Наблюдаем диаграмму рассеяния с подобранной прямой регрессии, параметры которой отражены в ее заголовке.

Выполним регрессионный анализ:

Analysis - Startup Panel - кнопка Variables:, отбираем зависимую переменную Dependent var: product и независимую Independent var: fonds - OK - Input File (входной файл): Raw Data (необработанные данные) -OK. В окне Multiple Regression Results имеем основные результаты: коэффициент детерминации R² : 0.597; гипотеза о нулевом значении наклона отклоняется с высоким уровнем значимости p = 0.000000 (т.е. p < 10^-6). Кнопка Regression summary – на экране таблица результатов:

R = .7757425 RІ = .59687096 Adjusted RІ = .58749587 F(1,43) = 63.666 p<.00000 Std.Error of estimate: 5.0105
	B	St. Err. of B	t(43)	p-level
Intercpt	11.49256	2.127445	5.402047	.000003
Fonds	1.43518	.179868	7.979073	.000000

В ее заголовке повторены результаты предыдущего окна; в столбцах приведены: В - значения оценок неизвестных коэффициентов регрессии; St. Err. of B - стандартные ошибки оценки коэффициентов, t - значение статистики Стьюдента для проверки гипотезы о нулевом значении коэффициента; p - level - уровень значимости отклонения этой гипотезы. В данном случае, поскольку значения p-level очень малы (меньше 10^-4), гипотезы о нулевых значениях коэффициентов отклоняются с высокой значимостью. Итак, имеем регрессию:

product = 11.5 + 1.43 fonds,

соответствующие стандартные ошибки коэффициентов: 2.1 и 0.18; значение s по (7): s = 5.01 (Std Error of estimate - ошибка прогноза выработки по фондам с помощью этой функции). Значение коэффициента детерминации R² = RI = 0.597 достаточно велико (доля R = 0.77 всей изменчивости объясняется вариацией фондов). Уравнение регрессии показывает, что увеличение основных фондов на 1 млн руб. приводит к увеличению выработки 1 работника в среднем на b₁ = 1.43 тыс. руб. Для удобства интерпретации параметра пользуются коэффициентом эластичности

,

который показывает среднее изменение (в долях или %) зависимой переменной y при изменении фактора х:

.

Построим регрессию выработки по фондам для более однородной совокупности - для предприятий федерального подчинения (z=1). Можно ожидать, что качество подгонки улучшится. Предварительно визуально оценим данные процедурой Scatterplot (при отборе наблюдений использовать кнопку Select cases, условие отбора: include if: z = 1). Возвращаемся в окно Multiple Regression - Select cases - в окне Case Selection Conditions (условия выбора наблюдений) include if (включить, если): z = 1 - OK - OK - в окнах M.R.Results и Regression summary получаем результаты:

Product = 12.55 + 1.44 fonds,

R² = RI = 0.897, S = 2.68.

Коэффициент детерминации увеличился с 0.597 до 0.897, значение s уменьшилось с 5.01 до 2.68; действительно, подгонка улучшилась.

2. Множественная регрессия

Обобщением линейной регрессионной модели с двумя переменными является многомерная регрессионная модель (или модель множественной регрессии). Пусть n раз измерены значения факторов x₁ , x₂ , ..., x_k и соответствующие значения переменной y; предполагается, что

y_i = b_o + b₁x_i1 + ... + b_k x_ik+ e_i , i = 1, ..., n, (12)

(второй индекс у х относится к номеру фактора, а первый - к номеру наблюдения); предполагается также, что

Me_i = 0, M = s ²,

M(e_i e_j) = 0, i ¹ j, (12a)

т.е. e_i - некоррелированные случайные величины . Соотношения (12) удобно записывать в матричной форме:

Y = Xb + e , (13)

где Y = (y₁, ..., y_k)^T - вектор-столбец значений зависимой переменной, Т - символ транспонирования, b = (b₀, b₁, ..., b_k)^T - вектор-столбец (размерности k) неизвестных коэффициентов регрессии, e = (e₁ , ..., e_n)^T - вектор случайных отклонений,

-матрица n´ (k + 1); в i - й строке (1, x_i1, ...,x_ik) находятся значения независимых переменных в i-м наблюдении первая переменная - константа, равная 1.

