109269 (Автоматические устройства), страница 2

Зависимость от _i, _iz (i=1,2,3,4) для требуемой по условию скорости получается аналогично с помощью формул вида (2).

Указания к решению задачи.

Нелинейная система дифференциальных уравнений (3), (4) с заданными начальными условиями интегрируется в интервале времени 0, ₁. Запись выражений для _1z, _2z, _3z, _4z, V_cx, V_cy должна обеспечивать возможность присвоения последовательных значений этих переменных на каждом шаге интегрирования. В разных вариантах заданий наиболее компактная последовательность записи может быть различной,например _1z(_i, _kx), _2z(_i, _1z), _3z(_i, _1z, _2z), _4z(_i, _1z, _1z, _2z, _3z), V_cx(_i, _1z, _2z, _3z), V_сy(_i, _1z, _2z, _3z). На печать с шагом t=/24 выводятся переменные t, ₁, ₂, ₃, _1z, _2z, _3z, _4z или V_cx, V_cy.

Один из возможных вариантов решения задачи в котором уравнения (3), (4) интегрируются по конечноразностной схеме Эйлера, приведен в примере.

Контроль решения.

После решения задачи на ЭВМ проводится анализ таблицы результатов.Первая строка таблицы содержит найденные начальные значения _1z, _2z, _3z, _4z или V_cx, V_cy, и начальные значения ₁, ₂, ₃. Последняя строка с некоторой погрешностью счета должна повторять первую.

Построенные по результатам счета графики не должны иметь разрывов.

Последняя проверка производится путем сравнения результатов счета на ЭВМ с результатами графоаналитического решения задания,для чего механизм изображается в масштабе 1:10 в момент времени t=(N+1) t ((N+2)-я строка таблицы счета). Для этого положения необходимо найти мгновенные центры скоростей звеньев, их угловые скорости, изобразить векторы скоростей точек, в которых соединяются звенья, указать направление вращения звеньев. Результаты этого решения должны быть близкими с результатами решения задачи на ЭВМ, содержащимися в строке таблицы счета.

Пример выполнения задания.

(вариант 31, n=1, N=2)

1. Постановка задачи. Рассматривается плоский механизм с двумя степенями свободы. Движение точки М задано: V_мx=0, V_мy=Vsin(pt+).

Дано: =4,35рад; DA=r₁=0,953м; BC=r₃=0,457м;

BM=2r₃; AB=r₂=0,847м; ₁(0)=1,63рад; ₂(0)=3,37рад;

₃(0)=2,87рад; CP=0,5r₃; V₁=4,5м/c; =0,02рад;

=0,48c; t=0.02c; p=13,08c^-1.

2. Составление уравнений движения. Составляются уравнения для четырех неизвестных угловых скоростей звеньев _1z, _2z, _3z, _4z. При заданном движении точки М они определяются из уравнений внешних связей, налагаемых на механизм. На данный механизм наложены связи: V_Dx=0, V_Dy=0, V_px=0, V_py=0, V_cy=0. (5)

При вычислении скорости точки С последовательно определяются скорости точек в соответствии с графом М В С,при вычислении скорости точки Р - в соответствии с графом М В С Р,при вычислении скорости точки D₄ - в соответствии с графом М В А D или Р С В А D или С В А D.

Составляются все возможные варианты векторных уравнений

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Проецируя обе части уравнений на оси координат X и Y с учетом (5) получим систему алгебраических уравнений для определения _iz(i=1,2,3,4). Уравнение (6) проецируется на ось Y, так как V_cy=0, то

V_my+_3z2r₃cos(₃+)+_3zr₃сos(₃+ )=0 (11)

Уравнение (7) проецируется на оси X и Y, так как V_px=0 и V_py=0, то

0 - _3z2r₃sin(₃+) - _3zr₃sin(₃+ ) - _4z0,5r₃sin =0 (12)

V_My + _3z2r₃cos(₃+) + _3zr₃cos(₃+ ) + _4z0,5r₃cos =0 (13)

Уравнение (8) проецируется на оси X и Y, так как. V_Dx=0 и V_Dy=0, то

0 - _3z2r₃sin(₃+) - _2zr₂sin(₂) - _1zr₁sin(₁+)=0 (14)

V_my + _3z2r₃cos(₃+) + _2zr₂cos(₂) + _1zr₁cos(₁+)=0 (15)

Уравнение (9) проецируется на оси X и Y, так как

V_Dx=0, V_Oy=0, V_Px-0, V_Py=0, то

 _4z0.5r₃sin - _3zr₃sin(₃ - ) - _2zr₂sin(₂ - )_1zr₁sin(₁+)=0

(16)

_4z0.5r₃cos +_3zr₃cos(₃ - )+_2zr₂cos(₂ - )+_1zr₁cos(₁+)=0

(17)

Уравнение (10) проецируется на ось Y, так как V_Dx=0, V_Dy=0 и V_Cy=0, то

_3zr₃cos(₃ - )+ _2zr₂cos(₂ -) + _1zr₁cos(₁+)=0 (18)

