Для того чтобы сделать требуемую замену переменных, выразим частные производные от функции u по х и у через производные от и по  и :

(1.4.31)

(1.4.32)

Это записано на основании правила дифференцирования сложной функции от двух переменных (здесь u зависит от  и , которые, в свою очередь, зависят от x и у). Для того чтобы выразить , через производные по  и , учтем формулу (1.4.3₁) и применим снова правило дифференцирования сложной функции:

Следовательно,

(1.4.41)

Аналогично найдем:

(1.4.42)

(1.4.43)

Правые части равенств (1.4.3₁), (1.4.3₂), (1.4.4₁), (1.4.4₂), (1.4.4₃) представляют собой линейные функции относительно частных производных , Подставляя u'_x, u'_y, u'_xx,... из этих формул в уравнение (1), мы получим снова линейное уравнение второго порядка с неизвестной функцией и и независимыми переменными и :

(1.4.5)

где

(1.4.5’)

a — функция, линейная относительно и^’_ , u^’_ , u .

Уравнение (1.4.5) становится особенно простым, если в нем коэффициенты а и с окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное уравнение (1.4.1) можно было привести к такому простому виду, надо в нем сделать замену переменных

подобрав функции  и  так, чтобы они являлись решениями уравнения:

(1.4.6)

Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема покажет, как связаны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения.

Теорема. Для того чтобы функция z = f(x, у) во всех точках области G удовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы, семейство

(1.4.7)

было общим интегралом уравнения

(1.4.8)

в той же области G.

Доказательство. Необходимость. Пусть z = f(x, у)— решение уравнения (1.4.6). Рассмотрим семейство кривых f(x, у) — k и докажем, что любая кривая этого семейства удовлетворяет уравнению (1.4.7).

В любой точке, лежащей на кривой f(x, у) = k (где k — фиксировано), выполняется следующее равенство:

действительно вдоль данной кривой функция f(x, у) постоянна, и поэтому ее полный дифференциал равен нулю.

Следовательно, всюду на кривой имеет место равенство:

обозначим каждое из этих отношений через ; тогда

Подставляя эти выражения для dx и dy в левую часть уравнения (1.4.8), получим:

Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, так как, по условию, функция f(x, у) есть решение уравнения (1.4.6). Следовательно, во всех точках нашей кривой имеет место равенство

откуда вытекает, что она является интегральной кривой уравне­ния (1.4.8).

Итак, любая кривая вида f(x, у) = k является интегральной кривой уравнения (1.4.8); с другой стороны, через каждую точку области G проходит кривая такого вида; это вытекает из того, что функция f(x, у) определена всюду в области G и поэтому, на­пример, через точку (х₀, у₀) проходит кривая f(x,y)=f(x₀,y₀).

Отсюда следует, что семейство f(x, у) = k является общим интегралом уравнения (1.4.8).

Достаточность. Пусть семейство f(х, у)= k будет общим интегралом уравнения (1.4.8). Возьмем произвольную точку (х₀, у₀) из G и выделим ту кривую семейства, которая проходит через эту точку:

f(x, у) = k₀.

Так же, как и при доказательстве необходимости, убеждаемся, что всюду вдоль этой кривой выполняется равенство

откуда

(1.4.10)

Так как кривая является интегральной кривой уравнения (1.4.8), то при подстановке в это уравнение dx и dy из (1.4.10), получим тождество:

или, после сокращения на ²:

В частности, в точке (х₀, у₀) имеет место:

Но последнее равенство означает, что функция двух переменных f(x, у) удовлетворяет в точке (х₀, у₀) уравнению (1.4.7). Так как точка (х₀, y₀) была взята произвольно в области G, то функция f(x, у) удовлетворяет уравнению (1.4.7) во всех точках этой области, т. е. эта функция является одним из решений уравнения (1.4.7).

Таким образом, теорема доказана.

Рассмотренная теорема открывает путь для упрощения исходного уравнения (1.4.1). Для этого сначала составляем вспомогательное уравнение (1.4.8); оно называется характеристическим уравнением для данного уравнения (1.4.1). Характеристическое уравнение есть обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, но второй степени. Разрешая его относительно y^’_x (предварительно разделив все члены уравнения на dx²), получим два уравнения:

(1.4.101)

(1.4.102)

(предполагается, что ас — b²<0, b² —ас>0 всюду в области G). Пусть общий интеграл уравнения (1.4.10₁) имеет вид

(х, у)= k ,

(1.4.111)

а общий интеграл уравнения (1.4.10₂)

(х, у)= k.

