123061 (Динамика плоских шарнирных механизмов), страница 2

Кривошип ОА:

(18)

Шатун АB:

(19)

Шатун KD:

(20)

Кривошип О₁D:

(21)

Ползун B:

(22)

Первое уравнение системы (22) позволяет определить реакцию опорной плоскости Y_П, а третье из системы (18), после подстановки найденных величин, дифференциальное уравнение движения механизма (17).

Оставшиеся двенадцать соотношений представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных реакций.

4. Результаты расчетов

Решение поставленной задачи сводится к численному интегрированию дифференциального уравнения движения механизма (17) и решению системы двенадцати линейных алгебраических уравнений (18) - (21) относительно неизвестных динамических реакций внешних и внутренних связей.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (17) связана с большим количеством предварительных вычислений и может быть условно разбита на пять блоков:

о решение системы уравнений геометрических связей (1) или вычисление геометрических соотношений (2);

о вычисление кинематических соотношений по формулам (3) - (11);

о вычисление приведенного момента инерции механизма и приведенного момента внешних сил.

о вычисление производной от приведенного момента инерции по углу поворота ведущего звена.

о численное интегрирование дифференциального уравнения.

Все это может быть проведено в Mathcad несколькими способами использующими различные встроенные процедуры-функции. Отличие этих способов и методов заключается во времени вычислений, которое требуется для нахождения: решения системы уравнений геометрических связей, приведенного момента инерции механизма и его производной, приведенного момента внешних сил, а также решения дифференциального уравнения движения (17). Ниже рассмотрен алгоритм и приведен документ Mathcad, в котором обеспечивается минимальное время вычислений.

4.1 Алгоритм вычислений

Угловые координаты звеньев и положение ползуна B вычисляются в явном виде по формулам (2).

Угловые скорости звеньев , отнесенных к угловой скорости кривошипа, вычисляются в явном виде по формулам (3).

Скорости центров масс звеньев отнесенных к угловой скорости кривошипа, вычисляются в явном виде по формулам (4) - (6), которые примут следующий вид

(23)

Далее, по формулам (14) и (16) вычисляется приведенный момент инерции и коэффициенты в приведенном моменте внешних сил .

Для вычисления производной от приведенного момента инерции по углу поворота ведущего звена воспользуемся явным представлением этой производной

Производные можно найти, продифференцировав по φ систему уравнений . Получим

Откуда ,

где вектор , а матрица определена соотношением (8).

Производные находятся дифференцированием по углу поворота кривошипа ОА выражений (23)

Для численного интегрирования дифференциального уравнения второго порядка (17) представим его в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. Введя новые переменные и , получим

(24)

Эти соотношения позволяет вычислять угловое ускорение кривошипа, если известны его угол поворота и угловая скорость; в частности, можно вычислить угловое ускорение в начальный момент по заданным начальным значениям угла поворота и угловой скорости кривошипа.

Для интегрирования системы уравнений (24) при заданных начальных условиях используем встроенную в пакет Mathcad процедуру-функцию Radau..

Матрица, получаемая в результате решения, содержит три столбца; первый - для значений времени t, второй - для значений угла поворота , третий - для значений угловой скорости

Решение системы линейных алгебраических уравнений (18) - (21), для нахождения динамических реакций внешних и внутренних связей реализуем матричным способом

Ниже приведен документ Mathcad, в котором реализована процедура интегрирования дифференциального уравнения движения механизма и вычисления реакций внешних и внутренних связей.

4.2 Динамический расчет плоского шарнирного механизма

Ввод исходных данных и вычисление постоянных величин

Определение угловых координат звеньев и горизонтальной координаты ползуна B как функции угла поворота ведущего звена

Определение положения узловых точек механизма радиус-векторами

Блок вычисления приведённого момента инерции

Определение законов изменения скоростей звеньев отнесённых к угловой скорости кривошипа в векторной форме

Определение скоростей узловых точек механизма отнесенных к угловой скорости кривошипа

Вычисление приведённого момента инерции механизма

Блок вычисления производной от приведённого момента инерции

Вычисление моментов инерции кривошипов относительно оси вращения, шатунов - относительно осей, проходящих через центр масс

Вычисление производных от скоростей отнесённых к угловой скорости кривошипа

Вычисление производных Ω'k (k=1,2,3)

Формирование производных Ω'k (k=1,2,3) в виде векторов

Блок вычисления приведённого момента внешних сил и углового ускорения звена

Вычисление производной Jпр'

Формирование векторов сил тяжести звеньев механизма

Вычисление коэффициентов в выражении приведённого момента внешних сил

Отобразим изменение вычисляемых величин на графике за один оборот кривошипа

Вычисление углового ускорения кривошипа ОА

Конечный момент времени

Процедура интегрирования дифференциальных уравнений

Конечный момент времени

Количество узловых точек

Формирование системы дифференциальных уравнений

Вывод результатов вычислений

Применение процедуры Radau

Формирование векторов искомых величин

Вычисление средней угловой скорости

График изменения угловой скорости ω=ω(t) и величины ωср

Вычисление среднего углового ускорения εср

График углового ускорения ε и εср

Вычисление MД и его среднего значения

График Мд и Мдср

Процедура вычисления реакций внешних и внутренних связей

Вычисление угловых ускорений звеньев механизма

Формирование вектора правых частей системы уравнений

Нахождение угловых ускорений звеньев

Вычисление ускорения узловых точек и центров масс звеньев

Формирование матрицы коэффициентов V при неизвестных реакциях и вектора правых частей H для каждого момента времени задаваемого вектором решений t

Графики реакций внешних и внутренних связей

5. Анализ результатов вычислений

Анализ результатов вычислений позволяет сделать следующие выводы

1. Время неустановившегося движения механизма невелико и составляет
около 1.3 с.

2. В установившемся режиме движение кривошипа близко к равномерному вращению, средняя угловая скорость которого порядка

Максимальные и минимальные значения угловой скорости в установившемся режиме приблизительно равны и , а его период - 0.162 с. Таким образом, коэффициент неравномерности движения механизма приблизительно равен

3. В установившемся режиме среднее угловое ускорение маховика приблизительно равно . Амплитуда изменения углового ускорения значительна и составляет около , а коэффициент динамичности в этом случае

4. При заданных геометрических и инерционных параметрах механизма градиенты углового ускорения ведущего звена, а также реакций внешних и внутренних связей в сочленениях звеньев механизма имеют большие значения. Это может привести к разрывам механизма в местах сочленений и нарушению его работоспособности.

На основании выводов по результатам расчета движения механизма сформулируем задачу исследования.

Выявить факторы, влияющие на неравномерность движения механизма и найти такие решения, при которых неравномерность установившегося движения исчезает или становится незначительной.

Анализ дифференциального уравнения движения механизма (17) показывает, что основными факторами, влияющими на неравномерность движения, являются:

- величина приведенного момента инерции (чем больше , тем меньше амплитуда угловых ускорений);

- характер изменения производной (чем меньше амплитуда и чем больше период ее изменения, тем меньше градиенты углового ускорения);

Таким образом, для уменьшения неравномерности движения необходимо

обеспечить:

- где , - центр масс всего механизма

что может быть получено за счет увеличения приведенного момента инерции механизма и уменьшения амплитуды его изменения.