Uslovie (Пример решения ДЗ №1)
Описание файла
Документ из архива "Пример решения ДЗ №1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Uslovie"
Текст из документа "Uslovie"
Задача 1.
Найти решение линейного уравнения второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям (задача Коши)
-
Определим вид уравнения:
- следовательно исходное уравнение является уравнением гиперболического типа. -
Составим характеристическое уравнение:
Решим это уравнение относительно
-
Найдем общие интегралы каждого из полученных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:
Возьмём:
- канонические переменные -
Запишем составляющие исходного уравнения через канонические переменные:
-
Подставим полученные выражения в исходное уравнение и, приводя подобные, получаем:
Решаем уравнение, при
Патенциируя уравнение, имеем:
-
Полученное равенство проинтегрируем по :
Общее решение канонического уравнения имеет вид:
-
Подставляем канонические переменные и получаем общее решение исходного уравнения:
-
Полагая y=0, получаем систему уравнений:
Дифференцируем первое уравнение:
Суммируем со вторым, получаем:
Окончательный вид, при x=t:
Задача 2.
Решить методом Фурье задачу со стационарными неоднородностями.
-
Решаем задачу:
Подставляем в граничные условия:
Следовательно z(x)=-shx+x. -
C учетом полученного уравнения получим задачу для функции (x,t):
-
Находим частные решения первого в системе уравнения, удовлетворяющие условиям ниже и которые имеют специальный вид: , при этом они образуют бесконечное счетное множество:
-
Составим ряд из этих решений: , в силу однородности линейности задачи этот ряд при любых также является решением уравнения(в системе первое), удовлетворяющим условиям ниже.
Задача 3.
Найти распределение концентрации нейтронов в бесконечном слое , , , если скорость размножения нейтронов пропорциональна их концентрации(коэффициент пропорциональности равен 3) при наличии объемных источников нейтронов с плотностью мощности . Поверхности x=0 и непроницаемы дл нейтронов. Коэффициент диффузии равен 5. Начальная концентрация нейтронов равна нулю.