(1.4.112)

Интегральные кривые характеристического уравнения (т. е. все кривые, входящие в семейства (1.4.11₁) и (1.4.11₂)) называются характеристиками заданного дифференциального уравнения (1.4.1). В связи с этим рассматриваемый метод упрощения уравнения (1.4.1) называется методом характеристик.

Семейства (1.4.11₁) и (1.4.11₂) можно рассматривать, как общие интегралы уравнения (1.4.8) (это уравнение распадается на два уравнения (1.4.10₁) и (1.4.10₂)).

Следовательно, согласно доказанной теореме, функции

z=(х, у) и z=(х, у)

являются решениями уравнения в частных производных (1.4.6).

Функции (х, у) и (х, у) независимы друг от друга (можно доказать, что их якобиан отличен от нуля, если ас- b²<0). Поэтому, возвращаясь к уравнению (1.4.1), мы можем в нем сделать замену переменных:

Так как функции  и  удовлетворяют уравнению (1.4.6), то в результате этой замены переменных окажется и . Следовательно, уравнение (1.4.1) преобразуется к виду:

или, после деления на 2b и переноса в другую часть равенства:

где – функция, линейная относительно и^’_ , u^’_ , u (см. выше, формула (1.4.5)).

Полученное уравнение имеет более простой вид, чем исходное уравнение (1.4.1); если мы его сможем решить (т. е. найти и как функцию от  и ), то для того, чтобы найти решение исходного уравнения, достаточно вернуться к старым переменным (выразив  и  через х и у).

1.5. Выводы

В данной главе представлены основные уравнения состояния реального газа, уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой среде. Дано описание задачи. Сформулированы физическая и математическая постановки температурной и гидродинамической задач. Описан метод характеристик, который использован для получения решения задачи в главе 2.

Глава 2. Аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом реального уравнения состояния

В данной главе приведены аналитические решения гидродинамической и температурной задач для произвольного уравнения состояния.

2.1. Решение гидродинамической задачи

Решение уравнения (I.4.1.1) приводит к необходимости решения дополнительной гидродинамической задачи для отыскания поля давления. Для описания движения газа воспользуемся квазистационарным уравнением неразрывности:

.

(2.1.1)

Скорость фильтрации газа сквозь пористую среду определяется законом Дарси:

.

(2.1.2)

Здесь - проницаемость пористой среды, - вязкость газа. Полагая, что и не меняются при движении газа к скважине, и что плотность газа зависит только от давления (баротропное приближение), перепишем уравнение неразрывности в следующем виде:

(2.1.3)

Функцию Лейбензона представим в виде:

,

(2.1.4)

где величины и А задаются граничными условиями. Подставляя функцию Лейбензона в уравнение (2.1.3), получим:

.

(2.1.5)

Учитывая, что для осесимметричного течения поле давлений является функцией координаты , уравнение (2.1.5) можно представить в виде:

(2.1.6)

Решение этого уравнения представим в виде:

,

(2.1.7)

где и - постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями. Пусть - давление на границе контура питания (при ), - давление в скважине (при ), тогда согласно (2.1.4) и (2.1.7)

	(2.1.8)
	(2.1.9)

Отсюда найдем выражение для и :

(2.1.10)

(2.1.11)

Подставив эти выражения в уравнение (2.1.7), получим:

(2.1.12)

Выражение (2.1.12) представляет неявную зависимость давления Р от координаты r, если известна зависимость плотности от давления . Очевидно, что при рассмотрении баротермического эффекта в пластах газ нельзя рассматривать как идеальный, поскольку коэффициент Джоуля-Томсона для идеального газа равен нулю. Поэтому в дальнейшем плотность газа будем представлять в виде какого-либо уравнения для реального газа (например, уравнения Ван-дер-Ваальса).

Используя (2.1.12), получим выражение для градиента давления в виде:

(2.1.13)

Найденное выражение для градиента давления позволяет преобразовать температурную задачу к виду удобному для аналитического решения. Решение температурной задачи рассматривается в следующем параграфе.