Из составленных уравнений связей выбираем 4, позволяющих наиболее простым путем произвести преобразования и выразить одни неизвестные через другие. В данном случае это уравнения (11), (12), (16), (18), которые с учетом формул приведения запишутся в следующем виде:

V_My - 2_3zr₃cos₃ - _3zr₃sin₃=0

2_3zr₃sin₃ - _3zr₃cos₃+0,5_4zr₃=0 (19)

 0,5_4zr₃+_3zr₃cos₃+_2zr₂sin₂+_1zr₁sin₁=0

_3zr₃sin₃ - _2zr₂cos₂ - _1zr₁cos₁=0

Система уравнений (19) может быть разрешена относительно _iz:

_4z=2_3z(cos₃ - 2sin₃) (20)

Дополним (20) уравнениями:

; (21)

Уравнения (20) и (21) образуют систему дифференциальных уравнений, интегрирование которой при заданных начальных значениях ₁(0), ₂(0), ₃(0) решает задачу о движении механизма при заданном движении точки М.

3. Решение задачи и обработка результатов. Вычисления могут проводиться с использованием конечно-разностной схемы Эйлера, позволяющей связать значения углов и угловых скоростей в начале и конце k-го шага интегрирования :

₁^(k+1)=₁^(k)+_1z^(k)t;

₂^(k+1)=₂^(k)+_2z^(k)t; (22)

₃^(k+1)=₃^(k)+_3z^(k)t.

Программа счета составляется на любом языке программирования, результаты оформляются с помощью программы в виде таблицы. По результатам решения строятся графики _1z(t), _2z(t), _3z(t), _4z(t), которые не должны иметь разрыва и иметь явно выраженный синусоидальный характер.

4. Графическая проверка. Извлекаются из таблицы счета значения углов поворота звеньев из строки под номером (N+2). Механизм строится в масштабе 1:10, определяется положение мгновенных центров скоростей (рис. 3). Строятся векторы скоростей точек A, B, C, M и указываются дужками направления вращения звеньев. По известным значениям скоростей и расстояниям до мгновенных центров скоростей определяются значения угловых скоростей звеньев.

Результаты, полученные с помощью графических построений, должны быть близки к результатам рещения задачи на ЭВМ и не должны отличаться более чем на 5%.

II. Кинематика управляемого движения манипулятора.

Описание задания.

Манипулятор (рис.1), имеющий две системы свободы позволяет, при срабатывании приводов, захвату, точке М, осуществлять движение в плоскости по двум координатам и при определенных условиях совместить захват с двигающейся деталью,точкой К. Деталь К движется с постоянной скоростью V_к в указанном на рисунке направлении. Координаты точки К изменяются по закону:

X_K=X_K(0)+V_Kx t; Y_K=Y_K(0)+V_Ky t. (23)

Управление движением захвата М осуществляется по линейной комбинации рассогласований координат точек К и М, а также их производных. Рассогласование координат точек К и М в момент времени t=₂ должно составлять величину  от начальных рассогласований.

Исходные данные определяются формулами (24) и табл. 1

r₁=r_1T+0,001n, r_i=r_iT+0,001N

₁(0)=_1T+0,001n, _i(0)=_iT+0,001N(i=2,3) (24)

V_K=V_KT - 0,003N, ₂=1,2(1+0,02N)

t= . (24)

Требуется:

1. Выбрать управление, решающее поставленную задачу.

2. Исследовать движение манипулятора при выбранном управлении.

Конкретные пункты исследования приведены в примере.

Указания к составлению уравнений движения.

Предполагается, что координаты захвата М(X_M,Y_M) в процессе движения известны, например, за счет прямых измерений;координаты детали К(X_K,Y_K) заданы уравнениями (23). Тогда можно вычислить рассогласования:

X=X_K- X_M; Y=Y_K- Y_M (25)

Управление движением захвата осуществляется по сигналам управления u_x, u_y, образованным линейной комбинацией рассогласований и их производных:

u_x=X+T^* X; u_y=Y+T^* Y, (26)

где T^* - множитьель размерности времени.

Сигналы (26) подаются на управление двигателями манипулятора с коэффициентом усиления k величина

ku_x, ku_y (27)

В современных высокоточных механизмах коэффициэнты усиления k очень велики. Можно считать k, при этом величины (27) остаются конечными,обеспечивающими требуемое движение манипулятора,поэтому можно предположить u_x, u_y0.

Приближенные предельные уравнения

u_x=0, u_y=0 (28)

описывают движение манипулятора с погрешностью порядка 1/k.

Из (25), (26), (28) получим уравнения:

=V_Kx+ (X_K  X_M)

=V_Ky+ (Y_K  Y _M) (29)

Манипулятор является механической системой с двумя степенями свободы, движение по двум координатам X_M, Y_M, найденные по (29) однозначно определяет движение всех его звеньев. Кинематические уравнения, описывающие изменения углов поворота и угловых скоростей звеньев могут быть заимствованы из предыдущей задачи.

Указания к выбору коэффициэнта управления.

Уравнения (26), (28) в рассогласованиях X и Y примут вид:

T^* X +X=0; T* Y +Y=0