Решение задач (Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач), страница 2

Событию A благоприятствуют 3 исхода:

Событию B благоприятствуют 7 исходов: все исходы, кро­ме Тогда n = 8; m_A = 3; m_B = 7; P(A) = ³₈ ; P(B) = ⁷₈.

Задача. 1.2.9 На отрезке единичной длины случайным об­разом появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка больше 1/8.

Решение. По условию задачи искомому событию удовле­творяют все точки, появляющиеся на интервале (a; b).

Так как его длина s = 1 - ¹₈ + ¹₈ = ³₄, а длина всего отрезка S = 1, то искомая ве­роятность равна P = s/S = ^3/₁⁴ = 0.75.

Задача. 1.2.10 В партии из n изделий k изделий являются бракованными. Для контроля выбирается m изделий. Най­ти вероятность того, что из m изделий l окажутся брако­ванными (событие А).

Решение. Выбор m изделий из n можно осуществить способами, а выбор l бракованных из k бракованных — способами. После выбора l бракованных изделий останется (m - l ) годных, находящихся среди (n - k) изделий. Тогда число исходов, благоприятствующих событию A, равно ·

и искомая вероятность

Задача. 1.3.1 B урне 30 шаров: 15 красных, 10 синих и 5 белых. Найти вероятность того, что наугад вынутый шар — цветной.

Решение. Пусть событие A — вынут красный шар, собы­тие B — вынут синий шар. Тогда события (A + B) — вынут цветной шар. Имеем P(A) = ¹₃ ⁵₀ = ¹₂ , P(B) = ¹₃ ⁰₀ = ¹₃. Так как

события A и B несовместны, то P(A + B) = P(A) + P(B) = ¹₂ + ¹₃ = ⁵₆ = 0.83.

Задача. 1.3.2 Вероятность того, что будет снег (событие A), равна 0.6, а того, что будет дождь (событие B), равна 0.45. Найти вероятность плохой погоды, если вероятность дождя со снегом (событие AB) равна 0.25.

Решение. События A и B совместны, поэтому P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.6 + 0.45 - 0.25 = 0.8

Задача. 1.3.3 B первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором — 3 белых и 9 черных шаров, в третьем — 6 бе­лых и 6 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые.

Решение. Событие A — вынут белый шар из первого ящи­ка, B — из второго ящика, C – из третьего. Тогда P(A) = ₁²₂ = ¹₆; P(B) = ₁³₂ = ¹₄; P(C) = ₁⁶₂ = ¹₂. Событие ABC — все вынутые

шары — белые. События A,B,C — независимые, поэтому

P(ABC) = P(A)·P(B)·P(C) = ¹₆ · ¹₄ · ¹₂ = ₄¹₈ = 0.02

Задача. 1.3.4 B электрическую цепь последовательно включены 5 элементов, работающие независимо друг от друга. Вероятность отказов первого, второго, третье­го, четвертого, пятого элементов соответственно равны 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет (событие A).

Решение. Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один эле­мент. Событие A_i(i =1...5) — откажет i -й элемент. События

Задача. 1.3.5 Цепь состоит из независимых блоков, соеди­ненных в систему с одним входом и одним выходом.

Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятно­сти P ₁ = 0.1; P₂ = 0.2; P₃ = 0.3; P₄ = 0.4. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Найти надежность системы.

Решение. Если событие A — {СИСТЕМА НАДЕЖНА}, A_i — {i- й БЛОК РАБОТАЕТ БЕЗОТКАЗНО}, то A = (A₁ + A₂)(A₃ + A₄). События A₁+A₂, A₃+A₄ — независимые, события A₁ и A₂, A₃ и A₄ — совместные. По формулам умножения и сложения вероятностей

Задача. 1.3.6 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероят­ность того, что в течение часа станок не потребует вни­мания рабочего, равна для первого станка 0.9, для второго станка — 0.8, для третьего станка — 0.7.

Найти вероятность того, что в течение некоторого часа

1. потребует внимания второй станок;

2. потребуют внимания два станка;

3. потребуют внимания не менее двух станков.

