84342 (Линейное программирование: постановка задач и графическое решение), страница 2

Задача использования сырья. Для изготовления двух видов продукции Р₁ и Р₂ используют три вида сырья: S₁, S₂, S₃. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукци, а так же величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Решение.

Обозначим через х₁ количество единиц продукции Р₁, а через х₂ – количество единиц продукции Р₂. Тогда, учитывая количество единиц сырья, расходуемое на изготовление продукции, а так же запасы сырья, получим систему ограничений:

2х₁ + 5х₂ 20

8х₁ + 5х₂ 40

5х₁ + 6х₂ 30

которая показывает, что количество сырья, расходуемое на изготовление продукции, не может превысит имеющихся запасов. Если продукция Р₁ не выпускается, то х₁=0; в противном случае x₁ 0. То же самое получаем и для продукции Р₂. Таким образом, на неизвестные х₁ и х₂ должно быть наложено ограничение неотрицательности: х₁ 0, х₂ 0.

Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибылипри реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х₁ и х₂. Реализация х₁ единиц продукции Р₁ и х₂ единиц продукции Р₂ дает соответственно 50х₁ и 40х₂ руб. прибыли, суммарная прибыль Z = 50х₁ + 40х₂ (руб.)

Условиями не оговорена неделимость единица продукции, поэтому х₁ и х₂ (план выпуска продукции) могут быть и дробными числами.

Требуется найти такие х₁ и х₂, при которых функция Z достинает максимум, т.е. найти максимальное значение линейной функции Z = 50х₁ + 40х₂ при ограничениях

2х₁ + 5х₂ 20

8х₁ + 5х₂ 40

5х₁ + 6х₂ 30

х₁ 0, х₂ 0.

Построим многоугольник решений (рис. 2.3).

Для этого в системе координат х₁Ох₂ на плоскости на плоскости изобразим граничные прямые

2х₁ + 5х₂ = 20 (L₁)

8х₁ + 5х₂ = 40 (L₂)

5х₁ + 6х₂ = 30 (L₃)

х₁ = 0, х₂ = 0.

Взяв какую-нибудь точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рис. 2.3 показаны стрелками). Многоугольником решений данной задачи является ограниченный пятиугольник ОАВСD.

Для построения прямой 50х₁ + 40х₂ = 0 строим радиус-вектор N = (50;40) = 10(5;4) и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора N. Из риc. 2.3 следует, что опорной по отношению к многоугольнику решений эта прямая становится в точке С, где функция Z принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L₁ и L₂. Для определения ее координат решим систему уравнений

8 x₁ + 5х₂ = 40

5х₁ + 6х₂ = 30

Оптимальный план задачи: х₁ = 90/23 = 3,9; х₂ = 40/23 = 1,7. Подставляя значения х₁ и х₂ в линейную функцию, получаем Z_max = 50 3,9 + 40 1,7 = 260,3

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 260,3 руб., необходимо запланировать производство 3,9 ед. продукции Р₁ и 1,7 ед. продукции Р₂.

Задача составления рациона. При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 ед. питательного вещества S₁, не менее 8 ед. вещества S₂ и не менее 12 ед. вещества S₃. Для составления рациона используют два вида корма. Содержание количества елиниц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость 1 кг корма приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2.

Необходимо составить дневной рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальными.

Решение.

Для составления математической модели обозначим через х₁ и х₂ соответственно количество килограммов корма 1 и 2 в дневном рационе. Принимая во внимание значения, приведенные в таблице 2.2, и условие, что дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного, получаем систему ограничений

3х₁ + х₂ 9

х₁ + 2х₂ 8

х₁ + 6х₂ 12

х₁ 0, х₂ 0.

Если корм 1 не используется в рационе, то х₁=0; в противном случае x₁ 0. Аналогично имеем х₂ 0. То есть должно выполняться условие неотрицательности переменных: х₁ 0, х₂ 0.

Цель данной задачи – добиться минимальных затрат на дневной рацион, поэтому общую стоимость рациона можно выразить в виде линейной функции Z = 4х₁ + 6х₂ (коп.)

Требуется найти такие х₁ и х₂, при которых функция Z принимает минимальное. Таким образом, необходимо найти минимальное значение линейной функции Z = 4х₁ + 6х₂ при ограничениях

3х₁ + х₂ 9

х₁ + 2х₂ 8

х₁ + 6х₂ 12

х₁ 0, х₂ 0.

Построим многоугольник решений (рис. 2.4). Для этого в системе координат х₁Ох₂ на плоскости изобразим граничные прямые

3х₁ + х₂ = 9 (L₁)

х₁ + 2х₂ = 8 (L₂)

х₁ + 6х₂ = 12 (L₃)

х₁ = 0, х₂ = 0.

