150390 (Исследование спектров немодулированных и модулированных колебаний и сигналов)

РЕФЕРАТ

Исследование спектров немодулированных и модулированных колебаний и сигналов

Понятие сигнал в общем случае обозначает условный знак для передачи на расстояние каких-нибудь сведений и сообщений. В радиоэлектронике под сигналом понимается изменяющаяся физическая величина, однозначно отображающая сообщение. Сигнал, несущий информацию о физической величине, состояний исследуемого объекта или процесса, называется информационным. Таким образом, под сигналом понимается распространяющийся в пространстве носитель с информацией, содержащейся в значениях его физических параметров.

Если использовать в качестве базисных функций 1, cos(nt), sin(nt), где n=1, 2, 3, …, то получим ряд Фурье. Ряд Фурье используется для анализа спектров периодических сигналов, если сигнал представлен на ограниченном временном отрезке от 0 до Т, либо сигнал является периодическим с периодом Т. При этом функция S(t) должна удовлетворять условиям Дирихле.

Исходная математическая форма ряда Фурье:

,

где - частота основной (первой) гармоники, а коэффициенты и равны:

Т. о. сложный сигнал на отрезке времени Т содержит постоянную составляющую и сумму бесконечного числа гармоник с частотами, кратными частоте основной гармоники.

Учитывая, что , где , а , получим радиотехническую форму ряда Фурье:

.

При расчетах наиболее удобна комплексная форма ряда Фурье:

, где - комплексная амплитуда n-ой гармоники.

Использую формулу Эйлера: , получим следующие выражения взаимосвязи комплексной и других форм ряда Фурье:

, ,

Отрицательным n в комплексной форме ряда Фурье соответствуют отрицательные частоты комплексного гармонического сигнала . Вектор, изображающий комплексный гармонический сигнал на комплексной плоскости, вращается при по часовой стрелке, а при - против часовой стрелки. Спектр сигнала становится двухсторонним: для каждой гармоники с положительной частотой имеется гармоника – «дублер» с отрицательной частотой. Исключением является постоянная составляющая – для нее «дублера» нет.

Если в периодической последовательности прямоугольных импульсов амплитуда S_m, длительность , период Т, то тогда

т.е амплитуды гармоник вещественны.

Спектр простого гармонического сигнала S(t)=U_m*sin(t+₀) (1)

Большинство аналоговых сигналов имеют более сложную форму. Периодические сигналы произвольной формы могут быть представлены в соответствии с рядом Фурье в виде суммы гармонических колебаний:

(2)

Таким образом, ряд Фурье представляет собой математическую модель периодического сигнала.

Совокупность гармонических составляющих сигнала образуют его спектр.

Амплитуда каждой спектральной составляющей характеризует энергию соответствующей гармоники основной части сигнала. Чем выше скорость изменения амплитуды сигнала, тем больше в его спектре высокочастотных гармоник. Разность между минимальной и максимальными частотами спектра сигнала, между которыми содержится основная часть (95%) энергии, называется шириной спектра ∆F. (рис1).

Рис1. Спектр периодического аналогового сигнала.

Для одиночного прямоугольного импульса (непериодический сигнал) имеют место два соотношения:

(3)

(4)

Формулы 3 и 4 носят фундаментальный характер в теории сигналов и называются прямыми и обратными преобразованиями Фурье. Они связывают между собой вещественную функцию времени u(t) и комплексную функцию частоты S().

Таким образом, интеграл Фурье (3) содержит непрерывную (сплошную) последовательность спектральных составляющих сигналов с бесконечно малыми амплитудами. Функцию S() называют спектральной плотностью. Она характеризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник непериодического сигнала вдоль оси частот (рис 2). В этом основное отличие спектральной плотности непериодического сигнала от дискретного спектра периодического сигнала, в котором каждая гармоническая составляющая имеет вполне определенное значение частоты и отстоит от соседней на величину ₁(рис3).

Рис. 3. Периодическая последовательность и ее спектр.

Частота первой гармоники равна частоте следования импульсов. Амплитуды гармоник с увеличением их номера уменьшаются, поэтому считают, что если полоса пропускания устройства лежит в пределах от до , то оно не вносит существенных изменений в передаваемый через него импульсный сигнал.

Частоты составляющих спектра непериодического аналогового сигнала непрерывно изменяются. При наблюдении спектра такого сигнала на экране анализатора спектра положение и уровень различных спектральных составляющих непрерывно меняется, и спектр выглядит как сплошной.

