MoveTo(100, 100); LineTo(200, 200);

является эквивалентной

Line(100, 100, 200, 200); MoveTo(200, 200);

Procedure OutTextXY(X, Y : Integer; TextString : String);

Посылает строку на устройство вывода. Отображает TextString в позиции (X, Y). Строка TextString усекается на границе области просмотра, если она слишком длинная. Если один из штриховых шрифтов активен, то строка TextString усекается на границе экрана, если она слишком длинная. Если заданный по умолчанию (растровый шрифт активен, и строка слишком длинная, чтобы поместиться на экране, то текст не отображается вообще.

Процедура OutTextXY использует набор шрифтов SetTextStyle. Чтобы поддерживать совместимость кода при использовании нескольких шрифтов, используйте TextWidth и TextHeight для определения размера строки.

Procedure SetFillStyle(Pattern : Word; Color : Word);

Устанавливает цвет и стиль закраски. Устанавливает шаблон и цвет для всех операций закраски, производимых FillPoly, Bar, Bar3D и PieSlice. Доступно несколько предопределенных шаблонов закраски. Заданный по умолчанию шаблон = Solid и заданный по умолчанию цвет - цвет с максимальным номером в палитре. Если в SetFillStyle переданы недопустимые параметры, то в переменной GraphResult возвращается значение grError, и текущие установки закраски не будут изменены.

Если Pattern равняется UserFill, то активным шаблоном закраски станет шаблон, определяемый пользователем (устанавливаемый с помощью процедуры SetFillPattern).

Procedure FloodFill(X, Y : Integer; Border : Word);

Закрашивает замкнутую область, используя текущие стиль и цвет закраски. Закрашивает замкнутую область на растровых устройствах. Точка с координатами (X, Y) - начальная точка внутри замкнутой области, с которой начнется закраска. Текущий шаблон закраски устанавливается процедурами SetFillStyle и SetFillPattern. Закрашивается область, ограниченная цветом с номером Border. Если точка (X, Y) находится внутри замкнутой области, то закраска будет происходить внутри области. Если же эта точка находится снаружи замкнутой области, то будет закрашено все пространство вне области.

Более подробное описание программы содержится в комментариях к исходному тексту.

2.1 Текст программы

{$A+,B-,D+,E+,F-,G-,I+,L+,N+,O+,P-,Q-,R-,S+,T-,V+,X+}

{$M 16384,0,655360}

program Kurs1;{Геометрическая интерпретация решения задач}

uses

CRT, Graph;{используемы модули}

{Типы}

type

TNerav = record{коэффициенты неравенств а₁х+а₂y<=b}

x: Real;{a1}

y: Real;{a2}

b: Real; {b}

end;

TMatrix = array[1..100] of TNerav;{Количество неравенств}

{Константы}

const

MaxX: Integer = 640-30; {максимальное значение X на экране}

MaxY = 20; {максимальное значение Y на экране}

MinX = 40; {x=0 минимальное значение X на экране}

MinY: Integer = 480-40;{y=0 минимальное значение Y на экране}

MASHT = 15; {Масштаб при 15: maxY=28, MaxX=38}

STEP = 1; {шаг изменения свободного члена целевой функчии}

{Переменные}

var

Gd, Gm: Integer; {Иниц. гафики}

Matr: TMatrix; {Матрица неравенств}

c: Real; {Свободный член целевой ф-ии}

N: TNerav; {Коэффициенты неравенств}

i: 0..100; {Счетчик кол-ва неравенств}

MainF: TNerav; {Коэффициенты целевой ф-ии}

XResult,YResult: Real; {Ответ(кординаты)}

procedure ShowXOY;{Проц. показа координатных осей}

Begin

SetColor(White);

Line(MinX, MaxY,MinX-4, MaxY+7);{стрелочки у Y}

Line(MinX, MaxY,MinX+4, MaxY+7);

OutTextXY(MinX-15, MaxY, 'У');

MoveTo(MinX, MaxY);

LineTo(MinX, MinY);{Сами оси}

LineTo(MaxX, MinY);

Line(MaxX, MinY, MaxX-7, MinY-4);{стрелочки у X}

Line(MaxX, MinY, MaxX-7, MinY+4);

