Дискретная математика (Обход графа, Алгоритм Форда – Фалкерсона и т.д. и т.п), страница 7

2015-11-152015-11-15zzyxelСтудИзба

Обход графа, Алгоритм Форда – Фалкерсона и т.д. и т.п1101

Описание файла

Файл "Дискретная математика" внутри архива находится в папке "Обход графа, Алгоритм Форда - Фалкерсона и т.д. и т.п". Документ из архива "Обход графа, Алгоритм Форда – Фалкерсона и т.д. и т.п", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дискретная математика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "дискретная математика" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "Дискретная математика"

Текст 7 страницы из документа "Дискретная математика"

Перестроим поток следующим образом:  (е⁺) заменим на  (е⁺) + K, а  (е^–) на  (е^–) – K. Условия 1 и 2 останутся выполненными, а величина потока при этом увеличится на K. Повторяем процедуру до тех пор, пока t перестанет быть достижимой. Пусть S - множество всех вершин, достижимых из s, а Т = V \ S содержит t. Следовательно, это разрез, при этом дуги, входящие в Р ⁺, насыщены, а дуги из Р^– имеют нулевой поток (иначе S можно было бы расширить).

Таким образом, W ( ) = Ф (Р⁺) – Ф (Р^–) = С (Р ⁺) – 0 = С (Р ⁺), то есть поток максимальный, а Р ⁺ - минимальный орразрез.

Пример

Найти максимальный поток  для сети Т (рис. 24).

Рис. 24

Решение:

1) Перенумеруем поток произвольным образом. Вершина-исток должна иметь номер 1, а вершина-сток – максимальное значение среди всех вершин сети. Зададим начальный поток в сети  = 0 и присвоим вершине-истоку нулевую метку (рис. 25).

Рис. 25

2) Пометим вершины и дуги сети (рис. 26), пользуясь следующим правилом: пусть v – помеченная вершина, w – непомеченная, тогда:

- если w = Г ⁺(v), т.е. дуга направлена от вершины v к вершине w, и выполняется неравенство , вершине w присваивается метка, равная номеру вершины v, а дуге – значение «+»;

- если w = Г^– (v), т.е. дуга направлена от вершины w к вершине v, и выполняется неравенство , вершине w присваивается потенциал, равный номеру вершины v, а дуге – значение «–».

Рис. 26

Вершина-сток получила метку, поэтому продолжаем решение.

3) Рассмотрим подграф исходного графа (рис. 27), такой, что метка вершины w соответствует номеру вершины v, где v – вершина-начало дуги (v, w).

Рис. 27

4) Перестроим поток в сети по правилу:

если некоторая дуга е не принадлежит рассматриваемому подграфу, то величина нового потока составит ^* (е) =  (е);
если некоторая дуга е принадлежит рассматриваемому подграфу и имеет знак «+», то ^* (е) =  (е) + K₁, где K₁ = min [с (е) –  (е)];
если некоторая дуга е принадлежит рассматриваемому подграфу и имеет знак «–», то ^* (е) =  (е) – K₂, где K₂ = min [ (е)].

В рассматриваемом случае (рис. 28) ^* = 0 + min [1, 2, 2] = 1.

Рис. 28

Далее осуществляем переход к п. 2, по результатам выполнения которого представляется граф с заново размеченными вершинами (рис. 29):

Рис. 29

Вершина-сток получила метку, поэтому продолжаем решение. Зададим новый поток при рассмотрении подграфа, отраженного на рис. 26.

K₁ = min [4, 3, 1] = 1;

^* (1,4) = 0 + K₁ = 1; ^* (4,3) = 0 + K₁ = 1; ^* (3,6) = 1+ K₁= 2;

^*= min [^* (1,4), ^* (4,3), ^* (3,6)] = 1.

5) Увеличим поток в сети на величину ^* (рис. 30) и осуществим переход к п. 2, результат выполнения которого отражен на рис. 31.

