Практическая часть.

Задача № 1 (14)

Определить значения волн электрического типа, которые могут распространяться в планарном диэлектрическом волноводе на металлической подложке. Толщина пластины с относительной проницаемостью , . Частота поля .

Решение:

Как известно , где

Решим характеристические уравнения для E-мод в планарном диэлектрическом волноводе на металлической подложке:

Представим , тогда . В этом уравнении следует брать главные значения арктангенсов.

Преобразуем дополнительные условия связи коэффициентов : (18)

Подставляя полученные условия в характеристическое уравнение, получим:

, отделим линейную и нелинейную части, преобразуем к виду :

Таким образом, можно заметить, что ,

где - длина волны ( ); - толщина волновода; ; - относительные диэлектрические проницаемости подложки, волноведущего слоя и покрытия соответственно.

Тогда (19)

Данное уравнение является нелинейным трансцендентным уравнением относительно .

Найдем решение данного уравнения относительно введенного параметра . Введем функцию . Решением являются такие значения , при которых функция . В соответствии с выражениями (18), (19) значение безразмерного параметра находится в пределах

Найдем искомое решение численным методом (метод половинного деления). На странице 16 представлена программа для решения данного уравнения и данной задачи в частности.

Подставляя различные значения m, проверим выполняемость условия (*), выведенное ниже. (возможно неправильно).

Если левое неравенство выполняется, а правое нет – значит, данная мода удовлетворяет условию, но нужно также проверить следующую. Если выполняются оба неравенства – значит, данная мода удовлетворяет условию, следующую моду проверять не нужно.

Для наших условий подходят и .

Найдем из соотношений

Чтобы найти постоянную распространения , воспользуемся соотношением: .

Теперь можно найти фазовую скорость волн по формуле , где

Результаты:

Для m=0

=0,39361572265625

h=92,1692508961622 [1/м]

Г=300,334602069315 [1/м]

=209206174,176676 [м/с]

Для m=1

=0,5

h=117,080245517345 [1/м]

Г=291,527460319764 [1/м]

=215526362,43213 [м/с]

Ответ:

Запишем последнее уравнение полной системы уравнений, определяющих значения поперечных волновых чисел для E-мод, и сделав для удобства замену получим:

Тогда характеристические уравнения для симметричного волновода толщиной будут иметь вид:

E-моды.

Рис. 2 Графическое решение системы уравнений в случае симметричного волновода

Эту систему трансцендентных уравнений можно решить наглядно графическим методом (рис.2). Совместное решение этих уравнений есть точки пересечения двух кривых, соответствующие подам пленочного волновода. Поскольку величина p должна быть положительной, ограничимся только первым квадрантом. Как следует из рис. 2а, при , распространяющихся волноводных мод не существует. Только когда частота колебаний (или разность показателей преломления) становится настолько большой, что , круг радиуса впервые пересекает кривой. Это решение системы из двух уравнений для описывает в рассматриваемом приближении - и - волны, которые являются основными волнами плоского симметричного диэлектрического волновода. Из выражения для видно, что число волноводных мод зависит от па­раметров, которые можно изменять, а именно . Так, при в волноводе, кроме - и -мод, распространяются еще две моды и и т.д. Радиус окружности (следовательно, и значение ) для m-й моды должен лежать в пределах

, где (*)

Данное соотношение позволяет, зная параметры , найти число распространяющихся мод в волноводе или, наоборот, подобрать эти параметры, исходя из требований.

Из условий задачи выразим недостающие параметры и подставим их в полученное условие:

Подставим , тогда

Первое неравенство ( ) выполняется, а второе ( ) – нет, значит, нужно подставить следующую моду.

Подставим , тогда

Оба неравенства выполняются, подставлять следующую моду не нужно, значит, при частоте поля 10 ГГц вдоль симметричного планарного диэлектрического волновода толщиной с диэлектрическими проницаемостями и распространяются волны и .

Ответ: , .

Программа.

Список литературы.

Гринев А.Ю., Темченко В.С. Поверхностные электромагнитные волны в планарных диэлектрических волноводах. – Москва. Издательство МАИ, 2006.