Оценка коэффициентов регрессии. Построим оценку для вектора b так, чтобы вектор оценок = Х зависимой переменной минимально (в смысле квадрата нормы разности) отличался от вектора Y заданных значений:

по .

Решением является (если ранг матрицы Х равен k +1) оценка

= (X^TX)^-1 X^TY (14)

Нетрудно проверить, что она несмещенная. Ковариационная (дисперсионная) матрица равна

D = ( - b) ( - b)^T = s ² (X^TX)^-1 = s ² Z , (15)

где обозначено Z = (X^TX)^-1.

Справедлива

теорема Гаусса - Маркова. В условиях (12а) оценка (14) является наилучшей (в смысле минимума дисперсии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок.

Оценка дисперсии s ² ошибок. Обозначим

e = Y - = Y - Х = [I - X (X^TX)^-1 X^T] Y = BY (16)

вектор остатков (или невязок); B = I - X (X^TX)^-1 X^T - матрица; можно проверить, что B² = B. Для остаточной суммы квадратов справедливо соотношение

M = M (n - k -1) s ² ,

откуда следует, что несмещенной оценкой для s ² является

s² = . (17)

Если предположить, что e_i в (12) нормально распределены, то справедливы следующие свойства оценок:

1) (n - k - 1) имеет распределение хи квадрат с n-k-1 степенями свободы;

1. оценки и s² независимы.

Как и в случае простой регрессии, справедливо соотношение:

или

T_ss = E_ss + R_ss , (18)

в векторном виде:

,

где = ( . Поделив обе части на полную вариацию игреков

T_ss = , получим коэффициент детерминации

R² = (19)

Коэффициент R² показывает качество подгонки регрессионной модели к наблюдённым значениям y_i. Если R² = 0, то регрессия Y на x₁ , ..., x_k не улучшает качество предсказания y_i по сравнению с тривиальным предсказанием . Другой крайний случай R² = 1 означает точную подгонку: все e_i = 0, т.е. все точки наблюдений лежат на регрессионной плоскости. Однако, значение R² возрастает с ростом числа переменных (регрессоров) в регрессии, что не означает улучшения качества предсказания, и потому вводится скорректированный (adjusted) коэффициент детерминации

(20)

Его использование более корректно для сравнения регрессий при изменении числа переменных (регрессоров).

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Стандартной ошибкой оценки является величина , оценка для которой

s_j = , j = 0, 1, ..., k, (21)

где z_jj- диагональный элемент матрицы Z. Если ошибки e_i распределены нормально, то, в силу свойств 1) и 2), приведенных выше, статистика

(22)

распределена по закону Стьюдента с (n - k - 1) степенями свободы, и потому неравенство

£ t_p s_j , (23)

где t_p - квантиль уровня (1 + P_Д) / 2 этого распределения, задает доверительный интервал для b_j с уровнем доверия Р_Д.

Проверка гипотезы о нулевых значениях коэффициентов регрессии. Для проверки гипотезы Н₀ об отсутствии какой бы то ни было линейной связи между y и совокупностью факторов, Н₀: b₁ = b₂ = ... = b_k = 0, т.е. об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов, кроме коэффициента b₀ при константе, используется статистика

F = = = , (24)

распределенная, если Н₀ верна, по закону Фишера с k и n - k - 1 степенями свободы. Н₀ отклоняется, если

F > F_a (k, n - k - 1), (25)

где F_a - квантиль уровня 1 - a.

Отбор наиболее существенных объясняющих переменных. Различные регрессии (с различным набором переменных) можно сравнивать по скорректированному коэффициенту детерминации (20): принять тот вариант регрессии, для которого максимален (подробнее см. в примере).

Пример [5]. Исследуется зависимость урожайности y зерновых культур ( ц/га ) от ряда факторов (переменных) сельскохозяйственного производства, а именно,

х₁ - число тракторов на 100 га;

х₂ - число зерноуборочных комбайнов на 100 га;

х₃ - число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га;

х₄ - количество удобрений, расходуемых на гектар (т/га);

х₅ - количество химических средств защиты растений, расходуемых на гектар (ц/га).

Исходные данные для 20 районов области приведены в табл. 2.

