149596 (Лекции по гидравлике), страница 12

Из этой системы уравнений: Таким образом, безразмерным

комплексом по этому параметру может быть: Параметр у.

>* ' откуда получим:

и найдём: . Таким образом, безразмерным комплексом по

этому параметру может быть: . Эта безразмерная величина называется

числом Фруда, Fr. Параметр /и.

и найдём:

Полученный безразмерный комплекс называется числом Рейнольдса, Re. Выполняя аналогичные операции с остальными параметрами можно найти:

число Эйлера, число Вебера, We.

число Коши, Са. В итоге получим как результат:

Поскольку, в большинстве случаев силами поверхностного натяжения можно пре­небречь, а жидкость считать несжимаемой средой, можно упростить запись предыдущего выражения, решив последнее уравнение относительно Ей:

Считая канал круглой цилиндрической трубой, и принимая , получим:

Множитель был вынесен за скобки ввиду того, что потери напора по длине пропор­циональны длине канала конечных размеров. Далее учитывая, что: , по­лучим:

Обозначим: Эту величину принято называть коэффициен-

том сопротивления трения по длине или коэффициентом Дарси. Окончательно для круглых труб, учитывая, что :

Эта формула носит название формулы Дарси-Вейсбаха и является одной из основ­ных формул гидродинамики.

Коэффициент потерь напора по длине будет равен:

Запишем формулу Дарси-Вейсбаха в виде:

Величину называют гидравлическим уклоном, а величину называ-

ют коэффициентом Шези.

Величина имеет размерность скорости и носит название динамической

скорости жидкости.

Тогда коэффициент трения (коэффициент Дарси):

' ' 6. Режимы движения жидкости

6.1. Экспериментальное изучение движения жидкости

При проведении многочисленных экспериментов с потоками движущейся жидкости было неоднократно подмечено, что на величину гидравлических сопротив­лений кроме физических свойств самой жидкости, формы и размеров каналов, со­стояния их стенок, существенное влияние оказывает особенности движения частиц жидкости в потоке. Впервые дал теоретическое обоснование этой зависимости английский физик Осборн Рейнольде. Суть его эксперимента заключалась в следующем.

В ёмкость А достаточного большого объёма была вставлена длинная (не менее 20 диаметров) стеклянная трубка Г. На конце этой трубки устанавливался кран Д для регули­рования расхода жидкости. Измерение расхода жидкости осуществлялось с помощью мерной ёмкости Б, расположенной в конце трубки. Из малого бачка В с помощью тонкой изогнутой трубки Е по центру основной трубки вводилась подкрашенная жидкость. Её расход также регулировался с помощью краника. Уровень жидкости в основном баке А поддерживался постоянным. Плавно меняя расход жидкости в трубке, Рейнольде отметил, что при малых скоростях движения жидкости подкрашенная струйка жидкости текла по центру потока жидкости, не смешиваясь с остальной жидкостью потока. Однако при оп­ределённой скорости жидкости подкрашенная струйка жидкости теряла свою устойчи­вость и, в конечном итоге, частицы окрашенной жидкости перемешивались с остальной жидкостью. При снижении скорости движения жидкости положение восстанавливалось: хаотичное движение частиц жидкости снова становилось упорядоченным. Рейнольде ме­нял длину и диаметр трубки, вязкость жидкости, количество подкрашенных струек жид­кости и установил, что эффект перемешивания (смена режима течения жидкости) зависит от скорости движения жидкости, её вязкости и от диаметра трубки, причём при увеличе­нии вязкости жидкости для смены режима течения жидкости требовалась большая ско­рость. Отсюда Рейнольде сделал вывод, что смена режима движения жидкости зависит от целого комплекса параметров потока, а именно от соотношения:

которое получило название числа Рейнольдса. Число Рейнольдса оказалось безраз­мерной величиной, представлявшей собой отношение сил инерции к силам вязкостного

трения. Была установлена и критическая величина числа Рей­нольдса, при котором происходила смена режима движения жидкости R.e_Kp, она оказалась равной 2320.

Режим движения жидкости, при котором наблюдалось плавное, слоистое движение жидкости был назван ламинар­ным (слоистым) режимом движения жидкости. Режим движе­ния жидкости сопровождавшийся хаотическим движением частиц жидкости в потоке был назван турбулентным (беспо­ рядочным). Важным оказалось то обстоятельство, что при смене режима движения существенно менялась зависимость величины гидравлических сопротивлений от скорости движения жидкости. Этот факт можно проиллюстрировать на графике зависимости потерь напора от скорости, построенных в билогарифмической сис­теме координат.

Зависимость состоит из двух участков: ламинарного (АВ) и турбулентного (ВС} ре­жимов движения жидкости. Каждому из участков соответствует уравнение:

Для ламинарного участка (АВ) наклон линии к оси абсцисс k = tg45° = 1, для турбу­лентного участка (ВС) наклон линии превышает 1 и изменяется в пределах 1,75 - 2,0. 6.2. Ламинарное движение жидкости

Касательные напряжения. Рассмотрим правила определения величины касательных

напряжений на примере потока жидкости в круглой цилиндрической трубе. Двумя сечения­ми выделим в потоке жидкости отсек длиной /. На данный отсек жидкости будут действовать силы давления, приложенные к площадям жи­ вых сечений потока жидкости слева и справа и сила трения, направленная в сторону обратную движению жидкости. Поскольку движение жидкости установившееся, то все действующие на отсек жидкости силы должны быть уравновешены. < • -

где: г₀ - касательные напряжения на боковой поверхности отсека жидкости.

Касательные напряжения на периферии отсека жидкости (у стенки трубы) будут равны:

Очевидно, это будут максимальная величина касательных напряжений в отсеке жид­кости. Вычислим величину касательных напряжений на расстоянии г от оси трубы.

Таким образом, касательные напряжения по сечению трубы изменяются по линей­ному закону; в центре потока (на оси трубы) г=0 касательные напряжения т= 0.

Распределение скоростей в ламинарном потоке. Поскольку ламинарный поток жид­кости в круглой цилиндрической трубе является осе симметричным, рассмотрим, как и ранее, лишь одно (вертикальное сечение трубы). Тогда, согласно гипотезе Ньютона:

Отсюда видно, что распределение скоростей в круглой цилиндрической трубе соот­ветствует параболическому закону. Максимальная величина скорости будет в центре тру­бы, где = О

Средняя скорость движения жидкости в ламинарном потоке. Для определения вели­чины средней скорости рассмотрим живое сечение потока жидкости в трубе Затем прове­дём в сечении потока две концентрические окружности, отстоящие друг от друга на бес­конечно малое расстояние dr. Между этими окружностями мы, таким образом, выделили

малую кольцевую зону, малую часть живого сечения потока жидкости. Расход жидкости через выделенную кольцевую зону:

Расход жидкости через полное живое сечение трубы:

величина средней скорости в сечении:

Потери напора в ламинарном потоке жидкости. Для ламинарного потока жидкости в круглой трубе можно определить коэффициент трения через число Рейнольдса. Вычислим величину гидравлического уклона из средней скорости жидкости.

Отсюда:

Тогда:

Окончательно потери напора при ламинарном движении жидкости в трубе:

j

Несколько преобразовав формулу для определения потерь напора, получим формулу Пуазейля:

6.3. Турбулентное движение жидкости

Структура турбулентного потока. Отличи­тельной особенностью турбулентного движения жидкости является хаотическое движение час­тиц в потоке. Однако при этом часто можно на­ блюдать и некоторую закономерность в таком

движении. С помощью термогидрометра, прибора позволяющего фиксировать изменение скорости в точке замера, можно снять кривую скорости. Если выбрать интервал времени достаточной продолжительности, то окажется, что колебания скорости наблюдаются око­ло некоторого уровня и этот уровень сохраняется постоянным при выборе различных ин­тервалов времени. Величина скорости в данной точке в данный момент времени носит на­звание мгновенной скорости. График изменения мгновенной скорости во времени u(t) представлена на рисунке. Если выбрать на кривой скоростей некоторый интервал времени и провести интегрирование кривой скоростей, а затем найти среднюю величину, то такая величина носит название осреднённой скорости

Разница между мнгновенной и осреднённой скоростью называется скоростью пуль­сации и'.

Если величины осреднённых скоростей в различные интервалы времени будут оставаться постоянными, то такое турбулентное движение жидкости будет устано­вившемся.

При неустановившемся турбулентном движении жидкости величины щсреднённых скоростей меняются во времени