g12 (Акчурин), страница 2

где - означают пределы в точке слева и справа.

Задача классического вариационного исчисления с - фазовыми координатами имеет вид:

где

, .

Необходимые условия:

1. Уравнение Эйлера:

Граничные условия:

.

1. Условие Лежандра:

Матрица отрицательно определена или отрицательно полуопределена.

1. Условие Вейерштрасса:

1. Условие Вейерштрасса - Эрдмана

и являются непрерывными в точке излома.

Здесь:

Таким образом уравнение Эйлера распадается на :

.

Ограничения.

1. Изопериметрическая задача

,

где

- заданная непрерывно дифференцируемая функция,

- заданная константа.

Вводится множитель Лагранжа и определяется функционал:

Уравнение Эйлера

Это уравнение вместе с граничными условиями определяет решение.

Для изопараметрических задач выполняется важный принцип взаимности, согласно которому, если максимизирует при условии, что равно постоянной величине, то минимизирует при условии, что равно постоянной величине.

Например,

кривая постоянной длины, ограниченная площадь которой максимальна, является также кривой с минимальной длиной, ограничивающей заданную площадь. Такой кривой является окружность.

1. Другой вид ограничений - в форме равенства.

где

- заданный вектор - столбец, составленный из функций.

- заданный вектор - столбец.

- число степеней свободы задачи.

Предполагается, что ранг матрицы Якоби равен :

Вводятся множителей Лагранжа(вектор ):

составляется функция Лагранжа:

и тогда нужно выбрать функцию , минимизирующую функционал:

и вектор , минимизирующий .

Уравнение Эйлера

совместно с граничными условиями и ограничениями типа равенства, определяют решение задачи.

1. Ограничения в форме неравенства.

где

- заданный вектор - функция размерности .

Строится функция Лагранжа, так же как в предыдущем случае.

Тогда решение ищется из

- уравнение Эйлера.

- условия Куна - Таккера.

Из условий Куна – Таккера вытекают условия дополняющей нежесткости, состоящие в том, что любой множитель Лагранжа равен нулю, если соответствующее ограничение выполняется как строгое неравенство и что любое ограничение выполняется как равенство, если соответствующий множитель Лагранжа положителен.

Замечание.

С помощью задач вариационного исчисления можно решать ряд задач управления с определенными типами ограничений.

Однако принципиальный недостаток классического вариационного исчисления состоит в том, что оно неприемлемо для непосредственного решения задач, в которых значения управляющих параметров принадлежат фиксированной области. Этот недостаток преодолен в новых подходах в динамическом программировании и в принципе максимума.

12.3Виды управления.

В задачах управления встречаются два вида управления:

1. управление по разомкнутому контуру.

В этом случае оптимальное управление, являющееся решением задачи оптимального управления, определяется как функция времени

.

Управление полностью определяется в начальный момент , а фазовая траектория отыскивается в результате интегрирования уравнения движения при фиксированных начальных условиях и .

Задачи оптимального управления по разомкнутому контуру называются задачами определения оптимальной программы.

1. управление по замкнутому контуру.

В этом случае оптимальное управление определяется как функция текущих фазовых координат и времени .

В отличие от управления по разомкнутому контуру, когда все решения принимаются заранее, при управлении по замкнутому контуру решения можно пересматривать с учетом новой информации, которую несут текущие фазовые координаты.

Задача определения оптимального управления по замкнутому контуру называется задачей синтеза.

Если предполагается, что задача управления не содержит случайных переменных и что все необходимые параметры, функции и множества, указанные в задаче управления полностью определены, то в этом случае управление по разомкнутому контуру и управление с обратной связью приводят к одинаковым результатам.

В стохастических задачах оптимального управления и задачах адаптивного управления применяется управление с обратной связью.

12.4Задача управления как задача математического программирования в бесконечномерном пространстве.

Рассмотрим следующую задачу управления:

( 12.4.0)

и - фиксированы.

- фиксирован.

Эта задача отличается от общей задачи оптимального управления следующими свойствами:

1. она автономна, то есть уравнение движения и целевой функционал не зависят явно от времени;

2. она относится к классу задач Лагранжа, так как целевой функционал не зависит от конечного состояния или от ;

3. эта задача с закрепленным временем, так как задано, а - произвольно;

4. задача содержит одну фазовую координату и один управляющий параметр.

Заданный промежуток времени разбиваем на интервалов:

Время измеряется дискретно

Состояние и управление замеряются в отмеченные дискретные моменты времени

Рассматривается задача математического программирования:

( 12.4.0)

разностные уравнения ( 12.4 .0) при превращаются в дифференциальные ( 12.4 .0).

Таким образом задачу управления можно считать задачей математического программирования в бесконечномерном пространстве. Этим пространством является множество всех кусочно - непрерывных вещественных функций , определенных на промежутке .

Пример.

Движение ракеты, запускаемой в космос, описывается системой уравнений:

где

- координаты положения;

- координаты скорости;

- масса ракеты;

- величина тяги;

- угол между направлением тяги и осью ;

- секундный расход массы;

- проекция суммы сил тяжести и сопротивления атмосферы на ось ;

- проекция суммы сил тяжести и сопротивления атмосферы на ось .

Начальные условия:

где

- фиксированные числа.

Конечные условия:

( 12.4.0)

Предположим, что ракета должна быть выведена на круговую орбиту замкнутого радиуса .

Тогда ( 12.4 .0) будет вычисляться так:

( 12.4.0)

Это условие означает, что векторы с координатами и

ортогональны, то есть скорости точки в момент направлены по касательной к окружности заданного радиуса.

( 12.4.0)

Это условие говорит, что скорость точки должна равняться скорости движения по круговой орбите.

( 12.4 .0), ( 12.4 .0) гарантируют, что если при двигатель будет выключен, то последующее свободное движение будет движением по окружности.

Задача с дискретным временем.

Практически всегда развитие экономической системы описывается конечно - разностными уравнениями.

Задача Лагранжа.

Определить векторы и , доставляющие минимум

при условии

где