Уравнения (8) будем называть укороченными уравнениями или уравнениями Ван-дер-Поля. Они значительно проще исходной системы (7), поскольку первое уравнения может быть проинтегрировано независимо от второго. В системе (8) медленные и быстрые движения для разделены.

Интегрируя первое из уравнений этой системы, мы находим закон изменения амплитуды. Очень часто в прикладных задачах бывает достаточно найти только зависимость амплитуды от времени. В рассматриваемой теории для этого достаточно найти решение уравнения первого порядка (в общем случае нелинейного).

Определение фазы сводится к квадратурам. Наибольший интерес обычно представляет не сама фаза, а скорость ее изменения в зависимости от амплитуды. Ответ на этот вопрос дает непосредственно второе уравнение системы (8).

Итак, метод Ван-дер-Поля решения уравнения (1) состоит в переходе от переменной х и y к переменным а и (которые мы будем называть переменными Ван-дер-Поля) и к замене точных уравнений (7) укороченной системой (8).

Система (8) позволяет найти возможные стационарные (автоколебательные) режимы, т.е. режимы, при которых амплитуда остается неизменной. Полагая , находим, что стационарная амплитуда должна быть корнем трансцендентного уравнения

(10)

Заметим, что уравнение (10) совпадает с одним из тех уравнений, которое мы получили бы, если бы рассматривали уравнение (1) как квазилинейное и разыскивали периодические решения методом Пуанкаре.

Трансцендентное уравнение (10) может совсем не иметь действительных решений. Это будет означать, что в системе стационарные колебания невозможны. Уравнение (10) может иметь одно или несколько решений, в случаях консервативных систем оно удовлетворяется тождественно. В самом деле, в этом случае функция f зависит только от переменной x, поэтому уравнение (10) примет вид:

(10а)

Так как , то под знаком интеграла стоит полный дифференциал:

Обозначим через F — неопределенный интеграл .

Тогда ,

то есть уравнение (10а) удовлетворяется тождественно по .

Обоснование метода Ван-дер-Поля

Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси.

Рассмотрим систему стандартного вида

(s=1,2) (1)

Уравнение Ван-дер-Поля также можно привести к системе стандартного вида:

(2)

Сделаем замену

,

тогда: (3)

Будем считать = .

Среднее значение функции за период 2 :

При этом усреднении интегрирование ведется по третьей переменной t в предположении, что и от t не зависят.

Наряду с точной системой рассматривается приближенная

, (s=1,2).

Обе системы, приближенная и точная, решаются при начальных условиях

(4)

Для задач Коши (1) и (4), (3) и (4) справедлива следующая теорема:

Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных функции непрерывны и ограничены. Функции также непрерывны и ограничены в области Г. — 2 -периодические по t. Функции и — удовлетворяют условию Липшица по переменным и (при этих условиях существует и единственно решение). Тогда для и L>0:

(5)

0 (6)

Доказательство:

Решение задач Коши (1) и (4), (3) и (4) существует и единственно. Поэтому решение (1) и (4) будем искать методом приближений.

Обозначим

(*)

Функция — 2 -периодическая по .

Пусть

(7)

удовлетворяет условиям Липшица по переменным и . Проинтегрируем функцию :

.

Интеграл и поэтому

(7a)

В промежутке находятся те значения t, для которых будет существовать решение (1) - (4) и оно не выйдет за пределы области G. Это характеризуется так

Из теоремы Пикара следует, что при всех таких t приближенное выражение сходится к решению задачи Коши:

— целую часть от деления обозначим N. Тогда — дробная часть

,

где — остаточный интервал.

С учетом возможности такого разбиения

Если рассмотреть , то последнее выражение перепишется в виде:

= ,

где с учетом (4)

=

Рассмотрим интеграл при

и от не зависят. Из равенств (7а) следует, что последнее выражение равно нулю .

Вычислим

То есть

(8)

Мы можем сказать, что в (8), все, что стоит под знаком суммы

Так как

,

то последнее неравенство равносильно следующему:

Поэтому:

= , (9)

где

(10)

— удовлетворяет условию Липшица, поэтому мы можем воспользоваться этим, переходя к оценкам

(11)

(12)

Пусть , причем , тогда:

(13)

Оценим

(14)

Фактически нужно оценить величину .