2.2. Решение температурной задачи

С учетом (2.1.13) и закона фильтрации Дарси (2.1.2) задача (I.4.1.1) – (I.4.1.3) преобразуется к виду:

(2.2.1)

Условия (I.4.1.1) – (I.4.1.3) остаются неизменными. Вводя обозначение

(2.2.2)

представим уравнение Чекалюка в виде:

(2.2.3)

Будем рассматривать задачу при следующих условиях для температуры:

начальном

(2.2.4)

и граничном

(2.2.5)

Решение уравнения (2.2.3) методом характеристик дает зависимость координаты от времени :

.

(2.2.6)

Характеристика, удовлетворяющая условию :

(2.2.7)

определяет область применимости нестационарного решения

(2.2.8)

Уравнение (2.2.3) с учетом (2.2.6) можно представить в виде:

(2.2.9)

откуда

(2.2.10)

где

(2.2.11)

Исключив константу С из (2.2.10) и (2.2.11), окончательно получаем нестационарное решение:

.

(2.2.12)

Пределы применимости этого решения ограничены областью (2.2.8). Следовательно, рассматриваемое время должно удовлетворять условию: . Для моментов времени значения больше, чем , что соответствует зоне, по которой волна температуры уже прошла и где распределение температуры уже установилось, то есть . Для этой области

(2.2.13)

и стационарное решение, удовлетворяющее условию (2.2.5), имеет вид:

(2.2.14)

Выражения (2.2.12) и (2.2.14) полностью решают поставленную задачу для любого уравнения состояния

2.3. Выводы

В данной главе представлено аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом реального уравнения состояния, которая включает в себя температурную и гидродинамическую задачи.

Глава 3. Получение Аналитических выражений решения задачи о баротермическом эффекте с учетом барической сжимаемости

3.1. Решение гидродинамической задачи для линеаризованного уравнения состояния

Выпишем полученные решения для линеаризованного баротропного уравнения состояния

(3.1.1)

Вычислив интеграл, входящий в (2.2.3):

(3.1.2)

Представим зависимость между давлением и радиальной координатой r в виде:

(3.1.3)

Введем обозначение

(3.1.4)

Тогда уравнение (3.1.3) преобразуется к виду:

(3.1.5)

Откуда найдем

(3.1.6)

Физический смысл имеет только значение полученного выражения со знаком плюс перед квадратным корнем. Введем обозначения

(3.1.7)

(3.1.8)

которые позволяют представить подкоренное выражение в виде и упростить запись выражения (3.1.6)

(3.1.9)

Подставив (3.1.9) в (3.1.1), получим зависимость плотности от радиальной координаты r:

(3.1.10)

Полученные в данном разделе выражения позволяют построить решения задачи о баротермическом эффекте в случае линеаризованного уравнения состояния.

3.2. Температурная задача в линеаризованном случае

В этом случае нестационарное решение для температуры (3.1.5) записывается в виде:

(3.2.1)

Интеграл в (3.2.1) легко вычисляется; окончательно нестационарное решение представляется в виде

(3.2.2)

Выражения для G и H представляются формулами (3.2.5) и (3.2.6), а - для V представляется в виде, следующем из(2.2.8)

(3.2.3)

В пределе при α→0 из (3.2.2)-(3.2.3) следует известное решение для несжимаемой жидкости[4]:

(3.2.4)

Аналогично в стационарном случае из (2.2.14) получим:

(3.2.5)

В пределе при α→0 из (3.2.5) и (3.2.3) следует известное решение для несжимаемой жидкости[4]:

(3.2.6)

Выражения (3.2.2), (3.2.4) решают поставленную задачу о баротермическом эффекте при фильтрации газа в прискважинной зоне реальных газовых пластов. Такое решение поставленной задачи получено впервые. Поэтому представляет значительный и практический интерес анализ результатов расчетов на основе полученных решений, что и приведено в четвертой главе.

3.3. Выводы

В данной главе получено аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом барической сжимаемости, которая включает в себя решение гидродинамической задачи для линеаризованного уравнения состояния и температурную задачу в линеаризованном случае.

