4 (Билеты по аналитической геометрии), страница 2

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)²+y²); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y²=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е

D₁: x= - a/e

D₂: x= a/e

р=а(1-е²)/е – для эллипса

р=а(е²-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r₁/d₁=e

x|a|, xe+a>0

r₁=xe+a

d₁ – расстояние от М(x,y) до прямой D₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если 1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М₀(x₀;y₀) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у₀=y’(x₀)(x-x₀)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya²y₀-a²y₀²+b²x₀x-b²x₀²=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е₁;е₁’)=cos u

(е₁;е₂’)=cos (90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos (90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁, ₁₁е₁+₁₂е₂)= ₁₁

(е₁;е₂’)= (е₁, ₂₁е₁+₂₂е₂)= ₂₁

(е₂;е₁’)= ₁₂

(е₂;е₂’)= ₂₂

Приравниваем:

₁₁=cos u

₂₁= - sin u

₁₂=sin u

₂₂=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I₁; I₂; I₃

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I₂>0 – элиптический тип

I₂<0 – гиперболический тип

I₂=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a₁₁x’²+2a₁₂x’y’+a₂₂y’²+a’₃₃=0 (2)

точка О’ находится из условия: a₁₃’=0 и a₂₃’=0.

Получается система a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃=0 и a₁₂x₀+a₂₂y₀+a₂₃=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x₀ и y₀ отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I₂0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а₁₂=0. a₁₂’= -0,5(a₁₁-a₂₂)sin2u+a₁₂cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a₁₁’x’²+a₂₂’y’²+2a₁₃’x’+2a₂₃’y’+a₃₃’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I₂>0 и пусть I₁>0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I₃<0 – эллипс; 2. I₃=0 – точка; 3. I₃>0 – ур-е (1) не определяет. Если I₃=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I₃>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I₂>0, I₁>0, I₃<0, тогда

а₁₁’’x’’²+a₂₂’’ y’’²= -I₃/I₂

I₂=a₁₁’’a₂₂’’ > 0

I₁= a₁₁’’+a₂₂’’ > 0

a₁₁’’ > 0; a₂₂’’ > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I₃>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I₃=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I₂<0, I₃0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I₃=0 – пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I₂<0; I₂= a₁₁’’a₂₂’’ < 0. Пусть a₁₁’’>0; a₂₂’’<0

Пусть I₃>0

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I₃<0

-(-а₁₁’’)x’’²+a₂₂’’ y’’²= -I₃/I₂

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I₃=0

а₁₁’’x’’²-(-a₂₂’’)y’’²=0

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²

Определение: ненулевой вектор (, ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(, ) – вектор асимптотического направления.

a₁₁²+2a₁₂+a₂₂²=0 (*)

Рассмотрим (’, ’) параллельный (, ): следовательно . Дробь / характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что 0 и поделим на ², получим: a₁₁(/)²+2a₁₂/+a₂₂=0 из этого квадратного уравнения найдем /.

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I₂0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I₂>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

(, )₁=(a,b)

(, )₂=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y²=2px

y²-2px=0

u(x,y)= y²+0, y=0

(, )=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках:

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x₀;y₀;z₀). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax₀+By₀+Cz₀=-D

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

1. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М₁(x₁;y₁;z₁); М₂(x₂;y₂;z₂); М₃(x₃;y₃;z₃)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М₁М x-x₁ y-y₁ z-z₁

М₁М₂ x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ =0

М₁М₃ x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁

1. Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V₁;V₂;V₃); U(U₁;U₂;U₃); M₀(x₀;y₀;z₀), тогда плостость имеет вид: система: x=x₀+V₁t+U₁s и y=y₀+V₂t+U₂s и z=z₀+V₃t+U₃s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M₀(x₀;y₀;z₀)

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0; A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, поэтому n₁(A₁;B₁;C₁); n₂(A₂;B₂;C₂). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.

Пучки и связки плоскостей.

Определение: пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую.

Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены две плоскости

Теорема: Пусть две плоскости пучка заданы уравнениями: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0; A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, тогда любая другая плоскость пучка задана уравнением: (A₁x+B₁y+C₁z+D₁)+(A₂x+B₂y+C₂z+D₂), где  и  принадлежат R и не равны нулю одновременно.

Определение: связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, роходящих ч/з одну точку. Эта точка называется центром связки.

Условия для плоскостей:

1. n₁ параллелен n₂ - параллельности.

2. A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 – перпендикулярности.

3. пересечения трех плоскостей в одной точке:

Пусть заданы три плоскости: система: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0; A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0; A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0

Данная система должна иметь единственное решение, а поэтому ее определитель составленный из коэфф. при каждом не равен 0.