидкість v перпендикулярно до шнура (зв'язки) ОА, закріпленого в точці О. Шарик почне рухатися за інерцією прямолінійно, віддаляючись від точки О. При цьому шнур розтягуватиметься і виникаюча в ньому пружна сила, перешкоджаючи прямолінійному руху кульки, примусить кульку рухатися по спіралі, що розкручується. Коли зростаюча у міру розтягування шнура сила пружності стане достатньою для того, щоб перешкодити видаленню кульки від точки О, він почне рухатися по колу радіусом R. Очевидно, що при цьому пружна сила зв'язку буде рівна доцентровій силі:

Таким чином, в даному випадку роль доцентрової сили грає сила пружності шнура.

Якщо з якої-небудь причини швидкість кульки зросте до значення v₁>v, то він знову почне віддалятися від центру О по спіралі, поки пружна сила шнура, що додатково розтягнувся, не примусить його рухатися по колу радіусом R₁>R. При цьому знову сила пружності зв'язку стане рівна доцентровій силі:

На цьому принципі засновано, наприклад, дію відцентрового регулятора (Уатта), в якому зв'язком вантажів з віссю обертання служить система шарнірно-важеля.

При деякій, достатньо великої, швидкості обертання шнур не витримає розтягування і розірветься, а кулька полетить прямолінійно — по дотичній до кола. Саме так летять розжарені частинки — іскри, що відриваються від точильного круга.

Розрив зв'язку може відбутися у махового колеса при дуже великій швидкості обертання. На розриві зв'язку заснована дія таких відцентрових механізмів, як, наприклад, сушильна машина, медогонка, молочний сепаратор, відцентровий насос (зокрема, повітряний насос віялки). В сушильній машині зв'язком є зчеплення води з тканиною, в медогонці — зчеплення меду із стільниками, в сепараторі — в'язкість молока, у відцентровому насосі — тертя води (або повітря) об лопаті насоса, що обертаються.

Прикладом природного відцентрового механізму може служити мак-самосейка. Верхівка розгойдуваної вітром рослини швидко описує кругові дуги. При цьому стигле насіння, пов'язане з коробочкою тільки тертям, розкидається через верхні отвори коробочки по дотичних до цих дуг.

Розглянемо ще один приклад — обертання еластичної гумової кулі з кутовою швидкістю ω навколо осі, що проходить через його центр (мал. 4). В думках розіб'ємо кулю на маленькі частинки — кульки однакової маси і уявимо, що зчеплення між ними забезпечується гумовими шнурами (зв'язками), до яких ці кульки прикріплені. Оскільки маси і кутові швидкості у всіх кульок однакові, то, згідно формулі (10), найбільша доцентрова сила діятиме на кульки, які найбільш віддалені від осі обертання. Таких кульок найбільше в екваторіальному шарі кулі і найменше всього в «приполярних» шарах.

Тому зв'язки розтягнуться найбільше в екваторіальному шарі і менше всього в приполярних. В результаті куля прийме форму еліпсоїда обертання. Аналогічно деформується земна куля: він розтягнуть у екватора і приплюснуть у полюсів так, що екваторіальний радіус на 1/300 більше полярного.

На закінчення відзначимо, що, згідно третьому закону Ньютона, разом з доцентровою силою, прикладеною до тіла, виникає рівна їй по величині, але протилежно направлена сила, прикладена до зв'язку; вона називається відцентровою силою.

Інерціальні і неінерціальні системи відліку. Сили інерції

Система відліку, що рухається (щодо зірок) рівномірно і прямолінійно (тобто за інерцією), називається інерціальною. Очевидно, що таких систем відліку – незліченна множина, оскільки будь-яка система, що рухається щодо деякої инерциальной системи відліку рівномірно і прямолінійно, теж буде инерциальной. Системи відліку, що рухаються (щодо инерциальной системи) з прискоренням, називаються неинерциальными.

Досвід показує, що у всіх інерціальних системах відліку всі механічні процеси протікають абсолютно однаково (за однакових умов). Це положення, назване механічним принципом відносності (або принципом відносності Галілея), було сформульовано в 1636 р. Галілеєм. Галілей пояснював даний принцип на прикладі механічних процесів, що скоюються в каюті корабля, що пливе рівномірно і прямолінійно по спокійному морю. Для спостерігача, що знаходиться в каюті, коливання маятника, падіння тіл і інші механічні процеси протікатимуть точно так, як і на нерухомому кораблі. Тому, спостерігаючи ці процеси, неможливо встановити ні величину швидкості, ні навіть сам факт руху корабля. Щоб судити про рух корабля щодо якої-небудь іншої системи відліку (наприклад, поверхні води), необхідно вести нагляди і за цією системою (бачити, як віддаляються предмети, що лежать на воді, і т. п.).

До початку XX сторіччя з'ясувалося, що не тільки механічні, але і теплові, електричні, оптичні і всі інші процеси і явища природи протікають абсолютно однаково у всіх інерціальних системах відліку. На цій підставі Ейнштейн в 1905р. сформулював узагальнений принцип відносності, названий згодом принципом відносності Ейнштейна:

у всіх інерціальних системах відліку всі фізичні процеси протікають абсолютно однаково (за однакових умов).

Цей принцип разом з положенням про незалежність швидкості розповсюдження світла у вакуумі від руху джерела світла ліг в основу спеціальної теорії відносності, розробленої Ейнштейном.

Закони Ньютона і інші розглянуті нами закони динаміки виконуються тільки в інерціальних системах відліку. В неінерціальних системах відліку ці закони, взагалі кажучи, вже несправедливі. Розглянемо простий приклад, що пояснює останнє твердження.