Решение. Пусть A_i — i-й станок потребует внимания ра­бочего, — i-й станок не потребует внимания рабочего. Тогда

Пространство элементарных событий:

1. Событие A — потребует внимания второй станок: Тогда

Так как события несовместные и независимые. P(A) = 0.9·0.8·0.7 + 0.1·0.8·0.7 + 0.9·0.8·0.3 + 0.1·0.8·0.3 = 0.8

2. Событие B — потребуют внимания два станка:

3. Событие C — потребуют внимания не менее двух стан­
ков:

Задача. 1.3.7 B машину «Экзаменатор» введено 50 вопро­сов. Студенту предлагается 5 вопросов и ставится оценка «отлично», если на все вопросы получен верный ответ. Най­ти вероятность получить “отлично”, если студент подго­товил только 40 вопросов.

Решение. A — {ПОЛУЧЕНА ОЦЕНКА «ОТЛИЧНО»}, A_i — {ОТВЕТИЛ НА i- й ВОПРОС}. Тогда A = A₁A₂A₃A₄A₅, имеем:

Или, другим способом — c помощью формулы классической вероятности: и

Задача. 1.3.8 Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в I, II, III, IV ящике, соответственно рав­ны 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Найти вероятность того, что сборщику придется проверить все 4 ящика (событие A).

Решение. Пусть A_i — {Нужная сборщику деталь находит­ся в i-м ящике.} Тогда

Имеем :

Так как события несовместны и независимы, то

Задача. 1.4.1 Обследовалась группа из 10000 человек в возрасте свыше 60 лет. Оказалось, что 4000 человек яв­ляются постоянно курящими. У 1800 курящих обнаружи­лись серьезные изменения в легких. Среди некурящих изме­нения в легких имели 1500 человек. Какова вероятность того, что наугад обследованный человек, имеющий изме­нения в легких, является курящим?

Решение. Введем гипотезы: H₁ — обследованный является постоянно курящим, H₂ — является некурящим. Тогда по условию задачи

4000 6000

P(H₁)= ------- =0,4, P(H₂)=--------- =0,6

10000 10000

Обозначим через A событие, состоящее в том, что об­следованный имеет изменения в легких. Тогда по условию задачи

По формуле (1.15) находим

Искомая вероятность того, что обследованный человек является курящим, по формуле Байеса равна

Задача. 1.4.2 В продажу поступают телевизоры трех за­водов: 30% с первого завода, 20% — со второго, 50% — с третьего. Продукция первого завода содержит 20% теле­визоров со скрытым дефектом, второго — 10% , третьего — 5%. Какова вероятность приобрести исправный телеви­зор?

Решение. Рассмотрим события: A — приобретен исправ­ный телевизор; гипотезы H₁, H₂, H₃ — телевизор поступил в продажу соответственно с первого, второго, третьего заво­да. По условию задачи

По формуле (1.15) находим

Задача. 1.4.3 Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров. Из наугад выбран­ного ящика вынут белый шар. Найти вероятность того, что этот шар из второго ящика.

Решение. Пусть событие A — вынут белый шар, гипотезы H₁, H₂, H₃ — шар вынут соответственно из первого, второго, третьего ящика. Из условия задачи находим

Тогда по формуле (1.15) находим

По формуле (1.16) находим

Задача. 1.4.4 Телеграфное сообщение состоит из сигна­лов «точка» и «тире». Статистические свойства помех та­ковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передавае­мых сигналов «точка» и «тире» встречаются в соотноше­нии 5 : 3. Определить вероятность того, что принят пе­редаваемый сигнал, если:

а) принят сигнал «точка»;

б) принят сигнал «тире».

Решение. Пусть событие A — принят сигнал «точка», а со­бытие B — принят сигнал «тире».

Можно сделать две гипотезы: H₁ — передан сигнал «точ­ка», H₂ — передан сигнал «тире». По условию P(H₁) : P(H₂) =5 : 3. Кроме того, P(H₁) + P(H₂) = 1. Поэтому P(H₁) = 5/8, P(H₂) = 3/8. Известно, что

Вероятности событий A и B находим по формуле пол­ной вероятности:

Искомые вероятности будут:

Задача. 1.4.5 Из 10 каналов радиосвязи 6 каналов защи­щены от воздействия помех. Вероятность того, что за­щищенный канал в течении времени t не выйдет из строя, равна 0.95, для незащищенного канала - 0.8. Найти ве­роятность того, что случайно выбранные два канала не выйдут из строя в течение времени t, причем оба канала не защищены от воздействия помех.

Решение. Пусть событие A - оба канала не выйдут из строя в течение времени t, событие A1 - выбран защищен­ный канал, A₂ - выбран незащищенный канал.

Запишем пространство элементарных событий для опыта - {выбрано два канала}:

Ω = {A₁A₁, A₁A₂, A₂A₁, A₂A₂}

Гипотезы: