Лекции_ 1_1 (Лекции по Матану)

РАЗДЕЛ: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ГЛАВА 1:ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.

ПАРАГРАФ 1:МНОЖЕСТВА.

Опр. 1: Суммой множеств (объединением) – называют множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств.

– объединение множеств.

Общий элемент указывается один раз.

Опр. 2: Пересечением множеств (произведением) называется множество, каждый элемент которого принадлежит данным множествам.

– пересечение.

Опр. 3: Разностью множеств и называют множество, каждый элемент которого принадлежит и не принадлежит .

Промежутки.

Вся ось – множество вещественных чисел.

– замкнутый промежуток – сегмент.

– открытый промежуток (интервал).

– полузамкнутый.

РАЗЛИЧНЫЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ.

1. Первичное множество

N = {1, 2, 3….} – (применяются для счета предметов) множество натуральных чисел.

2. {0, 1, 2, 3, 4…} – множество целых неотрицательных чисел.

3. Z = {0, ±1, ±2…} – множество целых чисел.

4. Q = {p/q} – рациональное множество чисел, где P Î Z, q = N.

Во множестве Q возможны все 4 арифметических действия, за исключением деления на нуль.

Множество иррациональных чисел – множество чисел, которые изображаются бесконечными не периодичными десятичными дробями.

Множество вещественных чисел (действительных) – множество, являющееся объединением Q и иррациональных чисел.

R – множество вещественных чисел.

R = Q È {иррациональные числа}.

Свойства вещественных чисел:

1. Упорядоченность.

Для любых двух вещественных чисел верно одно и только одно соотношение:

1. Плотность:

Между двумя любыми не равными вещественными числами лежит бесконечное множество других вещественных чисел.

1. Неограниченность:

Каким бы не было вещественное число , всегда существует точка , что , и всегда существует , что .

1. Несчетность.

Вещественные числа нельзя занумеровать, т. к. их больше натуральных ( поддается нумерации.)

1. Непрерывность.

Опр. 1: Множество называется ограниченным с верху, если существует его верхняя граница (число, которое не меньше всех чисел множества А)

Если существует верхняя граница хоть одна, то существует бесчисленное множество верхних границ.

Опр. 2: Наименьшей из верхних границ, ограничивающих с верху числовое множество , называется его точной верхней границей.

Обозначается: (supremum)

Опр. 3: Множество называется ограниченным снизу, если существует его нижняя граница в (число, которое не больше всех чисел множества ).

Если существует хотя бы одна нижняя граница, то существует бесчисленное множество нижних границ.

Опр. 4: Наибольшая из нижних границ, ограниченного снизу числового множества , называют точной нижней границей.

Обозначается: (infimum).

Опр. 5: Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Формулировка свойства непрерывности множества вещественных чисел.

1. Если числовое множество ограниченно сверху, то оно имеет точную верхнюю границу.

2. Если числовое множество ограниченно снизу, то оно имеет точную нижнюю границу.

ПАРАГРАФ 2: ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ И КВАНТОРЫ.

К связкам относятся следующие символы:

, , , .

дизъюнкция конъюнкция интликация равносильность

Этими символами связываются высказывания. Под высказываниями понимается предложения, относительно которых подразумевается, что оно ложное или истинное.

– истинно.

– ложно.

– обозначение высказывания.

– дизъюнкция двух высказываний.

Опр.1: Дизъюнкция истина тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.

ПРИМЕР:

– 2 вектора лежат на // прямых.

– 2 вектора лежат на одной прямой.

– 2 вектора коллинеарные.

Опр. 2: Логическим умножением (конъюнкция) называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

– квантор всеобщности (любой, всякий, каждый).

– существование (существует)

U – высказывание.

Ū – противоположное высказывание.

ПАРАГРАФ 3:ФУНКЦИЯ

Опр. 1: Переменная величина называется функцией аргумента , если каждому рассматриваему значению из некоторого множества соответствует определённое значение из множества .

– область определения функции.

– область значения функции.

Способы задания функции:

1. Аналитический способ. (Т. е. По формуле.)

2. Табличный.

3. Графический.

4. Программа (алгоритм).

Все способы могут использоваться совместно.

Классификация функций

1. Явные и неявные функции.

А) Функция называется неявной, если она задана уравнением , не решенным относительно .

В) Функция называется явной, если она задана уравнением решенным относительно .

1. Периодическая функция, если существует число называемое периодом, обладает свойством:

Функции делятся на АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ и ТРАНСЦИНДЕНТНЫЕ

Алгебраическая функция – когда она задана уравнением , где с лева стоит многочлен с переменными и (неявная а. ф.).

Функция называется явной алгебраической, если для получения её значения над аргументом производится конечное число арифметических действия и действий извлекания корня натуральной степени.

ПРИМЕР:

Все остальные функции относятся к трансцендентным – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные, степенные с иррациональным показателем.

Опр. 2: Функция называется четной, если при , то на и выполняется:

, .

.

.

Г рафик четной функции симметричен OY

Опр. 3: Функция называется нечетной, если при , то на и выполняется:

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Опр. 4: Две точки называются симметричными относительно начала, если они лежат на одной прямой, проходящей через начало, по разные стороны от начала и на одинаковом расстоянии от начала.

Существуют такие функции которые не являются ни чётными ни нечётными.

Функции делятся на элементарные и неэлементарные.

Основные элементарные функции:

1 .

2. Степенная:

Для отрицательных значений и для значения некоторой функции отрицательны, а некоторой нет.

, D (f) = [0;+∞].

, D (f) = [0;+∞].

, D (f) = R \ (0) (вся ось, кроме нуля).

, D (f) = R.

1. Показательная: , , .

4. Логарифмические: , , .

1. Т ригонометрические

-1

1. О братные тригонометрические.
   y = arccos x,
   y = arcctg x,
   y = arcsin x,
   y = arcctg x.

Определение сложной функции.
y = f(x)

X – область определения функции.

Y – область значения функции.

Z = (y) – отображаются в области Z.

Z = [f (x)] – сложная функция, иначе композиция.

Сложная функция состоит из цепочки двух простых.

Опр. 5: Элементарной функцией называется функция, состоящая из основных элементарных функций с помощью какого-либо числа арифметических операций и конечного числа образующих операций функции от функции.

Кроме того, требуется, чтобы эта функция была задана одним аналитическим выражением.

Неэлементарные функции – операции интегрирования, операции решения дифференциального уравнения, операции суммирования с бесконечным числом слагаемых и операции обратной функции с помощью нескольких аналитических изображений.

ПАРАГРАФ 4: ЛЕММЫ О ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЛАХ.

Модуль X есть расстояние точки X до начала.

Из формулы (1) следует:

ЛЕММА №1:

Неравенство равносильно:

Д оказательство:

Если выполнено (3), то это означает, что точка X находится от начала на расстоянии, не превышающем a, и это означает, что она находится между -a и a, тогда выполнено равенство (4).

Обратно:

Пусть выполнено (4), т. к. X находится между -a и a, то тогда её расстояние до начала |X| не превышает a, следовательно выполнено неравенство (3), ч.т.д.

ЛЕММА №2:

Модуль суммы конечного числа не превосходит суммы их модулей.

используем (2):

по лемме (1) это двойное неравенство равносильно одному неравенству с модулем:

ЛЕММА №3:

Модуль разности двух чисел не меньше разности их модулей.

Доказательство:

X – Y = Z, тогда X = Y + Z.

Замечание:

Можно доказать более сложное неравенство:

ЛЕММА №4:

Из определения действий умножения, деления вещественных чисел следует соотношение:

ПАРАГРАФ 5: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ТОЧКА. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Опр. 1: Последовательностью называется множество чисел, пронумерованных с помощью чисел и расположенных в порядке возрастания номеров.

– общий член последовательности.

N – номер члена последовательности, играет роль аргумента функции. Фактически задает последовательность целочисленных аргументов.

– функция целочисленных аргументов.

Выражение примеров последовательности:

ПРИМЕРЫ:

1. – общий член последовательности.

;