Таблица 2

	y	x1	x 2	x 3	x 4	x 5
1	9.7	1.59	.26	2.05	.32	.14
2	8.4	.34	.28	.46	.59	.66
3	9.0	2.53	.31	2.46	.30	.31
4	9.9	4.63	.40	6.44	.43	.59
5	9.6	2.16	.26	2.16	.39	.16
6	8.6	2.16	.30	2.69	.32	.17
7	12.5	.68	.29	.73	.42	.23
8	7.6	.35	.26	.42	.21	.08
9	6.9	.52	.24	.49	.20	.08
10	13.5	3.42	.31	3.02	1.37	.73
11	9.7	1.78	.30	3.19	.73	.17
12	10.7	2.40	.32	3.30	.25	.14
13	12.1	9.36	.40	11.51	.39	.38
14	9.7	1.72	.28	2.26	.82	.17
15	7.0	.59	.29	.60	.13	.35
16	7.2	.28	.26	.30	.09	.15
17	8.2	1.64	.29	1.44	.20	.08
18	8.4	.09	.22	.05	.43	.20
19	13.1	.08	.25	.03	.73	.20
20	8.7	1.36	.26	.17	.99	.42

Здесь мы располагаем выборкой объема n = 20; число независимых переменных (факторов) k = 5. Матрица Х должна содержать 6 столбцов размерности 20; первый столбец состоит из единиц, а столбцы со 2-го по 6-й представлены соответственно столбцами 3¸7 таблицы (файл Harvest 2. sta.). Специальный анализ (здесь не приводимый) технологии сбора исходных данных показал, что допущения (12а) могут быть приняты в качестве рабочей гипотезы, поэтому можем записать уравнения статистической связи между y_i и X_i = (x_i1, x_i2, ..., x_i5), i = 1, ..., n в виде (13).

Выполнение в пакете STATISTICA

Работаем в модуле Multiple Regression (множественная регрессия).

Ввод данных. Образуем таблицу 6v ´ 20c с 6 столбцами (variables - переменными) и 20 строками (cases). Столбцы назовем y, x₁, x₂ , ..., x₅ . Введем в таблицу исходные данные.

Предварительный просмотр. Предварительно визуально оценим имеющиеся данные, построив несколько диаграмм рассеяния:

Graphs - Stats 2D Graphs - Scatterplots - Variables - X: x1, Y: y, Graph Type: Regular, Fit (подбор): Linear - OK.

Наблюдаем диаграмму рассеяния с подобранной прямой парной регрессии, параметры которой отражены в заголовке. Повторим это еще 4 раза, заменяя х₁ на другие факторы: х₂ , ..., х₅ . Иногда такой просмотр позволяет увидеть основную зависимость. В нашем примере этого нет.

Выполнение регрессионного анализа:

Analysis - Startup Panel - кнопка Variables: - отбираем зависимую переменную Dependent var: y и независимые переменные Independent var: x₁ ¸ x₅ (при нажатой клавише Ctrl) - OK - Input file (входной файл): Raw Data (необработанные файлы) - OK - в окне Model Definition (уточнения) Metod: Standart, Intercept: Include in model (постоянную составляющую включить в модель) - ОК..

В окне Mult. Regr. Results имеем основные результаты: коэффициент детерминации (19) R² = 0.517; для проверки гипотезы Н₀ об отсутствии какой бы то ни было линейной связи между переменной y и совокупностью факторов определена статистика (24) F = 3.00; это значение соответствует уровню значимости р = 0.048 (эквивалент (25) согласно распределению F (5,14) Фишера с df = 5 и 14 степенями свободы. поскольку значение р весьма мало, гипотеза Н₀ отклоняется.

Кнопка Regression summary - имеем таблицу результатов:

Regression Summary for Dependent Variable: Y
R = .71923865 RІ = .51730424 Adjusted RІ = .34491290 F(5,14) = 3.0008 p<.04787 Std. Error of estimate: 1.5990
	B	St. Err of B	t(14)	p-level
Intercpt	3.51460	5.41853	.648625	.527078
X1	-.00613	.93167	-.006580	.994843
X2	15.54246	21.50311	.722800	.481704
X3	.10990	.83254	.132004	.896859
X4	4.47458	1.54345	2.899065	.011664
X5	-2.93251	3.08833	-.949546	.358448

В ее заголовке повторены результаты предыдущего окна; в столбце В указаны оценки неизвестных коэффициентов по (14). Таким образом, оценка (x) неизвестной функции регрессии f (x) в данном случае:

(x) = 3.51 - 0.06 x₁ + 15.5 x₂ + 0.11 x₃ + 4.47 x₄ - 2.93 x₅ (26)

В столбце St. Err. of B указаны стандартные ошибки s_j оценок коэффициентов (по (21)); видно, что стандартные ошибки в оценке всех коэффициентов, кроме b₄ , превышают значения самих коэффициентов, что говорит о статистической ненадежности последних. В столбце t(14) -значение статистики Стьюдента (22) для проверки гипотезы о нулевом значении соответствующих коэффициентов; в столбце p-level -уровень значимости отклонения этой гипотезы; достаточно малым (0.01) этот уровень является только для коэффициента при x₄ . Только переменная x₄ - количество удобрений, подтвердила свое право на включение в модель. В то же время проверка гипотезы об отсутствии какой бы то ни было линейной связи между y и (х₁ , ..., х₅) с помощью статистики (24) (об этом сказано выше)

F = 3.00 , p = 0.048 ,

говорит о том, что следует продолжить изучение линейной связи между y и (х₁ , ..., х₅), анализируя как их содержательный смысл, так и матрицу парных корреляций, которая определяется так:

возврат в окно Multi. Regr. Results - кнопка Correlations and desc. Stats - Correlations. Из матрицы видно, что х₁ , х₂ и х₃ (оснащенность техникой)

Correlations (harvest2.sta)
	X1	X2	X3	X4	X5	Y
X1	1.000	.854	.978	.110	.341	.430
X2	.854	1.000	.882	.027	.460	.374
X3	.978	.882	1.000	.030	.278	.403
X4	.110	.027	.030	1.000	.571	.577
X5	.341	.460	.278	.571	1.000	.332
Y	.430	.374	.403	.577	.332	1.000

сильно коррелированы (парные коэффициенты корреляции 0.854, 0.882 и 0.978), т.е. имеет место дублирование информации, и потому, по-видимому, есть возможность перехода от исходного числа признаков (переменных) к меньшему.

Сравнение различных регрессий. Пошаговый отбор переменных.

На 1-м шаге (k = 1) найдем один наиболее информативную переменную. При k = 1 величина R² совпадает с квадратом обычного (парного) коэффициента корреляции

R² = r² (y, x) ,

из матрицы корреляций находим:

r² (y, x_j) = r² (y, x₄) = (0.577)² = 0.333

Так что в классе однофакторных регрессионных моделей наиболее информативным предиктором (предсказателем) является x₄ - количество удобрений. Вычисление скорректированного (adjusted) коэффициента детерминации по (20) дает

R²_adj (1) = 0.296.

Это значение получаем возвратом в окно Select dep. And indep. Var. Lists: Dep. Var: y, Indep. Var.: x4 -OK - OK.

2-й шаг (k = 2). Среди всевозможных пар (х₄ , х_j ), j = 1, 2, 3, 5, выбирается наиболее информативная (в смысле R² или, что то же самое, в смысле R²_adj ) пара:

возврат в окно Select dep. And indep. Var. и перебор различных пар; результат:

(х₄ , х₁) = 0.406, (х₄ , х₂) = 0.399,

(х₄ , х₃ ) = 0.421, (х₄ , х₅) = 0.255,

откуда видно, что наиболее информативной парой является (х₄ , х₃ ), которая дает

(2) = (х₄ , х_j) = 0.421

Оценка уравнения регрессии урожайности по факторам х₃ и х₄ имеет вид (х₃ , х₄) = 7.29 + 0.28 х₃ + 3.47 х₄ (27)

(0.66) (0.13) (1.07)

Внизу в скобках указаны стандартные ошибки, взятые из столбца Std. Err. of B таблицы Regression Results для варианта независимых переменных (х₃ , х₄) Все три коэффициента статистически значимо отличаются от нуля при уровне значимости a = 0.05, что видно из столбца p-level той же таблицы.

3-й шаг (k = 3). Среди всевозможных троек (х₄ , х₃ ,х_j), j = 1, 2, 5, выбираем аналогично наиболее информативную: (х₄ , х₃ ,х₅), которая дает (3) = 0.404,

что меньше, чем (2) = 0.421; это означает, что третью переменную в модель включать нецелесообразно, т.к. она не повышает значение (более того, уменьшает). Итак, результатом анализа является (28).

