Угловая скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Векторная величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени и численно равная второй производной от угла поворота по времени, называется угловым ускорением:

Если положение и радиус окружности, по которой происходит вращение не изменяется со временем, то έ совпадает по направлению с направлением ω в случае ускоренного вращательного движения и противоположна в случае замедленного вращения.

Связь между линейной и угловой скоростью и ускорением.

О тдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v , которые непрерывно изменяют свое направление и зависят от ω и расстояния r соответствующей точке до оси вращения.

Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения проходит путь ΔS = rΔφ.

П

оделим обе части равенства на Δt:

, при Δt 0 получим пределы от левой и правой частей равенства:

Но

Таким образом, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. Известно, что

Откуда

И з написанных формул видно, что a_τ, a_n и a растут с увеличением расстояния точек до оси вращения. Формула v = ωr устанавливает связь между модулями векторов v, r, и ω, которые перпендикулярны друг к другу.

Т .к. ω | r ,то можно написать v = ω∙r∙sina это ничто иное как модуль векторного произведения. Таким образом

v = [ ω r ]

Рассмотренные простейшие виды движения твердого тела важны потому,

что любое движение твердого тела сводится к ним.

Рассмотрим два последовательных положения тела А₁ и А₂. Из положения А₁ в положение А₂ тело можно перевести следующим образом: вначале А₁ в А¹ поступательно. Затем из положения А¹ в положение А₂ путем поворота на угол φ вокруг произвольной точки 0.

Следует отметить, что в вращательному движению применимы все формулы кинематики материальной точки с заменой в них линейных величин на соответствующие угловые.

Например:

Колебательное движение.

Колебаниями или колебательными движениями являются движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания весьма разнообразны по своей природе: колеба­ния пружинного маятника, качания маятников, колебания струн, вибра­ции фундаментов, качка корабля, колебания ветвей деревьев и т.д.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени: положение маятника в часах, Т – период, v = 1/T.

При изучении кинематики колебательных движений нас интересуют:

- закон, по которое повторяется движение;

- время, через которое тело (система) снова приходит к тому же самому состоянию;

- наибольшие отклонения, которых достигает движущееся тело и т.д.

Изучив эти характеристика колебательного движения, мы можем определить состояние тела (системы) в любой момент времени.

Все сложные виды колебательных движений можно свести к простейшим гармоническим колебаниям. Гармоническими колебаниями физической величины a называется процесс изменения ее во времени по закону sin или cos.

Например: колебания математического маятника, x = x₀cosωt колебания пружинного маятника.

А

налогично колебательного движения можно получить, если рассмотреть закон изменения проекции точки, движущейся по окружности на линию, лежащую в плоскости движения точки.

Е сли радиус окружности r, угловая скорость вращения ω , то проекция

y = r sinφ = r sinωt

если было начальное смещение на φ_0,

y = r sin ( ωt + φ₀ )

Аргумент синуса (или cos) наз. фазой. Фаза определяет положение колеблющейся величины в данный момент времени. φ₀ – начальная фаза, которая определяет положение точки в начальный момент времени t = 0

y = y₀ sinφ₀

ω - круговая или циклическая частота, т.е. число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц времени:

ω = 2πv = 2π/Т

где v - частота колебаний, т.е. число полных колебаний за единицу времени;

Т - период колебания - наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение, т.е. время, за которое совершается полное колебание; у – смещение точки - удаление от положения равновесия в данный момент времени; у₀ - амплитуда колебания - (наибольшее значение колеблющейся функции).

Вычислим скорость и ускорение точки, совершающей гармоническое колебание:

Знак " – " означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению. Изменение y, v, a с течением времени можно представить так:

t	y	v	a
0	0	ωy0	0
T/4	y0	0	– ω2 y0
T/2	0	– ωy0	0
3T/4	– y0	0	ω2 y0
T	0	ωy0	0

Г

рафически эти зависимости имеют вид:

Из таблицы и графика следует, что скорость имеет максимальные значения, когда точка проходит положения равновесия, а ускорение максимально в крайних положениях.

