.

Тогда передаточные функции:

– дифферецирующего звена,

– интегрирующего звена.

4.3.Звенья запаздывания

Запаздывание реакции на внешние воздействия принципиально существует во всех объектах экономики, например, выпуск продукции по отношению к поступлению материалов в производство, ввод производственных фондов по отношению к выделению на них капиталовложений, принятие решений о заказах на товары в ответ на выявленный спрос и т. д. Для моделирования таких явлений в динамических системах часто применяют звенья дискретного запаздывания и инерционные звенья.

Звено дискретного запаздывания описывается формулой:

.

В этом случае графически оба процесса имеют одинаковый вид. Однако выходной процесс смещен на T единиц по оси времени вправо. Величина T называется лагом.

Инерционными звеньями называют такие, у которых реакция на входное воздействие запаздывает и форма выходного процесса не повторяет форму входного процесса как при дискретном запаздывании. Если входной процесс представляет собой поток материалов, энергии, денежных средств и т. д., то внутри звена накапливается определенное количество этих материально-вещественных элементов, равное разности входного и выходного процессов. Инерционными звеньями моделируют также реакцию покупателей в ответ на поступление товара в продажу, ввод основных производственных фондов, в ответ на капиталовложения и т. д.

Инерционное звено первого порядка описывается уравнением следующего вида:

.

Отсюда изображение процесса на выходе звена

,

где , .

Следовательно, передаточная функция инерционного звена

.

Оригинал этого уравнения представляет собой реакцию на импульс в виде дельта-функции . Оригинал имеет вид:

Изображение и оригинал реакции на единичную ступенчатую функцию запишутся в виде:

.

Своеобразие экономических объектов, моделируемых инерционными звеньями, состоит в том, что в них накапливается разность вещественных единиц, из которых состоят входной и выходной потоки. Обозначим накопленное количество единиц через . Тогда

,

где z₀=z(0) – количество накопленных единиц в нулевой момент времени. Таким образом, при любом экзогенном воздействии и начальном состоянии звена z₀ интенсивность (скорость, темп) выходного процесса инерционного звена пропорциональна текущему количеству накопленных единиц внутри звена. Коэффициент пропорциональности равен 1/T. Очевидно, что статистическое постоянство этого коэффициента в любых объектах экономики может служить признаком того, что динамической моделью объекта является инерционное звено.

5.Динамическая модель.

В этой главе будет рассмотрено взаимодействие интересующих нас субъектов в динамике с использованием математического аппарата преобразования Лапласа. Будут выведены ограничения на выделение помощи частным хозяйствам, при которых кооперативы не будут деградировать. Это пригодится нам в дальнейшем при синтезе математической модели, включающей в себя регламентирование отчислений в зависимости от распределения трудовых ресурсов.

5.1.Производственная функция и производственные фонды.

В процессе производства, с одной стороны, осуществляются капиталовложения и ввод производственных фондов в эксплуатацию. Этим процессом обусловлено увеличение количества производственных фондов. С другой стороны, происходит уменьшение производственных фондов в результате амортизации и выбытия. Если в качестве модели движения производственных фондов принять инерционное звено первого порядка, у котороко внешнее воздействие I(t) – интенсивность потока капиталовложений, S(t) – интенсивность потока амортизации и T – лаг эксплуатации производственных фондов, тогда текущая стоимость производственных фондов определяется операторным уравнением:

, (1)

где F₀ – начальная стоимость производственных фондов.

Запишем изображение процесса амортизации в виде:

, (2)

то есть амортизация пропорциональна текущей стоимости производственных фондов и составляет постоянную ее долю. Доля амортизированных фондов n – норма амортизации. Подставив реакцию A(s) в (1) и решив выведенное уравнение относительно F(s), получим следующую зависимость накопленного количества производственных фондов от капиталовложений:

. (3)

Предположим теперь, что производственная функция зависит только от стоимости производственных фондов, то есть является однофакторной. В данном случае следует абстрагироваться от трудовых ресурсов и прочих параметров, так как они не влияют на окончательный результат. Запишем однофакторную динамическую производственную функцию сельхозпредприятия:

, (4)

где  – фондоотдача.

Подставим в эту функцию полученное выражение для производственыых фондов и получим зависимость интенсивности выпуска от интенсивности потока капиталовложений в операторной форме:

, , (5)

где (s) – передаточная функция производственного звена.

5.2.Модель развития отдельного предприятия.