3. Нелинейная зависимость

Связь между признаком x и y может быть нелинейной, например, в виде полинома:

y = P_k (x) + e, (28)

где P_k (x) = b_о + b₁ x + ...+ b_k x^k, k - степень полинома, e - случайная составляющая, Мe = 0, De = s² .

Для имеющихся данных (x_i ,y_i), i = 1, ..., n, можно записать

y_i = b_о + b₁ x_i + b₂ + ...+ b_k + e_i , i =1, ..., n (29)

или, как и (12), в матричной форме:

Y = X b + e , (30)

где .

Имеем задачу (13), и потому все формулы п.2. оказываются справедливыми и в этом случае (28) . Слово “линейный” в названии “линейный регрессионный анализ” означает линейность относительно параметров b_j , но не относительно факторов x_j . Широко используется, кроме полиномиальной, например, следующие модели:

1) логарифмическая; если зависимость y = a₀ , то после логарифмирования получаем

ln y = ln a_o + a₁ ln x = b_о + b₁ ln x;

2) гиперболическая (при обратной зависимости, т.е. при увеличении х признак y уменьшается):

y = b_о + ;

3) тригонометрическая:

y = b_о + b₁ sinwx + b₂ cos wx и другие.

Пример. Имеются эмпирические данные о зависимости y - выработки на одного работника доменного производства от x - температуры дутья; данные приведены в табл. 3 в условных единицах.

Таблица 3

№	X	Y	№	X	Y
1	1.01	8.8	11	5.80	11.8
2	1.15	9.2	12	6.14	12.2
3	1.91	8.7	13	6.64	13.1
4	2.47	10.2	14	6.85	14.4
5	2.66	9.3	15	8.11	17.5
6	2.74	9.4	16	8.47	18.6
7	2.93	10.7	17	9.09	18.6
8	4.04	8.5	18	9.23	18.0
9	4.50	8.9	19	9.59	23.8
10	4.64	8.0	20	9.96	18.4

Выполнение в пакете STATISTICA

Ввод данных. Образуем таблицу 4v ´ 20c, назовем ее, например, Domna. sta. В первые 2 столбца поместим исходные данные x и y. В третьем столбце поместим значения нового фактора х2 квадратов температур, long name: = x^2, в четвертом - х3 третьих степеней температур х, long name: = x^3. Сначала оценим имеющиеся данные визуально, с помощью процедуры Scatterplot (диаграмма рассеяния). Видим, что зависимость, возможно, нелинейная. Построим несколько регрессий.

1) Регрессия первой степени: y = b_о + b₁ x (indep. Var.: x); получим (в скобках указаны стандартные ошибки оценок):

y = 5.36 + 1.40 x

(0.98) (0.16)

= 0.798, s = 2.09.

2) Регрессия второй степени: y = b_о + b₁ x + b₂ x² (indep. Var.: x, x2); получим:

y = 9.9 - 0.88 x + 0.21 x², (31)

(1.33) (0.57) (0.05)

= 0.892, s = 1.53,

коэффициент b₁ = -0.88 незначимо отличается от 0. Эта регрессия лучше предыдущей в смысле и s. Однако, возможно, регрессия третьей степени окажется лучше?

3) Построим регрессию третьей степени: y = b_о + b₁ x + b₂ x² + b₃ x³

(indep. Var.: x, x2 , x3 ); получим:

y = 11.6 - 2.35 х + 0.53 х² - 0.02 х³

(2.33) (1.74) (0.36) (0.02)

= 0.890, s = 1.53,

незначимо отличаются от 0. Поскольку степень увеличилась без увеличения , от регрессии третьей степени отказываемся в пользу (31) второй степени. Однако, гипотеза о нулевом значении b₁ в (31) не отклоняется (p-level = 0.1), и потому построим

4) регрессию y = b_о + b₂ x² без линейного члена (indep. Var.: x2 ); получим

y = 8.02 + 0.13 x² (32)

(0.54) (0.01)

= 0.884, s = 1.6,

Сравнивая ее по и s с (31) , отдаем предпочтение (31), поскольку ошибка прогноза s меньше.