OutTextXY(MaxX, MinY+5, 'X');

End;

procedure ShowLine(_iN:TNerav);

var s: String;

Begin

if _iN.b/_iN.y<0 then begin{если коэффиц. при Y меньше 0}

MoveTo(MinX+Round((_iN.b-(Round(MinY/MASHT)*_iN.y))/_iN.x*MASHT),MaxY);

SetColor(15);

LineTo(MinX+Round(_iN.b/_iN.x*MASHT),MinY);

end;

if _iN.b/_iN.x<0 then begin{если коэффиц. при X меньше 0}

MoveTo(MinX,MinY-Round(_iN.b/_iN.y*MASHT));

SetColor(15);

LineTo(MaxX,MinY-Round((_iN.b-(Round(MaxX/MASHT)*_iN.x))/_iN.y*MASHT));

end;

SetColor(LightGreen);

Str(_iN.b/_iN.x:3:1,s);

OutTextXY(MinX+Round(_iN.b/_iN.x*MASHT),MinY+5,s);{рисуем значения на оси OX}

Str(_iN.b/_iN.y:3:1,s);

OutTextXY(MinX-40,MinY-Round(_iN.b/_iN.y*MASHT),s);{рисуем значения на оси OY}

MoveTo(MinX,MinY-Round(_iN.b/_iN.y*MASHT));

SetColor(15);{Рисуем саму линию}

LineTo(MinX+Round(_iN.b/_iN.x*MASHT),MinY);

End;

procedure EnterNerav;{процедура ввода неравенств до нажатия Esc}

procedure GetNerav;{подпроцедура ввода коэф-тов одного неравенства}

var j,k: Real;

Begin

repeat

SetFillStyle(1,0); Bar(0,0,GetMaxX,MaxY-1);

OutTextXY(7,3,'Введите коэффициенты неравенств: ');

Window(34,1,80,1);

Read(N.x, N.y, N.b);{вводим коэффициенты}

j:=N.x;

k:=N.y;

repeat{далее идет сокращение коэффициентов если это возможно}

if (Frac(N.b / j) = 0) then

if (Frac(N.x / j) = 0) then Break;

j:=j-1;

until (j<=0);

if J>=0 then

repeat

if (Frac(N.b / k) = 0) then begin

if (Frac(N.y / k) = 0) then

if (j=k) then begin

N.b:=N.b / k;

N.x:=N.x / k;

N.y:=N.y / k;

Break;

end

end;

k:=k-1;

until (k<=0);

until (N.x<>0) and (N.y<>0); {Ограничение чтоб небыло нулей}

Inc(i); {Увеличиваем счетчик}

Matr[i]:=N;{Добавляем в матрицу коэффициенты}

ShowLine(N);{Вызываем процедуру рисования линии}

SetFillStyle(1,0); Bar(0,0,GetMaxX,MaxY-1);

OutTextXY(7,3,'Ввести еще? (Enter=Да/Esc=Нет)');

End;

var

Key:Char;

Begin

GetNerav;

repeat

key:=#0;

if KeyPressed then begin

key:=ReadKey;

case key of

#13: GetNerav;{ввод еще одного нер-ва}

end;

end;

Until Key in [#27];{до нажатия Esc}

End;

procedure EnterMainF;

{эта процедура предлагает выбрать пользователю выбрать выход из ОДЗ}

var key: Char;

j: 0..100;

S: String;

Begin

SetFillStyle(3,1); FloodFill(MinX+1, MinY-1, 15);

SetFillStyle(1,0); Bar(0,0,GetMaxX,MaxY-1);

SetColor(White);

OutTextXY(7,3,'Введите коэффициенты целевой функции: ');

Window(40,1,80,25); Read(MainF.x, MainF.y);

End;

procedure GetResult;

var

k,j: 0..100;

X: Real;

Y: Real;

XTmp: Real;

YTmp: Real;

cTmp: Real;

boolAnswer: Boolean;

key: Char;

STmp: String;

Result: String;{Строка для вывода на экра результата}

procedure SolveOprtel(inN, inMainF: TNerav; ic:Real; var outX, outY: Real);