В синтезе модели отдельного предприятия будем исходить из того, что объем произведенной и реализованной продукции зависит от остаточной стоимости ОПФ, которая может увеличиваться или уменьшаться. Она возрастает в зависимости от капиталовложений и уменьшается в результате амортизации и выбытия некоторой части основных средств. Следовательно, рост объемов выпуска может быть обеспечен в том случае, если капиталовложения превышают количество изношенных ОПФ, тогда и текущая их стоимость увеличивается. При снижении стоимости ОПФ рост объема выпуска может быть достигнут за счет повышения фондоотдачи, то есть влияния научно-технического прогресса. Эти явления отражает модель производства в виде однофакторной динамической производственной функции.

Капиталовложения слагаются из централизованных средств I(t) и отчислений от дохода U(t). Предположим, что отчисления регламентируются нормативом a < 1. Тогда функциональную структуру развития предприятия можно представить в виде модели с положительной обратной связью, состоящей из двух звеньев. Усилительное звено 2 отражает процесс выделения собственных капиталовложений при нормативе отчислений от объема реализации продукции a. Вместе с централизованными капиталовложениями собственные средства воздействуют на звено производства 1, изменяя стоимость ОПФ и объем дохода от реализации продукции X(t) в видединамической производственной функции.

Чтобы найти передаточную функцию системы необходимо разрешить систему уравнений относительно X(s):

(6)

Где n – норма амортизации,

F₀ – начальное значение стоимости ОПФ,

 – фондоотдача в единицах измерения остаточной стоимости ОПФ,

a – норматив отчислений в фонд развития производства,

n – норма амортизации

Рис. 5.1

В результате получим:

, (7)

где первое слагаемое – вынужденная, а второе – свободная составляющая; x₀ – начальное значени еинтенсивности производства и реализации продукции. Передаточная функция системы равна . (8)

Структура системы с такой передаточной функцией показана на рис. 5.1.

5.3.Динамика взаимодействия производства сельхозкооперативов и личных хозяйств членов этих кооперативов.

Рассмотрим теперь, как ведет себя передаточная функция применительно к нашей проблеме. Для этого необходимо предсталять себе структуру взаимосвязей и элементов системы. Искомая схема приводится нна рис. 5.2.

P_I

Производство 2

Производство 1

ОПФ₂

P_X2

P_Y2

P_X1

P_Y1

A₂

U₂

a₂X₂

(1-)a₂X₂

a₂X₂

I

I

П₂+L₂

П₁+L₁

A₁

U₁

I

X₂

Y₂

C₂

X₁

Y₁

C₁

Р

ОПФ₁

a₁X₁

ис. 5.2.

Где

I	Внешние инветиции.
I	Инвестиции, направленные в коллективные хозяйства. (0<<1)
I	Инвестиции, направленные в частные хозяйства. (0<<1, +=1)
X	Валовой продукт.
Y	Валовой продукт минус амортизационные отчисления.
C	Конечный продукт.
П	Природные ресурсы.
L	Трудовые ресурсы.
A	Амортизационные отчисления.
U	Чистые инвестиции (Расширенное воспроизводство).
	Доля валового продукта, идущая на капиталовложения.
(1-)a2X2	Доля валового продукта коллективных хозяйств, идущая на инвестиции в частные хозяйства.

Дополним модель еще одним условием. Предположим, что внешние инвестиции зависят от эффективности функционирования сельхозкооператива и примем , >0.

Как уже было сказано выше, производственный процесс описывается следующим уравнением:

(9)

или с учетом нешего предположения:

. (10)

Тогда модель примет следющий вид:

(11)

. (12)

Из первого уравнения получим, что конечный продукт сельхозкооператива выразится следующим образом:

(13)

Отсюда условие безразличного равновесия:

. (14)

Для того, чтобы производство в сельхозкооперативе не деградировало, необходимо, чтобы:

, (15)

. (16)

Условие (16) можно трактовать как условие полного расхищения производственных фондов сельхозпредприятий.

Из (12) следует, что валовой продукт частных хозяйств будет:

. (17)

Где , .

Отсюда . (18)

При отсутствии внешних инвестиций (I(t)=0) часть валовых капиталовложений сельхозкооперативов будет отвлекаться на инвестиции в производство частных хозяйств. Заметим, что эта ситуация более характерна для сложившейся экономической ситуации, потому что на данный момент инвестиций в агропромышленный комплекс как таковых нет. Предположим, что коллективное производство получит капиталовложений , а для частных хозяйств некоторым эквивалентом внешних инвестиций явится , где 0<<1. В этом случае модель примет вид:

, ; (19)

, . (20)

Условие безразличного равновесия запишется в виде: . (21)

Расширенное воспроизводство в коллективном хозяйстве будет иметь место при . (22)

Из (19) и (20) следует:

, (23)

. (24)

Таким образом, исходя из (22) необходимо обеспечить определенное соотношение экономических коэффициентов , , n, a, при котором производство в сельхозкооперативе не деградирует ( ), а, что еще лучше, прогрессирует и увеличивает объемы выпуска продукции и валовые капиталовложения ( ).

6.Модель взаимодействия хозяйств сельхозкооперативов и личных хозяйств членов кооперативов.

6.1.Структурная схема

В разделе 5 были получены условия обеспечения расширенного воспроизводства при совместном функционировании сельхозпредприятий и личных хозяйств работников этих предприятий. Рассмотрим далее, каким образом можно повысить эффективность этого взаимодействия.

Далее проанализирована модель, в которой личные хозяйства максимизируют свою прибыль за счет перераспределения доли труда, вложенного в предприятия и в личные хозяйства и эта доля зависит от коэффициента k, характеризующий поощрение личных хозяйств за труд, вложенный в сельхозпредприятие. Руководитель предприятия, зная подход личных хозяйств к распределению труда оптимизирует прибыль сельхозпредприятия за счет выбора значения коэффициента поощрения.

Как следует из приведенного анализа производства сельхозкооперативов в районных АПК Тверской области, вклад в производство фермерских и подсобных хозяйств незначителен. Соответственно, структура рассматриваемой системы производителей сельхозпродукции может быть представлена в виде двух взаимодействующих подсистем сельхозпредприятий с различными формами собственности и личных хозяйств членов этих кооперативов (Рис. 6.1).

Р
ис. 6.1.

Где
L	Труд,
П	Природные ресурсы,
Ф	Основные производственные фонды (ОПФ),
X	Валовой продукт,
W	Производственное потребление,
Y	Конечный продукт,
I	Валовые капитальные вложения,
C	Непроизводственное потребление,
А	Амортизационные отчисления,
R	Чистые капитальные вложения.

Для данной схемы верны следующие соотношения:

Валовой продукт делится на производственное потребление и конечный продукт

(1)

Аналогичным образом получим:

(2)

(3)

Объем наращивания ОПФ при расширенном воспроизводстве пропорционален «чистым» инвестициям:

, (4)

а амортизационные отчисления

, (5)

где  – коэффициент амортизации оборудования. Тогда

(6)

Однако (1) в случае коллективного хозяйства, при наличии «помощи» частным хозяйствам примет вид:

, (7)

где .

Таким образом, делится на производственное потребление коллективного хозяйства и «поддержку» частных хозяйств. Причем производственное потребление пропорционально объему валового продукта:

(8)

Основная идея регламентирования подобного вида «помощи» состоит в том, чтобы отток средств коллективного хозяйства был функцией трудового вклада работников в производство предприятия, т. е.

. (9)

Запишем теперь выражение для конечного продукта коллективного хозяйства с учетом проведенных рассуждений:

(10)

или

(11)

Предположим, совокупный трудовой потенциал всех работников предприятия равен L, часть которого может быть отдана коллективным, а остальное – частным хозяйствам. Пусть

, (12)

где . Таким образом, оставшаяся доля L пойдет на производство в частных хозяйствах:

. (13)

Отметим, что коэффициент  варьируется именно частными хозяйствами, то есть они выбирают наиболее оптимальное распределение труда в зависимости от получаемой прибыли. Повышая плату за труд руководитель коллективного хозяйства влияет на выбор  частными хозяйствами.

6.2.Производственные взаимосвязи.

Для дальнейших рассуждений введем производственную функцию. Валовой продукт агропромышленного предприятия в общепринятом понимании является функцией четырех параметров:

. (14)

Однако в данном случае будем рассматривать двухфакторную производственную функцию, так как, по предположению модели исследуемая взаимосвязь распространяется только на два параметра. Таким образом:

. (15)

Рассмотрим производственную функцию предприятий коллективных хозяйств (F₂). На производственное потребление расходуется , а труд, затраченный на производство выразится формулой – . Тогда производственная функция примет вид:

или исходя из (9)

. (16)

Конечный продукт предприятия выразится следующим образом:

, (17)

то есть валовой продукт делится на производственное потребление предприятия как такового и поддержку частных хозяйств. Естественно предположить, что целью коллективных хозяйств будет увеличение объемов конечного продукта. Для этого разумно положить зависимость (9) линейной,

. (18)

причем при нулевом вложении труда в коллективные хозяйства помощь частным тоже должна быть нулевая и где . О множестве K следует сказать отдельно. Очевидно, что оно имеет следующий вид: K=[0, k_max]. Для определения k_max можно воспользоваться моделью, рассмотренной в предыдущей главе. При анализе случая, когда часть валового продукта идет на инвестирование производства, а остальное на поддержку частных хозяйств было получено, что расширенное воспроизводство предприятия будет иметь место при следующем соотношении экономических коэффициентов:

.

