Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович), страница 6

М 29. Исследовать цоведенне инте)ральных кривых уравнения 1п(1 + у) у' = ~) илх в окрестности начала координат. Показать, что из каждой точки границы первого координатного угла выходит одна интегральная кривая, проходящая внугри стого угла. м Находим область |) существования функции в правой части уравнения; ох ))= 0 м„, где Мо = ( (х, у) Е Го ~ 2йх < х < (2Ь+ 1)а, О ~( у < +со( г) О ( (х, у) Е !! ! (2Ь + 1))г < х < 2(Ь + 1) х, — 1 < у ( О ~ . Пусть О < у < +со, О < х < х, О < хо < х. Тогда разделяя переменные в уравнении и интегрируя, получим Ф г )(и (1) \/51п ! т/ЙП! + и) Поскольку при и — О 1п(1+и) и, то интеграл в правой части равенства (1) схолится по признаку сравнения.

В силу положительности подынтегральной функции з! > О. Следовательно, да о > О. Отсюда находим, что х > хо. Такими образом, при х > хо имеем у > О (и наоборот), 4! маг т. е. интегральная кривая, определяемая уравнением (1) и выходяшая из точки (хо, О), находится в первом квадрыпе. Из неравенства у' > О вытекаег, что у = у(х) возрастает с возРастанием х, Однако в силу расходимости интеграла в праюй части (1) при у -+ +со и схолимости интеграла в его левой части цри х — )г — О следует, что у стремится к конечному прелелу при х -+ х — О.

$2. Задачи, ирвводюцие к урааеиюаа с разделяющимвев иеременнымв !5 Аналогичную ситуацию получим при рассмотрении равенства интегралов 2(Г Г 2(н = 1, 0<у<Ч-со, 0<х<гг, 0(уа<+со. 2/яйе l ьГЬ~1+и)' о ь, Пусть -1 < у ( О, -2г < х < О. Тогда, разделив переменные в исходном уравнении и проинтегрировав полученное, имеем й! г Ын =«н=з,=«ст«' «« о (2) Поскольку у < О, то интеграл справа в (2) отрицателен. Значит, х < хс. Следовательно, интегральная кривая, выходящая из точки (хм 0) (хе < 0) стремится вниз налево. Далее, как следует из дифференциального уравнения, при х « — я+ 0 или при у « -1+ 0 производная у' -«+со.

Таким образом, интегральные кривые асимптотически приближаются к отрезкам прямых х = -2г или у = -1, причем к отрезку прямой х = -2г оии приближаются по касательной, а к отрезку прямой у = -1 — по нормали, М 42. Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными 2.1. Использование геометрического смысла производной. Для решения геометрических задач целесообразно использовать чертежи, а также геометрический смысл производной и интеграла. 30. Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная а .

м Как видим из рис. 1, площадь указанного треугольника равна Я = 2~АГК!у. Поскольку 2 !ба = у' (2ПО ВЫтЕКаЕт иэ гЕОМЕтричЕСКОгО СМЫсла пРоизводной), то Я = -"-„у' > О. Таким 2у ' образом, имеем дифференциальное уравнение у — =а у. 2 у = у(х) Считая у ~ 0 и разделяя переменные, получаем 2 ад (х у2 п2' М(х, у) Отсюда находим — — = — т + С, илн 2 х а Р а 2а' О Аг х у= Саг+ х Рис.

1 2 Если у' < 0 (см. рис. 2), то Я = — жт — — аг. Интегрируя это уравнение, получаем 2у 2аг х — Саг 2.2. Использование физического смысла производной. При составлении дифференциального уравнения, описывающего физический процесс, наряду с применением физических законов используем физический смысл производной, как скорости изменения какой-либо величины.

Гл. 1. Дифферевциальиме уравнении первого парилка 16 Наконец, обозначив Са = -С, оба ответа объединяем в один: 2а у= = Сжх 31. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен 2а. М Из Рис 3 видим, что 1КЦ + 12цт"1 = Уг + УУ'. Таким обРазом, у требуемое лифферснциальное уравнение имеет вид у —, + уу' = 2а. у Разрешив его относительно производной, получаем а )ах *'1( з у у Пусть О < у < а.

Тогда из дифференциального уравнения нахо- дим Г .1 уау 0(а — у ) = с(х, — — — = — 2 дх. а ж „'ат — уз а ш ь/ат — ут Интегрируя это соотношение, получим а' — у' — а)п (/а ж Я- ут) к х = С. Случай — а < у < О н у' < О рассматривается аналогично, м 32. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллельные осям коорлинат, до встречи с зтилси осями„то площадь полученного прямоугольника делится кривой в опюшении 1; 2, Ш Согласно геометрической интерпретации интеграла имеем (см. рис. 4) г .з У, =/( у(1)б(. о Далее, поскольку Я, + Ут — — ху и Яз = 25ы то, приняв во внилгание (1), получим х ху = / у(1)а(. о по х, находим Иу ах у, или у 2х' 2 Ят — —— 3 Дифференцируя зто равенство 2 3 -(*у'+у) = откуда у = Сч/х, или х = Сух. Ряс.

5 Очевидно, если переменные х и у поменять ролями, то залача также булет иметь решение у = Сх', р Замечание 1, В процессе решения прсдпслвгалн, что переменные х н р помикнтсяьны. Оливка, как легко вплоть, они могут быть и отрицательными, т.с. можно считать, что постоянная С в обоих решениях принимает любое действительное значение. Замечание 2. Если вместо Рнс. 4 воснольюватьсЯ Рнс. 5, то пРилсм к такомУ же РезУльтатУ, т. е, во всех случанх получаем семейства парабол с вершинами в начале коорлинат. Прпглвгаем читателю унхчнить рисунки 4 и 5 в соответствии с полученным решенном залечи.

%2. Задача, привидение к уравиеюим с рззделяюишмися иеремааимми 33. Найти кривые, касательные к которым в любой точке образуют равные углы с полярным радиусом и полярной осью. < Используя соотношения между углами а и у (см. рис. 6), а также геометрическую интерпретацию производной йр р'(у) р'з(нуЧ-рсозу 1 — — гба, а = — (х — у), дх х'(у) р" сову — р ипу ' 2 после несложных выкладок получим дифференциальное уравнение Р У =18 р 2' интегрируя которое, находим 1п р = — 2 1п ~ сов — ~ + 1п 2С у 2 С 1 + соз у Замечание. Если вместо рис. б рассмотреть рис.

7, то получим дифференциальное уравнение Р У вЂ” = — сга -, р 2' из которого следует, что С Р= 1 — сов у Эю семейство получим из семейства (1) путем замены у на и+7Г. ТакИм образом, окончательный ответ звписывветев в виде С Р= 1х сову 34. Найти уравнение кривой в полярных координатах, если известно, что тангенс угла 7, образованного радиусом-вектором, проведенным в точку касания, и касательной к кривой в этой же точке, равен полярному углу у.

гв.а м используя условие 18 7 = у и соотношение у = а+ 7 (см. рис, 8), можем записать гйу — гйа у = 187 = 18(у — а) = 1+гйугаа' 17 Но гйа = т — —, поэтому из предьибпцепз уравнения после не- Р Ргау сложных преобразований патучаем Р у= Р Решив это дифференциальное уравнение, найдем О С р= — (у уй), и Рве. 9 у Замечмме. Если вмесго рис.

8 рассмотреть рис. 9, то аналогичным пуюм можно получить дифферегщиапьиое уравнение у = .ег, из которого следует, что р = Су. Р 35. Нормаль МГ'„) к некоторой кривой пересекает ось Ох в точке Д. Доказать, что если абсцисса точки г2 вдвое больше абсциссы точки де, то кривая — равнобочная гипербола и Из рис. 10 видим, что Гл. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 18 Используя условие хо = 2х и соотношение у' = !8 а, из (1) получаем дифференциальное уравнение х=уу. Разделяя переменные и интегрируя, имеем уг(у = хйх, у — х = С.

2 з (2). Из курса аналитической геометрии известно, что каноническое уравнение гиперболы имеет один из видов: х' у' х' у' —, — — =1 или — — — =-1, аз Ь' а' Ь' в .го причем, если а = Ь, то гипербола называется равпобочной. Легко видеть, что второе соотношение в (2) определяет два семейства равнобочных гипербол (для С ) 0 и для С < 0). > Примечание.

При С = О из (2) получаем пару пряыык у = Хх — так называемые вырожделлые гилербазы. (у|-уо)8(у,-уо)+(хз-хо)Жх~-хо) =О, (у~ — уо) + (х~ — хо) = С . 2 2 з Таюзм образом, если С ~ О, то имеем уравнение окружности радиуса С с центром в точке Мо. М 37. Сосуд объемом в 20л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд при непрерывном перемешивании кажлую секунду втекает О, ! л азота и вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде будет 99% азота? М Пусть (2(1) — количество литров азота в сосуде в момент времени 1 после начала пере- 0,1 СФ мешивания. То~да в 0,181 литрах смеси содержится — г — че — литров азота. Согласно условию задачи, в сосуд за время Ж поступит 0,!гул азота, а вьпечет — '— 2п — ' л. Следовательно, количе- О,! ° ГЗ 41 ство д(') азота, когрое втекает в сосуд за время 81 и остается в нем, равно 0,1 (! — $) г(1 литров. Получаем дифференциальное уравнение и! 20 — 1'„з 200 ' 8(2=0,! (! — — у!8( () з 20) интегрируя которое, находим -о,воза Для определения постоянной С используем условие ()(1)(, о = 16 л.

Получаем С = 4, вследствие чего зкция фуз (2(!) = 20 — 4е (1) есть решение поставленной задачи. Полагая в (1) С = Т и Я = 19,8л (что составляет 99% от 20д), находим Т = 200 1п 20 с = 599,2 с га 10 минут — через такой промежуток времени после начала перемешивания в сосуде будет 99% 36. Доказаггч что кривап, все нормали к которой проходят через одну и ту же фиксированную точку, есть окружность. м Пусть Мо(хо, уо) — точка, через которую проходят все нормали, и М,(хы у!) — точка, расположенная на кривой. Тогла уравнение прямой, проходящей через зги точки, имеет вид 1 У = — —,— (х — хо) + Уо.

у1(х ) Этому уравнению удовлетворяют также коорлннаты точки М,(хы у,), поэтому долмсно быль 1 У1(х,) = —, — (х~ — хо) + уо. у,(х|) Разделяя переменные х, и у~ и интегрируя, получим: в 2. Задачи, приведвшие к уравнениям с разделяюицввиея переменными 38. В баке находится 100л раствора, содержащею 10 кг соли. В бак непрерывно подается вода (5л в минуту), которая перемешивается с имеющимся распюром.

Смесь вьпекает с той же скоростью. Сколько останется соли в баке через час? м Пусть Я(!) кг — количество соли в баке в момент времени ! после начала истечения смеси из бака. Тогда )бб есть ее концентрация в данном растворе, а ?бб . 5 4! — количество соли, вытекающее из бака за время Ф мнн. Следовательно, имеем дифференциальное уравнение йг„з = — 0,05 (З >й. Здесь знак "—" указывает на то, что количеспю соли в баке уменьшается. Интегрируя уравнение, получаем ~ = Се ед", Поскольку при ! = 0 абаке имелось 10кг соли, то С = 10. Таким образом, () = !Ое ' " есть решение данной задачи.