Рис. 30

Рис. 31

Вершине-стоку присвоен потенциал, поэтому продолжаем решение. Перестроим поток в сети:

K₁ = min [3, 2, 1, 3, 1] = 1;

^* (1,4) = 1 + K₁ = 2; ^* (4,3) = 1 + K₁ = 2; ^* (3,2) = 1+ K₁ = 2;

^* (2,5) = 0 + K₁ = 1;  (5,6) = 0+ K₁ = 1;

^*= min [^* (1,4), ^* (4,3), ^* (3,2), ^* (2,5), ^* (5,6)] = 1.

6) Увеличиваем поток в сети на величину ^* (рис. 32) и осуществляем переход к п. 2 (рис. 33).

Рис. 32

Рис. 33

Вершина-сток не получила метку, что свидетельствует о том, что максимальный поток в рассматриваемой сети найден (рис. 34).

Рис. 34

Таким образом, по результатам выполнения алгоритма получили, что множество достижимых из вершины-истока вершин S = {1, 3, 4}; множество недостижимых из вершины-истока вершин Т = {2, 5, 6}. Минимальным орразрезом является Р ⁺: (3;6).

Максимальный поток в сети равен 2.

Задания

Определить минимальный орразрез и найти максимальный поток.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

1Ответы

1. Обходы графов в ширину и глубину

	1	2	3	4	5	6	7	8
1	2, 3		4, 5
2	2, 3	4, 5	6, 7
3	2, 3	4	5, 6
4	2, 3	4	5, 6			7
5	2, 3	4, 5
6	2, 3	4, 5			6, 7
7	2		1, 4, 5
8	2	4, 5	1, 6, 7
9	2	4	1, 5, 6
10	2	4	1, 5, 6			7
11	2	4, 5	1
12	2	4, 5	1		6, 7
13	3	1	4, 5
14	3	1, 4, 5	6, 7
15	3	1, 4	5, 6			7
16	3	1, 4, 5			6, 7
17	3	1, 4	5, 6
18	3	1, 4, 5
19	2		1, 5	3
20	3	1, 5	6, 7	2
21	3	1	5, 6	2
22	3	1	5, 6	2		7
23	3	1, 5		2
24	3	1, 5		2	6, 7
25	2, 3	4, 5			6, 7, 8
26	2, 3	4, 5, 6
27	2, 3	4, 5, 6	7
28	2, 3, 7	4, 5, 6
29	2, 7, 3	4, 5, 6	8
30	2, 3	4, 5, 6	7, 8

2. Алгоритм Тэрри

3 – 2 – 4 – 1 – 5
1 – 2 – 3 – 5 – 4
5 – 2 – 4 – 1 – 3
1 – 2 – 5 – 4 – 3
2 – 5 – 4 – 3 – 1
2 – 1 – 3 – 4 – 5
4 – 3 – 2 – 5 – 1
1 – 2 – 3 – 5 – 4
3 – 5 – 4 – 2 – 1
5 – 3 – 4 – 2 – 1
1 – 3 – 2 – 4 – 5 – 6
4 – 3 – 5 – 6 – 1 – 2
5 – 4 – 3 – 6 – 1 – 2
2 – 3 – 4 – 6 – 5 – 1
6 – 4 – 5 – 3 – 2 – 1
2 – 1 – 3 – 4 – 5 – 6
6 – 5 – 2 – 1 – 3 – 4
3 – 2 – 5 – 6 – 4 – 1
5 – 6 – 2 – 4 – 3 – 1
1 – 2 – 5 – 6 – 4 – 3
1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6
3 – 1 – 2 – 4 – 5 – 6
4 – 3 – 5 – 1 – 2 – 6
6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1
2 – 3 – 5 – 6 – 4 – 1
2 – 1 – 3 – 4 – 5
5 – 3 – 4 – 1 – 2
1 – 3 – 5 – 4 – 2
3 – 5 – 4 – 2 – 1
4 – 5 – 3 – 1 – 2

3. Матроиды. Жадные алгоритмы. Алгоритм Краскала

(2,5); (1,4); (3,4); (4,5).
(3,4); (4,5); (7,8); (4,7); (5,6);
(2,3); (1,6).
(2,6); (4,5); (4,6); (3,4); (1,3).
(1,2); (3,6); (2,6); (4,5); (3,4).
(1,2); (6,8); (7,8); (1,8); (2,3);
(5,6); (3,4).
(2,3); (1,4); (2,4); (1,5).
(1,6); (3,4); (4,5); (4,7); (5,6);
(1,2); (7,8).
(1,2); (2,6); (4,5); (3,4); (5,6).
(2,6); (4,5); (4,6); (3,4); (1,3).
(1,8); (2,3); (3,4); (2,8); (6,8);
(7,8); (4,5).
(2,4); (1,5); (2,3); (2,5).
(3,4); (7,8); (1,6); (3,8); (5,6);
(2,3); (6,7).
(2,6); (4,6); (1,2); (1,3); (5,6).
(1,3); (3,6); (5,6); (2,6); (4,6).
(2,4); (5,6); (6,8); (1,8); (3,4);
(1,2); (7,8).
(1,4); (1,5); (1,2); (2,3).
(4,5); (5,6); (7,8); (1,2); (4,7);
(1,6); (2,3).
(3,4); (4,5); (4,6); (2,3); (1,2).
(2,6); (4,6); (1,2); (1,3); (5,6).
(1,8); (3,4); (1,2); (2,4); (5,6);
(6,8) (7,8).
(1,3); (4,5); (2,4); (1,4).
(2,3); (3,8); (3,4); (4,7); (1,6);
(4,5); (1,8).
(1,3); (5,6); (2,6); (4,6); (1,2).
(2,3); (1,2); (5,6); (2,6); (4,5).
(6,7); (1,2); (5,6); (1,8); (2,3);
(4,5); (6,8).
(1,2); (2,5); (1,3); (2,4).
(1,2); (4,7); (1,6); (2,3); (3,4);
(4,5); (1,8).
(2,3); (1,2); (5,6); (2,6); (4,5).
(1,3); (5,6); (2,6); (4,6); (1,2).
(2,4); (5,6); (1,8); (3,4); (1,2);
(4,5); (7,8).

4. Нахождение кратчайшего пути в сети без контуров

Правильная нумерация: 0-0, 2-1, 3-2, 4-3, 1-4.
Потенциалы: 0-0, 1-1, 2-5, 3-6, 4-8. Кратчайший путь: 0 1 4.
Правильная нумерация: 0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4.
Потенциалы: 0-0, 1-1, 2-9, 3-5, 4-11. Кратчайший путь: 0 1 3 4.
Правильная нумерация: 1-0, 2-1, 3-2, 1-3, 4-4.
Потенциалы: 0-0, 1-8, 2-4, 3-13, 4-7. Кратчайший путь: 0 2 4.
Правильная нумерация: 0-0, 2-1, 3-2, 1-3, 4-4.
Потенциалы: 0-0, 1-8, 2-14, 3-10, 4-3. Кратчайший путь: 0 4.
Правильная нумерация: 2-0, 0-1, 1-2, 3-3, 4-4.
Потенциалы: 0-0, 1-4, 2-1, 3-8, 4-6. Кратчайший путь: 0 2 4.
Правильная нумерация: 3-0, 0-1, 1-2, 2-3, 4-4.
Потенциалы: 0-0, 1-6, 2-9, 3-4, 4-6. Кратчайший путь: 0 3 4.
Правильная нумерация: 2-0, 1-1, 3-2, 4-3, 0-4.
Потенциалы: 0-0, 1-4, 2-12, 3-2, 4-8. Кратчайший путь: 0 3 4.
Правильная нумерация: 2-0, 0-1, 1-2, 3-3, 4-4.
Потенциалы: 0-0, 1-9, 2-7, 3-16, 4-10. Кратчайший путь: 0 2 4.
Правильная нумерация: 1-0, 3-1, 0-2, 4-3, 2-4.
Потенциалы: 0-0, 1-7, 2-13, 3-3, 4-5. Кратчайший путь: 0 3 4.
Правильная нумерация: 1-0, 0-1, 3-2, 2-3, 4-4.
Потенциалы: 0-0, 1-2, 2-4, 3-5, 4-5. Кратчайший путь: 0 4.
Правильная нумерация: 1-0, 0-1, 3-2, 4-3, 2-4.
Потенциалы: 0-0, 1-6, 2-1, 3-3, 4-3. Кратчайший путь: 0 2 4.
Правильная нумерация: 2-0, 3-1, 4-2, 0-3, 1-4 .
Потенциалы: 0-0, 1-7, 2-1, 3-2, 4-5. Кратчайший путь: 0 2 4.
Правильная нумерация: 1-0, 0-1, 3-2, 4-3, 2-4.
Потенциалы: 0-0, 1-4, 2-1, 3-2, 4-7. Кратчайший путь: 0 1 4.
Правильная нумерация: 1-0, 3-1, 0-2, 2-3, 4-4.
Потенциалы: 0-0, 1-4, 2-2, 3-5, 4-8. Кратчайший путь: 0 2 4.
Правильная нумерация: 4-0, 0-1, 1-2, 2-3, 3-4.
Потенциалы: 0-0, 1-3, 2-10, 3-7, 4-9. Кратчайший путь: 0 1 3 4.
Правильная нумерация: 2-0, 0-1, 5-2, 6-3, 1-4, 3-5, 4-6.
Потенциалы: 0-0, 1-6, 2-9, 3-7, 4-8, 5-15, 6-5. Кратчайший путь: 0 6.
Правильная нумерация: 4-0, 1-1, 2-2, 3-3, 5-4, 0-5, 6-6.
Потенциалы: 0-0, 1-4, 2-6, 3-8, 4-11, 5-8, 6-13. Кратчайший путь: 0 1 6.
Правильная нумерация: 4-0, 0-1, 2-2, 5-3, 3-4, 1-5, 6-6.
Потенциалы: 0-0, 1-9, 2-2, 3-16, 4-19, 5-7, 6-27.
Кратчайший путь: 0 1 3 4 6.
Правильная нумерация: 0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6.
Потенциалы: 0-0, 1-1, 2-2, 3-6, 4-9, 5-6, 6-9. Кратчайший путь: 0 6.
Правильная нумерация: 3-0, 0-1, 1-2, 2-3, 4-4, 6-5, 5-6.
Потенциалы: 0-0, 1-4, 2-5, 3-5, 4-1, 5-3, 6-8. Кратчайший путь: 0 2 4 6.
Правильная нумерация: 1-0, 0-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6.
Потенциалы: 0-0, 1-6, 2-4, 3-11, 4-7, 5-2, 6-14. Кратчайший путь: 0 1 6.
Правильная нумерация: 3-0, 0-1, 1-2, 5-3, 2-4, 4-5, 6-6.
Потенциалы: 0-0, 1-4, 2-8, 3-9, 4-10, 5-5, 6-7. Кратчайший путь: 0 1 6.
Правильная нумерация: 0-0, 1-1, 3-2, 4-3, 5-4, 2-5, 6-6.
Потенциалы: 0-0, 1-3, 2-7, 3-1, 4-8, 5-6, 6-6. Кратчайший путь: 0 6.
Правильная нумерация: 3-0, 0-1, 1-2, 2-3, 4-4, 6-5, 5-6.
Потенциалы: 0-0, 1-6, 2-4, 3-7, 4-6, 5-3, 6-8. Кратчайший путь: 0 5 6.
Правильная нумерация: 6-0, 0-1, 3-2, 1-3, 4-4, 2-5, 5-6.
Потенциалы: 0-0, 1-1, 2-9, 3-4, 4-5, 5-6, 6-8. Кратчайший путь: 0 1 6.
Правильная нумерация: 4-0, 0-1, 1-2, 2-3, 3-4, 6-5, 5-6.
Потенциалы: 0-0, 1-2, 2-8, 3-4, 4-5, 5-9, 6-12. Кратчайший путь: 0 1 5 6.
Правильная нумерация: 5-0, 0-1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 6-6.
Потенциалы: 0-0, 1-2, 2-4, 3-1, 4-7, 5-5, 6-12. Кратчайший путь: 0 2 6.
Правильная нумерация: 0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6.
Потенциалы: 0-0, 1-1, 2-4, 3-5, 4-6, 5-11, 6-4. Кратчайший путь: 0 1 6.
Правильная нумерация: 1-0, 0-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6.
Потенциалы: 0-0, 1-1, 2-6, 3-9, 4-5, 5-7, 6-5. Кратчайший путь: 0 1 6.
Правильная нумерация: 1-0, 0-1, 2-2, 3-3, 5-4, 6-5, 4-6.
Потенциалы: 0-0, 1-5, 2-2, 3-8, 4-14, 5-1, 6-9. Кратчайший путь: 0 5 6.