Используем условие Липшица для , тогда последнее неравенство

(последняя оценка получена с помощью неравенства (11)).

(15)

(16)

Можно увидеть следующую закономерность

(17)

По методу математической индукции, для оценки верны. Покажем их справедливость и для

Используя формулу (13), далее получим:

(18)

Теперь в этом неравенстве перейдем к пределу при

(19)

Обозначим через

Так как мы пользовались условиями Липшица, нужно убедиться, что приближения не выходят из области G.

— по теореме Пикара это не выходит за пределы области G, то есть

В силу плотности числовой прямой

, где (20)

Проверим, вышло ли первое приближение за пределы области G. Пользуясь оценками (19) и (20), имеем:

Возьмем

,

тогда

Аналогично проверяем второе приближение

Возьмем

, тогда

И если

,

если

Если мы перейдем к перейдем к пределу при , то получим:

(21)

Если мы будем выбирать из условия (21), то использование условия Липшица законно.

необходимо согласовывать с с помощью (21) и

Решение уравнения

Рассмотрим уравнение

(1)

Данное уравнение второго порядка описывает колебательное движение. Здесь ω – некоторая действительная постоянная, а ε – малый параметр.

Делаем в уравнении (1) замену: тогда получим систему

(2)

Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и , полагая здесь и далее , согласно формулам

(3)

Далее, дифференцируем (3) по t, считая и φ .

(4)

Подставим (4) в (2), учитывая (3).

(5)

Разрешим эту систему относительно

Домножим второе уравнение на

,

тогда имеем:

(6)

Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1). Соответствующая системе (6) усредненная система имеет вид

(7)

В системе (7) и имеют вид:

то есть

Таким образом имеем

или

(8)

Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды в зависимости от времени, необходимо решить первое уравнение системы (8):

Умножим обе части равенства на :

.

Сделаем замену

,

умножаем обе части равенства на :

Так как ,

то тогда ,

или

Предположим, что , тогда

; ;

+ .

Отсюда находим

(9а)

Колебания представятся следующим образом (находим выражение для приближенного значения x в явном виде)

(9)

Найдем

Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение , малое или большое, все равно при .

Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды =0, амплитуда останется равной нулю для любого t, и, следовательно, получим х=0, то есть тривиальное решение уравнения (1). Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому режиму, то есть отсутствию колебаний в системе.

Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям, равным . Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматически возбуждаются колебания с амплитудой, то есть система самовозбуждается.

Из выражения (9) следует, что если , то , и для любых очень быстро приближается к значению независимо от . Это решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму:

(10)

Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы.

Режимы с постоянной амплитудой, для , приводят к уравнению

А = =0

.

Корни этого уравнения ;

; <0

Таким образом, соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а соответствует устойчивому предельному циклу.

Для любого заданного положительного сколь угодно малого значения параметра всегда можно найти такое достаточно малое значение параметра , для которого уравнение (1) или, что то же самое, система (2), имела бы предельный цикл, лежащий в окрестности окружности , причем этот предельный цикл устойчив, если , и неустойчив, если . Все эти рассуждения следуют из теоремы Мандельштама и Папалекси.

Наряду с точной системой рассматривается приближенная

, (s=1,2) .

Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных функции непрерывны и ограничены. Функции также непрерывны и ограничены в области Г. — 2 -периодические по t. Функции и — удовлетворяют условию Липшица по переменным и (при этих условиях существует и единственно решение). Тогда для и L>0 : , 0 ,

где (s=1,2) =

(s=1,2)

Проверим выполнение условий теоремы для нашего уравнения. Из системы (6) находим и :

Очевидно, что и непрерывны.

, из этих неравенств видно, что и ограничены для любого конечного . Функции и для системы (2) имеют вид:

.

Из последней системы видно, что и непрерывны и ограничены для любого конечного . и — периодические по t с любым периодом, в том числе и . Функции и , и непрерывно дифференцируемы по t, а следовательно удовлетворяют условию Липшица.

Пусть и — решения точной системы (6). Тогда для и : , .

( В нашем случае , определяется уравнением (9а)).

Выводы

В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.