То есть  часть производственного потребления должна обязательно поступать в коллективное производство. Таким образом, максимальный отток продукта должен составить или . (19)

Тогда k_max может быть получено преобразованием выражения (18) с использованием (19):

или . (20)

С другой стороны, можно действовать следующим образом. Предположим, что предприятие не получает никакой прибыли, однако оно должно покрыть амортизацию оборудования и заплатить зарплату своим работникам, для чего необходимо выполнение следующего неравенства:

. (21)

Где S – коэффициент оплаты труда. В этом случае в предприятии будет иметь место простое воспроизводство. Таким образом максимальный размер выделяемой помощи не должен превышать

. (22)

В результате получим:

. (23)

С учетом вышеприведенных рассуждений формула (17) перепишется следующим образом:

. (24)

Рассмотрим теперь, из каких компонентов складывается прибыль «частников». Очевидно, что это конечный продукт и заработная плата (инвестиции в данном случае принимаем равными нулю). Производственная функция будет следующей:

, (25)

при этом учтем, что производственное потребление будет удовлетворено в необходимом количестве, т. е. W₁ не зависит от распределения труда. Тогда прибыль составит:

. (26)

При этом два последних слагаемых означают соответственно помощь от коллективных хозяйств и заработную плату, а S – это коэффициент оплаты труда.

Работники выбирают такое распределение трудовых ресурсов, при котором прибыль будет максимальной:

. (27)

В результате получаем следующую задачу оптимизации:

(28)

Рассмотрим второе соотношение. Для достижения максимума необходимо, чтобы , и соответственно:

, (29)

что доставляет максимум функции Y₁. Подставляя (29) в (28), получим:

. (30)

Для этого необходимо, чтобы .

В результате решения этого уравнения находится k=k^*, оптимальное с точки зрения максимума функции Y₂. Параметр =^* вычисляется по формуле (29). Полученное решение (k^*,^*) отражает состояние равновесия между подсистемами.

Также представляет интерес трансформация задачи (28) в следующий вид:

. (31)

Смысл этого выражения заключается в том, что руководитель предприятия является, как бы более "ответственным" за состояние сельского хозяйства в целом и преследует целью увеличение прибылей как коллективного, так и частных хозяйств. Коэффициент  показывает степень "важности" того или иного критерия и удовлетворяет условию 0<<1.

6.3.Взаимодействие сельхозпредприятий и личных хозяйств для частного случая производственной функции.

Как уже было упомянуто выше, с помощью максимизации выражения (27) необходимо найти зависимость и на основании этого вычислить оптимальное значение k^*.

Для этого предположим, что производственная функция предприятий имеет вид функции Кобба-Дугласа:

, (32)

где A = const > 0 – некоторый коэффициент, а .

Тогда валовой продукт частных хозяйств выражается следующим образом:

. (33)

Отсюда формула (27) примет следующий вид:

. (34)

Подсчитаем производную полученной функции. Она равна

. (35)

Для достижения максимума прибыли необходимо, чтобы

.

Таким образом

. (36)

Рассмотрим поподробнее вид полученной зависимости. При возрастании k увеличивается "поощрение" трудового вклада работника в коллективное хозяйство путем увеличения поддержки при одном и том же вкладе. Таким образом, члену кооператива становится выгоднее распределить свой трудовой потенциал в пользу кооператива. Следовательно, функция (k) монотонно возрастает на или . Однако величина убывает с возрастанием k так как при распределении своего труда в пользу кооператива работнику остается меньше времени для производства собственной продукции. В результате ситуация стремится к моменту когда член кооператива не сможет найти время на то чтобы воспользоваться выделенной ему поддержкой. Отсюда можно сделать вывод, что функция (k) вогнута. Таким образом, отметим следующие свойства зависимости =(k):

• , для .

• , для .

График этой функции для , , , представлен на рис. 6.3.1.

р
ис. 6.3.1.

Видно, что построенный график удовлетворяет вышеперечисленным условиям.