{в этой подпроцедуре подностью вычисляется определитель}

var

_d: Real;{Дельта определителя}

dx: Real;{Дельта X определителя}

dy: Real;{Дельта Y определителя}

Begin

_d:=(inN.x*(inMainF.y)) - (inN.y*inMainF.x);

dx:=(inN.b*(inMainF.y)) - (inN.y*ic);

dy:=(inN.x*ic) - (inN.b*inMainF.x);

if _d <> 0 then begin{исклюсаем бесчисленное мн-во решений}

outX:=dx/_d;

outY:=dy/_d;

end;

if (_d = 0) and ((dx = 0) xor (dy = 0)) then begin{исклюсаем - нет решений}

SetColor(Red);

OutTextXY(300,230,'Нет решений!!!');

ReadKey;

CloseGraph;

Halt;

end;

End;

Begin

Bar(0,0,GetMaxX,MaxY-1);

SetColor(White);

OutTextXY(7,3,'Пожалуйста подождите... (Esc - Отмена)');

{считаем координаты выхода}

c:=0;

cTmp:=0;

repeat

if i=1 then SolveOprtel(Matr[1], MainF, c, XResult, YResult)

else

for j:=1 to i-1 do begin

SolveOprtel(Matr[j], MainF, c, XTmp, YTmp);

for k:=j+1 to i do begin

SolveOprtel(Matr[k], MainF, c, X, Y);

if X=XTmp then XResult:=X;

if Y=YTmp then YResult:=Y;

end;

end;

{далее мы находим максимум функции}

BoolAnswer:=False;

for k:=1 to i do begin

N:=Matr[k];

if (N.x*XResult+N.y*YResult<=N.b) then begin

{Если в ОДЗ}

c:=cTmp;

boolAnswer:=True;

end;

{далее проверяем вышла ли cTmp за ОДЗ}

if (N.x*XResult+N.y*YResult>N.b) then begin Exit

end;

end;

cTmp:=cTmp+STEP;{Увеличиваем cTmp на STEP}

if keyPressed then key:=ReadKey;{если Esc нажата, то прерываем}

until (key=#27) or (cTmp>=10000);

if boolAnswer then begin

{пишем ответ:}

{1. Рисуем целевую ф-ю в нужном месте}

c:=MainF.x*XResult+MainF.y*YResult;

MoveTo(MinX+1,MinY-Round(C/MainF.y*MASHT)-1);

SetColor(Red);{рисуем целевую линию на экр. красным}

LineTo(MinX+Round(C/MainF.x*MASHT)+1,MinY-1);

SetLineStyle(1,0,NormWidth);

SetColor(Yellow);

{2. Считаем max(f)}

Str(MainF.x*XResult+MainF.y*YResult:2:1,STmp);

Result:='max(f)='+Stmp;

{3. Рисуем значение на оси X}

Line(MinX+Round(XResult)*MASHT,MinY-Round(YResult)*MASHT,MinX+Round(XResult)*MASHT,MinY+3);

Str(XResult:2:1,STmp);

OutTextXY(MinX+Round(XResult)*MASHT,MinY+4,STmp);

Result:=Result+' при x='+Stmp;

{4. Рисуем значение на оси Y}

Line(MinX+Round(XResult)*MASHT,MinY-Round(YResult)*MASHT,MinX-3,MinY-Round(YResult)*MASHT);

Str(YResult:2:1,STmp);

OutTextXY(MinX-30,MinY-Round(YResult)*MASHT,STmp);

Result:=Result+' y='+Stmp;

SetColor(White);

SetLineStyle(0,0,NormWidth);

OutTextXY(300,230,Result);{Выводим строку ответа}

end

else

OutTextXY(7,3,'Вычисления не закончены!!!');

{Завешение программы}

Bar(0,0,GetMaxX,MaxY-1);

SetColor(White);

OutTextXY(7,3,'Нажмите любую клавишу для выхода');

ReadKey;

End;

BEGIN

i:=0;{Начальное значение кол-ва неравенств}

Gd:=Detect;

InitGraph(Gd, Gm, 'C:\BP\BGI'); { Путь к BGI драйверам }

if GraphResult <> grOk then Halt(1);

ShowXOY;

EnterNerav;

EnterMainF;

GetResult;

CloseGraph;

END.