В соответствии с изменением амплитуды аналогового сигнала меняется его энергия или мощность. В зависимости от времени измерения мощности различают среднюю и мгновенную мощность. Вводится понятие динамический диапазон: (5),

где P_{max c} и P_{min c} – максимальная и минимальная мощность сигнала.

Таким образом, аналоговый сигнал описывается набором параметров, являющихся его признаками:

- частота или диапазон частот;

- фаза сигнала;

- длительность сигнала;

- амплитуда или мощность сигнала;

- ширина спектра сигнала;

- динамический диапазон сигнала;

У дискретных сигналов амплитуда имеет конкретное значение (рис. 4). Например, в ЭВМ 0В и 5В (бинарный сигнал). Дискретный сигнал характеризуется следующими параметрами:

- амплитудой или мощностью Р;

- длительностью импульса , временем нарастания t_н и спада t_сп фронтов;

- периодом Т или частотой f повторения импульсов;

- шириной спектра сигнала ;

- скважностью импульсов ;

Спектр дискретного периодического сигнала содержит бесконечное количество убывающих по амплитуде гармоник.

U₀=U_m/Q

U_m1

U_m3

U_m5

о

М

Рис. 4. Спектр бинарного периодического сигнала.

Он характеризуется следующими свойствами:

- форма огибающей спектра описывается функцией ;

- амплитуда гармоник имеет нулевое значение в точках , где

- в области частот спектра располагаются гармоник;

- постоянная составляющая сигнала равна .

Учитывая, что большая часть энергии сигнала сосредоточена в области частот , ширина спектра бинарного периодического сигнала приблизительно оценивается по формуле:

,

В реальных цепях форма прямоугольного импульса искажается. Поэтому размывается граница между формами аналогового и дискретного сигнала.

Вид информации, содержащейся в сигнале, изменяет его признаки: форму, ширину спектра, частотный и динамический диапазон. Например, стандартный речевой сигнал, передаваемый по телефонной линии, имеет ширину спектра 300 – 3400 Гц, звуковой 16 – 20000 Гц, телевизионный 6 – 8 МГц и т.д.

Произведение называется базой сигнала. Если , то сигнал узкополосный, при - широкополосный.

В соответствие с формулой Фурье изменение формы сигнала при модуляции приводит к изменению спектра модулированного сигнала. Чем выше максимальная частота спектра модулирующего сигнала , тем шире спектр модулированного сигнала.

Количественное значение увеличения ширины спектра этого сигнала зависит от вида модуляции и ширины спектра модулирующего сигнала.

Ширина спектра модулированного синусоидального сигнала составляет:

-для АМ: ∆F_АМ = 2F_с.м. ;

-для ЧМ: ∆F _ЧМ >> F_с.м. ;

-для ФМ: ∆F_ФМ ≈ ∆F_ЧМ ;

Для радиовещания ширина спектра для ЧМ сигнала составляет 100÷150 кГц, а для АМ7 кГц.

Любое сообщение в общем случае можно описать с помощью трех основных параметров:

-динамическим диапазоном – Д_с;

-шириной спектра частот - ∆F_с;

-длительностью передачи – t_c;

Произведение Д_{с *} ∆F_{с *} t_c = V_c называется объемом сигнала. (рис 5)

Рис. 5. Графическое представление объема сигнала

Для обеспечения неискаженной передачи сообщения объемом V_c , необходимо чтобы характеристики среды распространения и непосредственно приемника соответствовали ширине спектра и динамическому диапазону.

Для безискаженной передачи сообщения в реальном масштабе времени полоса пропускания приемника должна соответствовать ширине спектра сигнала.

Проблема передачи информации, содержащейся во многих низкочастотных сигналах, с помощью множества узкополосных каналов связи с разными частотами решается при использовании модулированных сигналов.

Модулированный сигнал – это узкополосный сигнал, параметры которого изменяются пропорционально низкочастотному информационному сигналу. Модулированный сигнал, как правило, является высокочастотным колебанием.

Для получения модулированного сигнала используется гармоническое (несущее) колебание (несущая частота).

Информация вносится в несущее колебание с использованием модуляции – изменение какого-либо из параметров высокочастотного колебания пропорционально низкочастотному сигналу .

Амплитудная модуляция (АМ).