Производственная функция сельхозкооператива имеет вид:

. (37)

Конечный продукт получается путем вычитания производственного потребления и поддержки частников из валового продукта:

. (38)

Подставляя в это соотношение вместо  рассмотренную выше функцию =(k) получим:

. (39)

На рис. 6.3.2 изображен график этой функции. Видно, что она имеет максимум на . Именно для значения k^* достигается максимальная прибыль предприятия АПК.

Р
ис. 6.3.2

К сожалению, аналитически выразить k^* не представляется возможным, однако, используя численные методы, его можно найти. В данном случае оно равно примерно 0,63. Таким образом, администрация коллективного хозяйства должна выбрать соответствующий коэффициент поощрения k, основываясь на показателях своего производства и на отличительных его особенностях.

Вернемся к задаче (31). Напомню, что она характеризует действия дирекции, направленные не просто на увеличение прибыли своего хозяйства, но и на увеличении прибыли частных хозяйств. В данном случае вместо  в функции Y₁ и Y₂ нужно подставить =(k). Задача примет следующий вид:

. (40)

Данная проблема также представляет интерес и должна быть рассмотрена руководством предприятия.

В заключение отметим, что вид графиков, представленных на рис. 6.3.1 и 6.3.2 может меняться от показателей производства, таких как фондоотдача, производительность труда и т. д. Максимум k может быть достигнут и не границе множества K.

7.Заключение.

В работе рассмотрена структура системы производства сельхозпродукции, сложившаяся в настоящее время в районных АПК Тверской области. Из результатов рассмотрения следуют выводы.

1. Из анализа статистичестких данных функционирования районных АПК, можно утверждать, что основными производителями сельхозпродукции в России сейчас являются сельхозпредприятия с различными формами собственности и частные хозяйства работников этих предприятий. Причем наблюдается взаимная интеграция этих производств, связанная с оттоком финансовых средств из первых во вторые. При дальнейшем сохранении сложившегося взаимодействия, существует угроза полного развала этого сектора экономики и экономики страны в целом.

2. Проведен анализ функционирования и взаимодействия подсистем частных и коллективных хозяйств. Разработана математическая модель, позволяющая для определенных условий находить оптимальное решение задачи, при котором сельхозкооперативы оптимизируют прибыль не препятствуя функционированию личных хозяйств. Для этого предложена схема, на основе которой предоставление материальных ресурсов (помощи) частным хозяйствам зависит от труда, вложенного в производство сельхозпредприятий. Основная идея состоит в том, что при определенном характере (количественном значении) помощи личным хозяйствам со стороны сельхозпредприятий, работникам оказывается выгодным выделять для работы на предприятиях необходимую для последних часть своего труда.

3. Для конкретного примера произведены расчеты по оптимизации конечного продукта и проанализирован вид полученных зависимостей.

Основная идея решения состояла в том, чтобы ввести в зависимость выделение помощи от количества труда, вложенного в кооператив. Исходя из этого, предположительно можно добиться того, чтобы членам кооператива было выгоднее в нем работать, что решит проблему в целом.

8.Литература

1. Каданер Э.Д. Динамическое моделирование экономических систем. Пермь, 1990.

2. Ждакаев С. Конец диктатуры ленивых. // Известия, 17.02.98.

3. Лисичкин Г. Бывшие «братья» в поисках выхода из аграрного тупика. // Известия, 10.08.97.

4. Пугачев В.Ф., Пителин А.К. Анализ вариантов антиинфляционной экономической политики экономике // Экономика и математические методы, 1996’1.

5. Пугачев В.Ф., Пителин А.К. Инфляция в технически отсталой монополизированной экономике // Экономика и математические методы, 1995’1.

6. Основы теории оптимального управления. Под ред. Кротова. Москва, 1990.

7. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. Москва «Наука», 1981.

8. Хромов Ю.С. Производственная безопасность России: внутренние и международные аспекты // Общество и экономика, 1994’9-10.

9. Дроздов Н.Д. Введение в прикладное математическое моделирование. Методология и логика прикладной математики. Тверь, ТвГУ, 1994.

10. Статистические данные хозяйствования Максатихинского и Конаков ского районов в 1992-96 гг.

11. Вахина Н.Д. “Анализ состояния и перспектив развития Максатихинского района”. Дипломная работа. Научный руководитель Дроздов Н.Д., Тверское заочное отделение Северо-западной академии государственной службы. Тверь 1997 г.

12. Рассказова В.Н. “Анализ состояния и перспектив развития Конаковского района”. Дипломная работа. Научный руководитель Дроздов Н.Д., Тверское заочное отделение Северо-западной академии государственной службы. Тверь 1997 г.

36