Заключение

Программа решения задач линейного программирования графическим способом на IBM PC была написана на языке Borland Pascal 7.1. В ней, для удобства, рассматривается случай когда количество переменных равно двум т. е. решение задачи можно разместить на плоскости. С помощью этой программы можно наглядно продемонстрировать метод графического решения задач.

Вообще, с помощью графического метода может быть решена задача линейного программирования, система ограничений которой содержит n неизвестных и m линейно независимых уравнений, если N и M связаны соотношением N – M = 2.

Действительно, пусть поставлена задача линейного программирования.

Найти максимальное значение линейной функции

Z = С₁х₁+С₂х₂+... +С_Nx_N
при ограничениях

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_1NХ_N = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2NХ_N = b₂

. . . . . . . . . . . . . . .

a_М1x₁ + a_М2x₂ + ... + a_МNХ_N = b_М

x_j ≥ 0 (j = 1, 2, ..., N)

где все уравнения линейно независимы и выполняется cоотношение N - M = 2.

Используя метод Жордана-Гаусса, производим M исключений, в результате которых базисными неизвестными оказались, например, M первых неизвестных х₁, х₂, ..., х_M, а свободными - два последних: х_М+1, и х_N, т. е. система ограничений приняла вид:

x₁ + a_1,М+1x_М+1 + a_1NХ_N = b₁

x₂ + a_2,М+1x_М+1 + a_2NХ_N = b₂

. . . . . . . . . . . .

x_М + a_{М, М+1}x₂ + a_МNХ_N = b_М

x_j ≥ 0 (j = 1, 2, ..., N)

С помощью уравнений преобразованной системы выражаем линейную функцию только через свободные неизвестные и, учитывая, что все базисные неизвестные - неотрицательные: х_j ≥ 0 (j = 1, 2, ..., M), отбрасываем их, переходя к системе ограничений, выраженных в виде неравенств.

Литература

1. Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. Л., Изд-Ленингр. ун-та, 1976. - 184 с.

2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Высш. шк. ,1993 - 336 с.

3. Ашманов С.А.Линейное программирование. - М.: Наука, 1981.

4. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. -4-е изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 416 с.

5. Баканов М.И., Шеремет А.Д.Экономический анализ: ситуации, тесты, примеры, задачи, выбор оптимальных решений, финансовое прогнозирование: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999. -656 с.

6. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1989. -176 с.

7. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Ч.1. Общие задачи, Минск, Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1977. - 176 с.

8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Ч.2. Транспортные задачи, Минск, Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1977. - 240 с.

9. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента - СПб.: Издательство “Лань”, 2000. -480 с.

10. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Линейное программирование,теория, методы и приложения. - М.: Наука, 1969.

11. Гасс С.Линейное программирование. - М.: Физматгиз, 1961.

12. Заварыкин В. М. и др. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. - М.: Просвещение, 1990. - 176 с

13. .Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. /Под общ. ред. проф. Кузнецова А.В., М., “ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА”, 1994. - 288 с.

14. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб и доп. - М.: Высш. школа, 1980. -300 с.

15. Ляшенко И.Н, Карагодова Е.А, Черникова Н.В., Шор Н.З. Линейное и нелинейное программирование. Издательское объединение “Вища школа”, 1975. - 372 с.

16. Пер. с яп. /М. Кубонива, М. Табата, С. Табата, Ю. Хасэбэ, под ред. М. Кубонива. Математическая экономика на персональном компьютере: - М.: Высш. школа, 1980.

17. Под ред и с предисл. Е.З. Демиденко – М.: Финансы и статистика, 1991. – 304 с.

18. Солодовников А.С. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. М., Изд. “Просвещение”, 1966. - 184 с.

19. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: В 2-х т. Т.1: Пер с англ. - М.: Мир, 1991. -360 с.

20. Тынкевич М.А. Экономико-математические методы (исследование операций). Изд. 2, испр. и доп. - Кемерово, 2000. - 177 с.

Рецензия

33