Взяв какую-нибудь точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рис. 2.4 показаны стрелками). В результате получим неограниченную многоугольную область с угловыми точками А, В, С, D.

Для построения прямой 4х₁ + 6х₂ = 0 строим радиус-вектор N = (4;6) и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора N. Из риc. 2.4 следует, она впервые коснется многогранника решений и станет опорной по отношению к нему в угловой точе В. Если прямую перемещать дальше в направлении вектора N, то значения линейной функции на многограннике решений возрастут, значит, в точке В линейная функция Z принимает минимальное значение.

Точка В лежит на пересечении прямых L₁ и L₂. Для определения ее координат решим систему уравнений

3x₁ + х₂ = 9

х₁ + 2х₂ = 8

Имеем: х₁ = 2; х₂ = 3. Подставляя значения х₁ и х₂ в линейную функцию, получаем Z_min = 4 2 + 6 3 = 26.

Таким образом, для того, чтобы обеспечить минимум затрат (26 коп. в день), необходимо дневной рацион составить из 2 кг корма 1 и 3 кг корма 2.

1. Обобщение графического метода решения задач линейного программирования.

Вообще, с помощью графического метода может быть ре-шена задача линейного программирования, система ограниче-ний которой содержит n неизвестных и m линейно независи-мых уравнений, если N и M связаны соотношением N – M = 2.

Действительно, пусть поставлена задача линейного программирования.

Найти минимальное значение линейной функции Z = С₁х₁+С₂х₂+... +С_Nx_N при ограничениях

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_1NХ_N = b₁

(2.3) a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2NХ_N = b₂

. . . . . . . . . . . . . . .

a_М1x₁ + a_М2x₂ + ... + a_МNХ_N = b_М

x_j 0 (j = 1, 2, ..., N)

где все уравнения линейно независимы и выполняется cоотношение N - M = 2.

Используя метод Жордана-Гаусса, производим M исключений, в результате которых базисными неизвестными оказались, например, M первых неизвестных х₁, х₂, ..., х_M, а свободными - два последних: х_М+1, и х_N, т. е. система ограничений приняла вид

x₁ + a_1,М+1x_М+1 + a_1NХ_N = b₁

(2.4) x₂ + a_2,М+1x_М+1 + a_2NХ_N = b₂

. . . . . . . . . . . .

x_М + a_{М, М+1}x₂ + a_МNХ_N = b_М

x_j 0 (j = 1, 2, ..., N)

С помощью уравнений преобразованной системы выражаем линейную функцию только через свободные неизвестные и, учитывая, что все базисные неизвестные - неотрицательные: х_j 0 (j = 1, 2, ..., M), отбрасываем их, переходя к системе ограничений, выраженных в виде неравенств. Таким образом, окончательно получаем следующую задачу.

Найти минимальное значение линейной функции Z = С_М+1х_М+1+С_Nx_N при ограничениях

a_1,М+1x_М+1 + a_1NХ_N b₁

a_2,М+1x_М+1 + a_2NХ_N b₂

. . . . . . . . . .

a_М,М+1x_М+1 + a_МNХ_N b_М

x_М+1 0, х_N 0

Преобразованная задача содержит два неизвестных; решая ее графическим методом, находим оптимальные значения x_М+1 и х_N, а затем, подставляя их в (2.4), находим оптимальные значения х₁, х₂, ..., х_M.

Пример.

Графическим методом найти оптимальный план задачи ли-нейного программирования, при котором линейная функция Z = 2х₁ - х₂ + х₃ - 3х₄ + 4х₅ достигает максимального значения при ограничениях

х₁ - х₂ + 3х₃ - 18х₄ + 2х₅ = -4

2х₁ - х₂ + 4х₃ - 21х₄ + 4х₅ = 2

3х₁ - 2х₂ + 8х₃ - 43х₄ + 11х₅ = 38

x_j 0 (j = 1, 2, ..., 5)

Решение.

Используя метод Жордана-Гаусса, произведем три полных исключения неизвестных х₁, х₂, х₃. В результате приходим к системе

х₁ + х₄ - 3х₅ = 6

х₂ + 7х₄ + 10х₅ = 70

х₃ - 4х₄ + 5х₅ = 20

Откуда x₁ = 6 – х₄ + 3x₅, х₂ = 70 – 7х₄-10х₅, х₃ = 20 + 4х₄ -5х₅.

Подставляя эти значения в функцию и отбрасывая в системе базисные переменные, получаем задачу, выраженную только через свободные переменные х₄ и х₅: найти максимальное значение линейной функции Z = 6х₄ + 15х₅ – 38 при ограничениях

х₄ - х₅ 6

7х₄ + 10х₅ 70

- 4х₄ + 5х₅ 20

х₄ 0, х₅ 0.