4.Элементарные динамические звенья 1 (Проектирование автоматических систем. Теория принятия решений. Принцип Парето)

4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ.

4.1. Основные типы элементарных динамических звеньев.

Динамическое звено как элемент АС обладает одной степенью свободы и описывается линейным дифференциальным уравнением. Если алгоритм преобразования входного воздействия динамическим звеном нельзя заменить

некоей комбинацией нескольких преобразований, т.е. звено не является эквивалентным, то такое динамическое звено считается элементарным.

Такие звенья описываются линейными дифференциальными уравнениями

нулевого, первого и второго порядков.

Использование элементарных звеньев и их характеристик упрощает ММ,

отображает их физические свойства.

Различают следующие группы элементарных звеньев :

- инерционные и безъинерционные ;

- алгебраические и трансцендентные ;

- минимально – фазовые и неминимально-фазовые.

В технических АС используются как правило первая группа звеньев.

К безинерционным относят пропорциональные , интегрирующие и дифференцирующие звенья. Они осуществляют простейшие линейные операции преобразования входного воздействия на систему.

Инерционные звенья отображают более сложные динамические процессы в АС, определяемые инерционными, упругими и др. свойствами ее элементов.

К инерционным относят апериодические, колебательные и консервативные

звенья. Передаточные функции б/инерционных и инерционных звеньев представляют собой алгебраические выражения, поэтому их относят к

алгебраическим. У трансцендентных звеньев передаточные функции описываются трансцендентными выражениями. Они отображают запаздыва-

ние процессов в АС, динамические свойства элементов с распределенными

параметрами.

Минимально-фазовые и неминимально-фазовые звенья отображают сдвиг

фаз входного воздействия и выходного параметра.

4.2. Безинерционное пропорциональное звено.

К безинерционным относят звенья описываемые линейным дифференциальным уравнением вида:

(4.1)

где p – оператор дифференцирования; k – коэффициент передачи; x(t) –

входное воздействие на звено; y(t) – выходной параметр.

Для элементарных безынерционных звеньев : q= - 1; 0; 1. Пропорциональное звено описывается уравнением (4.1) при q=0 :

(4.2)

Параметром является только коэффициент передачи k.

Реально безынерционных звеньев нет, но принятая идеализация позволяет

с достаточным приближением значительно упростить анализ системы. Пример технических устройств, представляемых пропорциональными звеньями, показан на рис.4.1.

в)

Рис.4.1. Схема технических устройств, представляемых пропорциональным звеном : а – рычаг; б – зубчатая передача ; в –

обьемная гидропередача.

Для рычажного механизма (рис4.1, а ) где силы на соответствующих плечах рычага, а передаточное отношение

где скорости; длины плеч.

Для зубчатой передачи (рис.4.1,б) а

где вращающий момент и угловая скорость; радиусы делительных окружностей шестерен.

Для гидропередачи (рис.4.1,в)

Во всех случаях где - КПД передачи, учитывающий

потери мощности на трение.

Передаточная функция пропорционального звена :

(4.3)

Переходная характеристика

(4.4)

Т.к. функция единичного ступенчатого воздействия,

(4.5)

Импульсная переходная характеристика :

(4.6)

где - дельта-функция Дирака.

Рис.4.2. Переходная и импульсная переходная

характеристики.

Комплексная частотная характеристика пропорционального звена :

(4.7)

Следовательно, . Годограф вектора представляет собой точку на вещественной оси, на расстоянии k от начала координат.

АЧХ и ФЧХ :

(4.8)

(4.9)

ЛАЧХ :

(4.10)

Рис.4.3. Комплексная частотная, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ.

Параметр k находится в результате зксперимента. Он может быть определен

как:

либо :

Значения получают непосредственно измерением их на осциллограмме.

4.3. Интегрирующее звено.

- описывается уравнением (4.1) при g=1 :

(4.11)

После интегрирования (4.11) получим :

(4.12)

При нулевых начальных условиях и

(4.13)

В этом случае скорость изменения пропорционально коэффициенту

и значению входного воздействия .

Q

Рис. 4.4. Схемы технических устройств, представляемых

интегрирующим звеном: а – гидроцилиндр; б – гидравлический демпфер; в – электроконденсатор.

Пренебрегая массой и силами трения, уравнение перемещения поршня

гидроцилиндра имеет вид :

(4.14)

где - площадь поперечного сечения гидроцилиндра (поршня) ; - рас-

ход жидкости, подаваемой в гидроцилиндр ; - начальное значение координаты поршня.

Уравнение движения поршня гидродемпфера (рис.4.2,б) аналогично (4.14)

Расход соответствует расходу через дроссель демпфера. Если дроссель

выполнен в виде длинного узкого канала, то движение жидкости в нем будет

ламинарным и зависимость расхода от давления в цилиндре будет линейной.

Падение давление в дросселе :

(4.15)

где: - плотность рабочей жидкости; - кинематическая вязкость жидкости;

- длина канала дросселя; - диаметр дросселя. Т.к. , где F- усилие, приложенное к пружине, после подстановки получим :

(4.16)

При другом конструктивном исполнении дросселя движение жидкости в нем будет турбулентным, а зависимость расхода от давления будет квадратичной.

Процесс зарядки конденсатора (рис.4.2,в) описывается уравнением :

(4.17)

где: С – емкость конденсатора.

Процесс работы электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением при напряжении обмотки возбуждения U_в=const (рис.4.2,г)

описывается уравнением:

(4.18)

где: - угол поворота электродвигателя; U_я- напряжение на якоре двигателя;

k – коэффициент пропорциональности.

Передаточная функция интегрирующего звена :

(4.19)

Переходная характеристика получится при подстановке в

(4.12) при нулевых начальных условиях :

(4.20)

Импульсная переходная характеристика :

(4.21)

Рис.4.5. Переходная и импульсная переходная

характеристики.

Комплексная частотная характеристика звена:

(4.22)

При

АЧХ и ФЧХ :

(4.23)

ЛФЧХ :

(4.24)

Рис.4.6. Комплексная частотная, АЧХ, ФЧХ и ЛЧХ.

Для ЛАЧХ : при увеличении на одну декаду происходит уменьшение

на 20 дб.