На абсолютно гладкій платформі, що рухається рівномірно і прямолінійно, лежить куля масою т; на цій же платформі знаходиться спостерігач. Інший спостерігач стоїть на Землі недалеко від місця, мимо якого незабаром повинна пройти платформа. Очевидно, що обидва спостерігачі пов'язані зараз з інерціальними системами відліку.

Нехай тепер у момент проходження мимо спостерігача пов'язаного із Землею, платформа почне рухатися з прискоренням а, тобто зробиться неінерціальною системою відліку. При цьому куля, що раніше покоїлася щодо платформи, прийде (щодо неї ж) в рух з прискоренням а, протилежним по напряму і рівним по величині прискоренню, придбаному платформою. З'ясуємо, як виглядає поведінка кулі з точок зору кожного з наших спостерігачів.

Для спостерігача, пов'язаного з інерціальною системою відліку – Землею, куля продовжує рухатися рівномірно і прямолінійно в повній відповідності із законом інерції (оскільки на нього не діють ніякі сили, окрім сили тяжіння, врівноважуваною реакцією опори).

Спостерігачу, пов'язаному з неінерціальною системою відліку – платформою, представляється інша картина: куля приходить в рух і придбаває прискорення – а без дії сили (оскільки спостерігач не знаходить дії на кулю яких-небудь інших тіл, що повідомляють кулю прискорення). Це явно суперечить закону інерції. Не виконується і другий закон Ньютона: застосувавши його, спостерігач одержав би, що 0 (сила) = – ma, а це неможливо, оскільки ні m, ні а не рівні нулю.

Можна, проте, зробити закони динаміки застосовними і для опису рухів в неінерціальних системах відліку, якщо ввести в розгляд сили особливого роду — сили інерції. Тоді в нашому прикладі спостерігач, пов'язаний з платформою, може вважати, що куля прийшла в рух під дією сили інерції

Введення сили інерції дозволяє записувати другий закон Ньютона (і його слідства) в звичайній формі ; тільки під діючою силою треба тепер розуміти результуючу «звичайних» сил (F) і сил інерції (F_і):

де m — маса тіла, а — його прискорення.

Сили інерції ми назвали силами «особливого роду», по-перше, тому, що вони діють тільки в неінерціальних системах відліку, і, по-друге, тому, що для них на відміну від «звичайних» сил неможливо вказати, дією яких саме інших тіл (на дане тіло) вони обумовлені. Очевидно, з цієї причини до сил інерції неможливо застосувати третій закон Ньютона (і його слідства); це є третьою особливістю сил інерції.

Неможливість вказати окремі тіла, дією яких (на дане тіло) обумовлені сили інерції, не означає, звичайно, що виникнення цих сил взагалі не пов'язано з дією яких-небудь матеріальних тел. Є серйозні підстави припускати, що сили інерції обумовлені дією всієї сукупності тіл Всесвіту (масою Всесвіту в цілому).

Річ у тому, що між силами інерції і силами тяжіння існує дуже велика схожість: і ті і інші пропорційні масі тіла, на яке вони діють, і тому прискорення, повідомляється тіло кожної. З цих сил, не залежить від маси тіла. За певних умов ці сили взагалі неможливо розрізнити. Хай, наприклад, десь в космічному просторі рухається з прискоренням (обумовленим роботою двигунів) космічний корабель. Космонавт, що знаходиться в ньому, при цьому випробовуватиме силу, що притискує його до «підлоги» (задньої по відношенню до напряму руху стінці) корабля. Ця сила створить точно такий же ефект і викличе у космонавта такі ж відчуття, які викликала б відповідна сила тяжіння.

Якщо космонавт вважає, що його корабель рухається з прискоренням а щодо Всесвіту, то він назве діючу на нього силу силою інерції. Якщо ж космонавт вважатиме свій корабель нерухомим, а Всесвіт — що мчить мимо корабля з таким же прискоренням а, то він назве цю силу силою тяжіння. І обидві точки зору будуть абсолютно рівноправними. Ніякий експеримент, виконаний усередині корабля, не зможе довести правильність однієї і помилковість іншої точки зору.

З розглянутого і інших аналогічних прикладів витікає, що прискорений рух системи відліку еквівалентний (по своїй дії на тіла) виникненню відповідних сил тяжіння. Це положення одержало назву принципу еквівалентності сил тяжіння і інерції (принципу еквівалентності Ейнштейна); даний принцип ліг в основу загальної теорії відносності.

Сили інерції виникають не тільки в тих, що прямолінійно рухаються, але і в неінерціальних системах відліку, що обертаються. Хай, наприклад, на горизонтальній платформі, що може обертатися навкруги вертикальної осі, лежить тіло масою m, пов'язане з центром обертання Про гумовим шнуром (мал. 5). Якщо тепер платформа почне обертатися з кутовою швидкістю ω (і, отже, перетвориться на неинерциальную систему), то завдяки тертю тіло теж буде залучено в обертання. Разом з тим воно переміщатиметься в радіальному напрямі від центру платформи до тих пір, поки зростаюча сила пружності шнура, що розтягується, не зупинить це переміщення. Тоді тіло обертатиметься на відстані r від центру О.

З погляду спостерігача, пов'язаного з платформою, переміщення кулі щодо платформи обумовлено деякою силою F_ц.і.. Це є сила інерції, оскільки вона не викликана дією на кулю інших певних тіл; її називають відцентровою силою інерції. Очевидно, що відцентрова сила інерції рівна по величині і протилежна по напряму силі пружності розтягнутого шнура, що грає роль доцентрової сили, яка діє на тіло, що обертається по відношенню до инерциальной системи. Тому

отже, відцентрова сила інерції пропорційна відстані тіла від осі обертання.