АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 31

1. Какой вектор называется векторным произведением вектора на вектор ?

2. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если
   = (3, -1) и = (2, 6) - их нормальные векторы.

3. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?

4. Докажите, что прямая , лежит на цилиндрической
   поверхности .

5. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
   х²+4у²-2z²-2xz и найдите ее характеристические числа.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 32

1. Известно, что - направляющий вектор прямой в пространстве, - нормальный вектор плоскости. Какой угол могут образовывать векторы и , если прямая и плоскость перпендикулярны?

2. Найти точку М₀ (x₀, y₀, z₀) пересечения плоскости 5x – 2y + z = 1 и
   прямой

3. Что называется текущими координатами на поверхности F(х, у, z) = 0?

4. Докажите, что прямая лежит на параболоиде .

5. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4ху + 2х² + 5у² + 7z² = 70.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 33

1. Что называется уравнением первой степени относительно х, у, z?

2. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и точку М(1, 1,0).

3. Напишите каноническое уравнение эллипсоида.

4. Найдите точку пересечения прямой
   и гиперболоида х² + у² - z² = 1.

5. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка ? Как называется эта поверхность?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 34

1. Напишите условие перпендикулярности двух плоскостей.

2. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если
   = (3, 4) и = (-8, 6) - их направляющие векторы.

3. Дайте определение полуосей гиперболоида и эллипсоида.

4. Меридиан у² - z² = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
   3x² + 3y² - z² + 2xy = 12. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 35

1. Напишите условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.

2. Найти точку пересечения прямых 2х + 3у - 5 = 0 и х - у = 0, используя формулы Крамера.

3. Напишите уравнение второй степени относительно х, у, z.

4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость пересекает эллипсоид ? Напишите уравнение этого сечения.

5. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: 12х² + 12z² - 4у² + 8ху.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------