Глава 4. анализ результатов расчетов и Исследование температурных полей, возникающих при фильтрации газа

В данной главе приведен анализ результатов расчетов баротермического эффекта в прискважинной зоне газовых пластов применительно к реальным месторождениям газа.

4.1. Анализ результатов расчетов температурных полей

На рис. 1. приведены результаты расчетов величины баротермического эффекта от времени при различных барических сжимаемостях. В расчетах принято: ε=-0.5∙10^-5 ; r=0.1 ; с=850 ; k=10^-15 ; с_PL=84000000 ; µ=10^-5 ; R=100 ; ρ=150 ; α=10^-7 ; P=100∙10⁵ ; P₀=150∙10⁵ ; P_C=200∙10⁵ ; P_W=150∙10⁵ .

Из рисунка видно, что изменение температуры подчиняется следующим закономерностям. Линейное нарастание температурного эффекта при малых временах сменяется логарифмической стабилизацией - при больших временах. Время, при котором происходит смена линейного нарастания на логарифмическую стабилизацию, зависит от барической сжимаемости; с увеличением сжимаемости это время уменьшается.

В еличина температурного эффекта также сильно зависит от сжимаемости. С увеличением сжимаемости величина температурного эффекта возрастает. Коэффициент барической сжимаемости приблизительно обратно пропорционален давлению. Реальные значения этого коэффициента в условиях газовых пластов лежат в пределах от 3 10^-8 Па^-1 до 10^-5; поэтому величина эффекта лежит в пределах до –10  –15 К.. Это хорошо согласуется с величиной измеряемых в скважинных условиях температурных эффектов.

Рис.1. Зависимость величины баротермического эффекта от времени при различных барических сжимаемостях. Обозначения: 1 -  = 3 10-4 Па-1, 2 – 10-5, 3 – 10-6, 4 – 10-7, 5 – 5 10-8

Важно отметить, что согласно разработанной нами теории время установления температурного эффекта при   10^-8 Па^-1, что часто встречается на практике, составляет около суток. Этот факт чрезвычайно важен при практическом использовании баротермического эффекта.

На рис. 2 показана зависимость баротермического эффекта от времени при различных относительных вязкостях. Из рисунка видно, что величина температурного эффекта возрастает со временем тем больше, чем меньше относительная вязкость. В расчетах принято: ε=-0.5∙10^-5 ; r=0.1 ; с=850 ; k=10^-15 ; с_PL=84000000 ; µ=10^-5 ; R=100 ; ρ=150 ; α=10^-7 ; P=100∙10⁵ ; P₀=150∙10⁵ ; P_C=200∙10⁵ ; P_W=150∙10⁵ .

Рис 2. Зависимость нестационарной температуры от времени при различных относительных вязкостях. Обозначения: 1- µ = 10-5; 2 -2∙10-5 ; 3 – 3∙10-5; 4 -4∙10-5

На рис. 3. показана зависимость баротермического эффекта от времени при различных относительных проницаемостях. Из рисунка видно, что величина температурного эффекта возрастает со временем тем больше, чем больше относительная проницаемость. В расчетах принято: ε=-0.5∙10^-5 ; r=0.1 ; с=850 ; с_PL=84000000 ; µ=10^-5 ; R=100 ; ρ=150 ; α= 10^-7 ; P=100∙10⁵ ; P₀=150∙10⁵ ; P_C=200∙10⁵ ; P_W=150∙10⁵ .

Рис 3. Зависимость нестационарной температуры от времени при различных относительных проницаемостях.Обозначения:1- k = 10-15 м2; 2 -2∙10-15 ; 3 – 3∙10-15; 4 -4∙10-15

На рис. 4 показана зависимость баротермического эффекта от времени на различных расстояниях от оси скважины. Из рисунка видно, что величина температурного эффекта возрастает со временем тем больше, чем меньше радиус скважины. В расчетах принято: ε=-0.5∙10^-5 ; с=850 ; k=10^-15 ; с_PL=84000000 ; µ=10^-5 ; R=100 ; ρ=150 ; α=10^-7 ; P=100∙10⁵ ; P₀=150∙10⁵ ; P_C=200∙10⁵ ; P_W=150∙10⁵ .

Рис 4. Зависимость нестационарной температуры от времени при различных радиусах скважины. Обозначения: 1- r =0.1 м; 2 -0.2 ; 3 – 0.3; 4 -0.5.

На рис. 5. показана зависимость баротермического эффекта от радиуса скважины при различных временах. Из рисунка видно, что величина температурного эффекта убывает со временем. Чем меньше радиус скважины, тем больше величина температурного эффекта, при увеличении радиуса скважины температурный эффект уменьшается и стабилизируется. В расчетах принято: ε=-0.5∙10^-5 ; с=850 ; k=10^-15 ; с_PL=84000000 ; µ=10^-5 ; R=100 ; ρ=150 ; α=10^-7 ; P=100∙10⁵ ; P₀=150∙10⁵ ; P_C=200∙10⁵ ; P_W=150∙10⁵ .

Рис 5. Зависимость нестационарной температуры от радиуса скважины при различных временах. Обозначения: 1- t =10 000 с; 2 -100 000 ; 3 – 1 000 000.

На рис. 6. показана зависимость баротермического эффекта от времени при различных радиусах контура питания. Из рисунка видно, что величина температурного эффекта убывает при увеличении радиуса контура питания. В расчетах принято: ε=-0.5∙10^-5 ; r_W=0.1 ; с=850 ; k=10^-15 ; с_PL=84000000 ; µ=10^-5 ; ρ=150 ; α=10^-7 ; P=100∙10⁵ ; P₀=150∙10⁵ ; P_C=200∙10⁵ ; P_W=150∙10⁵ .

На рис. 7. показана зависимость баротермического эффекта от теплоёмкости при различных временах. В расчетах принято: ε=-0.5∙10^-5 ; r_W=0.1 ; k=10^-15 ; с_PL=84000000 ; µ=10^-5 ; R=100 ; ρ=150 ; α=10^-7 ; P=100∙10⁵ ; P₀=150∙10⁵ ; P_C=200∙10⁵ ; P_W=150∙10⁵ .

Из рисунка видно, что величина температурного эффекта возрастает при увеличении теплоемкости.

Рис 6. Зависимость нестационарной температуры от времени при различных радиусах контура питания. Обозначения: 1- R =25 м; 2 -50; 3 – 100; 4 -200; 5 - 250.

Рис 7. Зависимость нестационарной температуры от теплоёмкости при различных временах. Обозначения: 1- t =100 000 c; 2 -1 000 000; 3 – 10 000 000.

На рис. 8. показана зависимость баротермического эффекта от относительной вязкости при различных временах. Из рисунка видно, что величина температурного эффекта возрастает при уменьшении относительной вязкости. В расчетах принято: ε=-0.5∙10^-5 ; r_W=0.1 ; с=850 ; k=10^-15 ; с_PL=84000000 ; R=100 ; ρ=150 ; α=10^-7 ; P=100∙10⁵ ; P₀=150∙10⁵ ; P_C=200∙10⁵ ; P_W=150∙10⁵ .

Рис 8. Зависимость нестационарной температуры от относительной вязкости при различных временах. Обозначения: 1- t =100 000 c; 2 -1 000 000; 3 – 1 500 000.

На рис. 9. показана зависимость баротермического эффекта от времени при различных коэффициентах барической сжимаемости. Из рисунка видно,

Рис 9. Зависимость нестационарной температуры от времени при различных коэффициентах барической сжимаемости. Обозначения: 1- α =0,0003 Па-1; 2 -0,00001; 3 -0,000001; 4 -0,0000001;5 – 0,0000005.

что при уменьшении барической сжимаемости величина температурного эффекта уменьшается. В расчетах принято: ε=-0.5∙10^-5 ; r_W=0.1 ; с=850 ; k=10^-15 ; с_PL=84000000 ; µ=10^-5 ; R=100 ; ρ=150 ; P=100∙10⁵ ; P₀=150∙10⁵ ; P_C=200∙10⁵ ; P_W=150∙10⁵ .

4.2. Изучение вклада сжимаемости в величину баротермического эффекта

На рис. 10 показана зависимость баротермического эффекта от коэффициента барической сжимаемости при различных временах для малого диапазона температур. Из рисунка видно, что при малых временах зависимость близка к линейной. При больших временах наблюдается небольшой спад температуры. В расчетах принято:ε=-0.5∙10^-5 ; r_W=0.1 ; с=850 ; k=10^-15 ; с_PL=84000000 ; µ=10^-5 ; R=100 ; ρ=150 ; α=10^-7 ; P=100∙10⁵ ; P₀=150∙10⁵ ; P_C=200∙10⁵ ; P_W=150∙10⁵ .

Рис. 10. Зависимость нестационарной температуры от коэффициента барической сжимаемости при различных временах. Обозначения: 1- t = 100 c; 2 -1000 ; 3 – 10 000; 4 -100 000.

На рис. 11. показана зависимость стационарной температуры от коэффициента барической сжимаемости. Из рисунка видно что величина температурного эффекта в стационарном случае не зависит от коэффициента барической сжимаемости. В расчетах принято: ε=-0.5∙10^-5; r_W=0.1; с=850; k=10^-15; с_PL=84000000; µ=10^-5; R=100; ρ=150; P=100∙10⁵; P₀=150∙10⁵; P_C=200∙10⁵; P_W=150∙10⁵.

Рис. 11 Зависимость стационарной температуры от коэффициента барической сжимаемости.

На рис. 12. приведена зависимость времени установления температуры от коэффициента барической сжимаемости.

Рис 12. Зависимость времени установления температуры от коэффициента барической сжимаемости.

Итак, изучение вклада сжимаемости в величину баротермического эффекта показывает, что в нестационарных полях величина температурного эффекта сильно зависит от сжимаемости, а после установления температуры не зависит от сжимаемости.

4. 3. Выводы

В данной главе сделан анализ результатов расчетов и исследованы температурные поля, возникающих при фильтрации газа. Показано, что величина температурного эффекта составляет около 20 К. Время установления температурного эффекта сильно зависит от проницаемости и для реальных значений проницаемости составляет приблизительно сутки. Это важно учитывать при интерпритации результатов термических исследований скважин.

Изучен вклад сжимаемости в величину баротермического эффекта. Показано, что в нестационарных полях величина температурного эффекта сильно зависит от сжимаемости, а после установления температуры не зависит от сжимаемости.

Показано, что время установления баротермического эффекта зависит от барической сжимаемости и лежит в пределах до 10⁹ с при α~10^-8 Па^-1. При α~10^-8 Па^-1 время полного установления составляет (приблизительно) три года. Значит температурные поля в газовом пласте практически всегда нестационарны.

Заключение

В ходе проделанной работы были получены следующие результаты:

1. Описаны основные уравнения состояния реального газа, уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой среде.

2. Представлено аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом реального уравнения состояния.

3. Получено аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом барической сжимаемости.

4. Сделан анализ результатов расчетов и исследование температурных полей, возникающих при фильтрации газа.

5. Исследованы температурные поля и изучен вклад сжимаемости в величину баротермического эффекта. Показано, что в нестационарных полях величина температурного эффекта сильно зависит от сжимаемости, а после установления температуры не зависит от сжимаемости.

6. При α~10^-8 Па^-1 время полного установления температуры составляет (приблизительно) три года. Это означает, что температурные поля в газовом пласте практически всегда нестационарные. Следует отметить при этом что логарифмическая стабилизация достигается при времени около суток.

Список использованной литературы

1. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Статистическая физика// М.,1964.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел// М: Наука. 1964. 487с.

3. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей// М., Наука. 1972.

4. Филиппов А. И., Фридман А. А., Девяткин Е. М. Баротермический эффект при фильтрации газированной жидкости: Монография. - Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. ин-т; Стерлитамакский филиал Академии наук Республики Башкортостан, 2000. – 175с.

5. Филиппов А. И. Скважинная термометрия переходных процессов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989. – 116с.

6. Очан Ю. С. Методы математической физики// М: Высшая школа. 1965. 383с.

7. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. – М.: Наука, 1971. – 940с.

8. Морачевский А. Г., Сладков И. Б. Физико – химические свойства молекулярных неорганических соединений. – С. Пб.: Химия, 1996. – 312с.

9. Баскаков А. П., Гуревич М. И., Решетин Н. И. и др. Общая теплотехника. – М.-Л.: Государственное энергетическое издательство, 1963. – 392с.