Сложение колебаний

Из теорий гармонического анализа известно, что любую периоди­ческую функцию f(x), имеющую период 2π, можно представить в виде тригонометрического ряда:

где a₀, a_n, b_n - коэффициенты этого ряда, определяемые по формулам:

Следовательно, любое сложное колебание можно предста­вить как сумму нескольких простых. Чтобы знать, как зависят парамет­ры сложного колебания от соотношения частот, амплитуд, фаз и направлений слагаемых колебаний, рассмотрим наиболее простые случаи сложения гармонических колебаний.

1. Сложение двух колебаний одного направления.

а) сложение 2-х колебаний одинаковой частоты.

ω₁ = ω₂ = ω, Т₁ = Т₂ = Т Уравнения колебаний отличаются только начальной фазой и амплитудой и имеют вид:

Представим оба колебания в виде векторов амплитуды Х₀₁ и Х₀₂, Сложение векторов выполним графически.

О

тложим от точки 0 под углом φ₁ – вектор Х₀₁, под углом φ₂ – вектор Х₀₂. Обе амплитуды вращаются с одинаковой угловой скоростью и против часовой стрелки. Следовательно, угол между амплитудами остается постоянным, равным (φ₂ – φ₁). Вектор Х₀ представляет собой гармоническое колебание, происходящее с той же частотой и амплитудой │Х₀│= │Х₀₁+ Х₀₂│ и начальной фазой φ. Из чертежа

Само результирующее колебание имеет вид:

Важно заметить, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ – φ₁) слагаемых колебаний.

Она заключена в пределах:

1. Если разность начальных фаз слагаемых колебаний, равна четному числу π, φ₂ – φ₁ = кπ , то Х₀ = Х₀₁ + Х₀₂, tg φ = tg φ₁, φ = φ₁, к = 0,1,2, …

Колебания однофазные и усиливают друг друга.

t

2) Если φ₂ – φ₁ = (2к+1)π , то Х₀ = Х₀₁ - Х₀₂ , к = 0,1,2,… следовательно колебания ослабляют друг друга

3) Если Х₀₁ = Х₀₂ , ω₁ = ω₂ = ω , φ₂ = φ₁

Уравнение результирующего колебания имеет вид:

– начальная фаза результирующего колебания.

Результирующее колебание гармоническое, отличающееся по фазе от слагаемых колебаний на половину суммы их начальных фаз.

При φ₁ – φ₂ = 2кπ , (к = 0,1,2,…) Х₀ = 2Х₀₁ – колебания усиливаются.

При φ₁ – φ₂ = (2к + 1)π , (к = 0,1,2,…) Х₀ = 0 – колебания гасятся.

2. Биения.

Особый интерес представляет сложение колебаний одинакового направления с одинаковыми амплитудами, имеющими (близкие) мало отличающиеся частоты.

Результирующее суммарное колебание имеет уравнение:

Полученное выражение представляет собой произведение 2-х гармонических сомножителей с частотами и .

Если ω₁ мало отличается от ω₂ , то частота имеет близкие значения к ω₁ и ω₂ , а частота – будет очень мала, т.е.

Отсюда следует, что результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебательное движение, происходящее с круговой частотой , периодом и амплитудой

Причем амплитуда не остается постоянной, а медленно изменяется со временем. Частота изменения амплитуды ,

а период амплитуды

Такие колебания называются биениями. Биения - такие колебания, амплитуда которых периодически возрастает и убывает по закону cos. Максимальная амплитуда наблюдается, если фазы слагаемых колебаний совпадают. Ясли эти колебания находятся в противофазе, то они гасят друг друга.

Биения часто встречаются при сложении колебаний и широко используются в радиотехнике.

1. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

1. Рассмотрим движение точки М₁, участвующей одновременно в 2-х взаимно перпендикулярных колебаниях, частоты которых ω₁ и ω₂ равны (ω₁ = ω₂ = ω), амплитуды соответственно а и в.

Колебательный процесс в этом случае описывается системой уравнений:

где φ – угол сдвига фаз.

Для определения уравнения траектории движения точки из системы уравнений исключим время. Из первого уравнения