4. Нелинейная зависимость (обобщение)

Предполагается, что связь между факторами (х₁, ...,х_р) и y выражается следующим образом:

y = b_о + b₁ j₁ (х₁, ..., х_р) + b₂ j ₂ (х₁, ..., х_р) + ... + b_k j _k (х₁, ..., х_р) + e

где j_j ( ), j = 1, ..., k, - система некоторых функций. Имеется n наблюдений при различных значениях х º (х₁, ..., х_р): x¹ , x² , ..., xⁿ ; имеем:

y_i = b_o + , i = 1, ..., n,

или в матричной форме:

y = X b + e ,

где Х - матрица n ´ (k + 1), в i-й строке которой (1, j₁ (xⁱ), j₂ (xⁱ), ..., j_k (xⁱ));

y, b , e, как в (13). Получили задачу (13), и потому все формулы п.2 оказываются справедливыми.

Пример. Имеется 20 наблюдений по некоторому технологическому процессу химического производства; x, y - изменяемое содержание двух веществ , z - контролируемый параметр получаемого продукта. Полагая, что

z = P (x, y) + e ,

где P (x, y) = b_о + b₁ x + b₂ y + b₃ x² + b₄ xy + b₅ y² - многочлен второй степени, e - случайная составляющая, Мe = 0, De = s², необходимо оценить функцию P(x, y) и найти точку ее минимума. Данные приведены в табл. 4.

Таблица 4

i	xi	yi	1 zi	2 zi	3 zi	4 zi	5 zi	6 zi	7 zi	8 zi
1	-3	-2	68	222.3	260	17.1	168	122.3	160	117.1
2	-3	1	89.4	146.8	161.4	114.8	189.4	46.8	61.4	214.8
3	-3	3	148.5	155.4	60.5	155.4	248.5	55.4	0.5	255.4
4	-2	-3	56.8	205.2	248.8	7.7	156.8	105.2	148.8	107.7
5	-2	0	18.5	148.4	186.5	116.4	118.5	48.4	86.5	216.4
6	-2	2	73	145.5	145	145.5	173	45.5	45	245.5
7	-1	-2	29.2	141.4	221.2	53.6	129.2	41.4	121.2	153.6
8	-1	3	46	175.1	118	143.1	146	75.1	18	243.1
9	0	-3	46.2	134	174.2	60.9	146.2	34	74.2	160.9
10	0	-1	18.2	100.6	210.2	94	118.2	0.6	110.2	194
11	0	2	31.6	118.5	199.6	86.5	131.6	18.5	99.6	186.5
12	1	-1	8.6	108.4	207.9	94.5	108.6	8.4	107.9	194.5
13	1	1	8.4	121.3	194.5	89.3	108.4	21.3	94.5	189.3
14	1	3	1.9	189.4	215.4	61.4	101.9	89.4	115.4	161.4
15	2	-3	122.3	107.5	117.1	112.2	222.3	7.5	17.1	212.2
16	2	1	8.1	125.8	205.4	53.8	108.1	25.8	105.4	153.8
17	2	-3	20.8	205.9	186.9	5.9	120.8	105.9	86.9	105.9
18	3	-2	105.2	120.8	107.7	86.9	205.2	20.8	7.7	186.9
19	3	0	34	133	160.9	61	134	33	60.9	161
20	3	2	7.5	200.4	212.2	0.4	107.5	100.4	112.2	100.4

Выполнение в пакете STATISTICA

1. Образовать таблицу 6v ´ 20c, в 3 столбца которой ввести исходные данные.

2. Образовать новые факторы - столбцы, соответствующие x², xy, y², и вычислить их значения.

3. Построить регрессию, выписать результат (вместе с ошибками коэффициентов) и построить трехмерный график соответствующей функции; последнее с помощью команд:

Graphs 3DXYZ Graphs - Surface Plot или

Graphs 3DXYZ Graphs - Contour Plots.

Литература

1. Тюрин Ю.Н. , Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М.: Финансы и статистика, 1995. 384 с.

2. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968. 548 с.

1. Смирнов Н.В., Дунин - Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 1965. 511с.

2. Горицкий Ю.А., Перцов Е.Е. Практикум по статистике с пакетами. М.: Изд - во МЭИ, 1997. 84 с.

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.:Дело, 1998. 248с.

4. Айвазян С.Ф., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

5. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979. 408 с.

43