Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

При решении многих задач требуется найти функции y₁=y₁(x), y₂=y₂(x),…, y_n=y_n(x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент x, искомые функции y₁, y₂,,…, y_n и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

(1)

где y₁, y₂,,…, y_n – искомые функции, x – аргумент.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Проинтегрировать систему – значит определить функции y₁, y₂,,…,y_n, удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям:

(2)

Интегрирование системы вида (1) производится следующим образом.

Дифференцируем по x первое из уравнений (1):

Заменяя производные их выражениями f₁, f₂,,…, f_n из уравнений (1) будем иметь уравнение

Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем:

.

Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение

Итак, мы получаем следующую систему:

(3)

Из первых n-1 уравнений определим y₂, y₃,,…,y_n, выразив их через x, y₁ и производные :

(4)

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение n-го порядка для определения y₁:

(5)

Решая это уравнение, определим y₁:

(6)

Дифференцируя последнее выражение n-1 раз, найдем производные как функции от x, C₁, C₂,,…,C_n.

Подставляя эти функции в уравнение (4), определяем y₂, y₃,,…,y_n:

(7)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям (2), остается лишь найти из уравнений (6) и (7) соответствующие значения постоянных C₁, C₂,,…,C_n (подобно тому, как это делалось в случае одного дифференциального уравнения).

Замечание 1. Если система (1) линейна относительно искомых функций, то и уравнение (5) будет линейным.

Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предполагали, что из первых n-1 уравнений системы (3) можно определить функции y₂, y₃,,…,y_n. Может случиться, что переменные y₂,y₃,,…,y_n исключаются не из n, а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения y мы получим уравнение, порядок которого ниже n.

В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.

Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы F сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть F_x, F_y, F_z – проекции силы F на оси координат. Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z. Следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекция вектора скорости точки на оси координат будут

Предположим, что сила F, а следовательно, и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, положения x, y, z точки и от скорости движения точки, т.е. от

Искомыми функциями в этой задаче являются три функции:

x=x(t), y=y(t), z=z(t).

Эти функции определяются из уравнений динамики (закон Ньютона):

(8)

Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае плоского движения, т.е. движения, когда траекторией является плоская кривая (лежащая, например, в плоскости Oxy), получаем систему двух уравнений для определения функций x(t) и y(t):

(9)

. (10)

Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе уравнений первого порядка. На примере уравнений (9) и (10) покажем, как это делается. Введем обозначения:

, .

Тогда

, .

Система двух уравнений второго порядка (9), (10) с двумя искомыми функциями x(t) и y(t) заменяется системой четырех уравнений первого порядка с четырьмя искомыми функциями x, y, u, :

, ,

.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений

(1)

где коэффициенты a_ij суть постоянные. Здесь t – аргумент, x₁(t), x₂(t),…x_n(t) – искомые функции. Система (1) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению n-го порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (1) и другим методом, не сводя к уравнению n-го порядка. Этот метод дает возможность более наглядно анализировать характер решений.

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

(2)

Требуется определить постоянные ₁,₂,,…,_n и k так, чтобы функции ₁e^kt, ₂e^kt,…,_ne^kt удовлетворяли системе уравнений (1). Подставляя их в систему (1), получим:

Сократим на e^kt . Перенося все члены в одну сторону, собирая коэффициенты при ₁,₂,,…,_n , получим систему уравнений

(3)

Выберем ₁,₂,…,_n и k такими, чтобы удовлетворялась система (3). Эта система есть система линейных алгебраических уравнений относительно ₁,₂,…,_n. Cоставим определитель системы (3):

(4)

Если k таково, что определитель отличен от нуля, то система (3) имеет только нулевые решения ₁=₂=…=_n=0, а следовательно, формулы (2) дают только тривиальные решения:

.

Таким образом, нетривиальные решения (2) мы получим только при таких k, при которых определитель (4) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-го порядка для определения k:

(5)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни называются корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим несколько случаев.

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные.

Обозначим через k₁, k₂,,…,k_n корни характеристического уравнения. Для каждого корня k_i напишем систему (3) и определим коэффициенты

Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня k₁ решение системы (1):

для корня k₂ решение системы (1):

для корня k_n решение системы (1):

Путем непосредственной подстановки в уравнения, можно убедиться, что система функций

(6)

где C₁, C₂,,…,C_n – произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений (1). Это есть общее решение системы (1). Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

1. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть

комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня:

Этим корням будут соответствовать решения

(7)

(8)

Коэффициенты и определяются из системы уравнений (3).

Действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения: (9)

где - действительные числа, определяемые через и .

Соответствующие комбинации функций (9) войдут в общее решение системы.

Аналогичным методом можно находить решения системы линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

В механике и теории электрических цепей исследуется, например, решение системы дифференциальных уравнений второго порядка

(10)

Снова ищем решение в форме

, .

Подставляя эти выражения в систему (10) и сокращая на e^kt , получаем систему уравнений для определения , и k:

(11)

Отличные от нуля и определяются только в том случае, когда определитель системы будет равен нулю:

(12)

Это есть характеристическое уравнение для системы (10); оно является уравнением 4-го порядка относительно k. Пусть k₁, k₂ , k₃ и k₄ – его корни (предполагаем, что корни различны). Для каждого корня k_i из системы (11) находим значения и . Общее решение, аналогично (6), будет иметь вид

Если среди корней будут комплексные, то каждой паре комплексных корней в общем решении будут соответствовать выражения вида (9).