5. Алгоритм Беллмана - Форда

0 – 1 – 2 – 3 – 5
0 – 2 – 3 – 5
0 – 1 – 3 – 2 – 4 – 5
0 – 2 – 1 – 3 – 5
0 – 2 – 4 – 5
0 – 2 – 5 – 3 – 6
0 – 2 – 1 – 5 – 3 – 4 – 6
0 – 1 – 5 – 3 – 6
0 – 2 – 5 – 3 – 4 – 6
0 – 2 – 1 – 5 – 4 – 6
0 – 2 – 1 – 3 – 4 – 6 – 5 – 7
0 – 1 – 3 – 4 – 6 – 7
0 – 1 – 3 – 5 – 7
0 – 2 – 4 – 6 – 5 – 7
0 – 2 – 1 – 3 – 5 – 7
0 – 3 – 6
0 – 1 – 3 – 4 – 6
0 – 3 – 4 – 6
0 – 2 – 5 – 6
0 – 2 – 3 – 4 – 6
0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6
0 – 2 – 3 – 4 – 6
0 – 1 – 2 – 4 – 5 – 6
0 – 2 – 4 – 6
0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 6
0 – 2 – 3 – 1 – 4 – 6
0 – 1 – 4 – 3 – 5 – 6
0 – 2 – 3 – 5 – 6
0 – 1 – 4 – 6
0 – 2 – 5 – 6

1.16. Алгоритм Дейкстра

1  4  5.
Длина пути: 7.
1  2  4  3  5.
Длина пути: 12.
1  2  3  5.
Длина пути: 7.
1  4  3  5.
Длина пути: 6.
1  3  5.
Длина пути: 5.
1  2  5.
Длина пути: 7.
1  4  5.
Длина пути: 5.
1  3  5.
Длина пути: 3.
1  2  5.
Длина пути: 4.
1  2  4  5.
Длина пути: 7.
1  4  5.
Длина пути: 5.
1  2  3  5.
Длина пути: 4.
1  4  3  5.
Длина пути: 6.
1  2  5.
Длина пути: 2.
1  4  3  5.
Длина пути: 7.
1  2  3  5.
Длина пути: 11.
1  2  4  5.
Длина пути: 5.
1  5.
Длина пути: 1.
1  2  4  5.
Длина пути: 5.
1  2  5.
Длина пути: 2.
1  3  4  5.
Длина пути: 10.
1  5.
Длина пути: 3.
1  3  5.
Длина пути: 5.
1  4  5.
Длина пути: 4.
1  2  5.
Длина пути: 6.
1  2  3  4 5.
Длина пути: 11.
1  4  2  5.
Длина пути: 8.
1  3  5.
Длина пути: 2.
1  4  5.
Длина пути: 3.
1  5.
Длина пути: 1.

7. Алгоритм Флойда – Уоршалла

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.